1 Vektorok, mátrixok

Vektorok - Alapfogalmak Vektor: az irányított (síkban, térben) szakaszt vektornak nevezzük. Ekkor: pontosan specifikáljuk a végpontok sorrendjét (kezdőpont,végpont) is. Alternatív definíció: egy n dimenziós vektor egy rendezett szám n-s, azaz n db szám együttese adott sorrendben. Vektor abszolút értéke: Egy adott v vektor abszolút értékén a v vektor hosszát értjük. Jelölés: |v| P.: Számítsuk ki az alábbi ábrán látható 2 vektor abszolút értékét! Alkalmazva Pitagorasz-tételt Descartes-koordinátákat

Vektorok - Alapfogalmak Nullvektor: azt a v vektort, melynek abszolút értéke 0 (kezdő és végpontja azonos), nullvektornak (zérusvektornak) nevezzük. Jelölés: 0 Zérusvektor iránya: tetszőleges Egységvektor: azt a vektort, melynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezzük. Jelölés: e, i,j,k Egyező állású vektorok: két vektor egyező állású, ha párhuzamosak vagy azonosak Egyenlő vektorok: két vektor akkor és csakkor egyenlő, ha hosszuk, állásuk és irányuk megegyezik. Ekkor: a két adott vektorra létezik olyan eltolás, mely az egyik vektor kezdőpontját és végpontját a másik vektor kezdőpontjába és végpontjába viszi át.

Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok összeadása: polygon módszer segítségével. Lényegileg: nyílfolyam-módszer: eltolás, a második vektor kezdőpontját az első végpontjába, és így tovább. Összeg vektor: az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutató vektor. (Két vektor esetén paralelogramma módszernek) Összeadás tulajdonságai: 0. Zárt: összeadás eredménye is vektor 1. Kommutatív (ld. ábra): a+b=b+a 2. Asszociatív: (a+b)+c=a+(b+c) 3. Létezik egységelem: a+0=a 4. Létezik inverz (ellentett) elem: a+(-a)=0 ,ahol –a az a vektor ellentett vektora

Vektorok – Műveletek vektorokkal P: Mutassuk meg, hogy a vektor összeadás asszociatív!Vagyis (a+b)+c=a+(b+c) P: Adjuk össze az alábbi vektorokat! b c a c c b a b a

Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok kivonása: inverz vektor elem hozzáadása Vagyis: a,b vektorok különbségén azt a vektort értjük, melyet hozzáadva b vektorhoz összegként az a vektort kapjuk. Vektorok kivonása nem kommutatív művelet!

Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok szorzása Számot vektorral: számmal való szorzás Jelölés: Vektort vektorral-eredménye szám, neve: skalárszorzat (dot product) Jelölés: ab Vektort vektorral-eredménye vektor,neve: vektoriális (vagy kereszt) szorzat (cross product)

Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok szorzása (skalár szorzat) Számot vektorral: számmal való szorzás Jelölés: Az a vektor l-szorosán, ahol l tetszőleges valós szám, azt a vektort értjük, melynek abszolút értéke: állása megegyezik az a vektor állásával iránya: azonos a irányával, ha ellentettje a irányának, ha tetszőleges, ha Vagyis: nyújtás (l>1), zsugorítás(0<l<1), tükrözés (l<0) Tulajdonságai: 1. λa=aλ 2. μ(λa)=(μ λ)a (definícióból közvetlenül adódik) 3. (λ+μ)a=λa+μa (definícióból közvetlenül adódik) 4. λ(a+b)= λa+λb

Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok szorzása (skaláris szorzat) Vektort vektorral-eredménye szám, neve: skalárszorzat (dot product) Jelölés: Skaláris szorzat: Legyen adott két azonos dimenziójú (a,b) vektor és az általuk bezárt szög (a). Ekkor az alábbi számot az a és b vektorok skaláris szorzatának nevezzük. Ebben az esetben a két vektor hajlásszögén: azt a 0≤l ≤ 180 szöget értjük, melyet a két vektor félegyenese bezár (a belső, mindig kisebb hajlásszög). Következmények: 1) Két vektor skaláris szorzata akkor és csakkor nulla, ha a két vektor ortogonális. 2) Ha a két vektor közül az egyik nullvektor, a hajlásszög tetszőleges, de a skaláris szorzat értéke 0.

Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok szorzása (skaláris szorzat) Tulajdonságai: ab=ba a(b+c)=ab+ac (la)b=l (ab)=a(lb) nem asszociatív Geometriai jelentés: egy adott vektor merőleges vetületének a hossza

Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok szorzása (vektoriális (keresztszorzat) szorzat): Az vektorok keresztszorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek hossza: ,ahol a a két vektor (a,b) által bezárt hajlásszög állása: merőleges az a és b vektorok mindegyikére, vagyis a két vektor által kifeszített síkra. iránya: olyan, hogy az a,b és axb vektorok jobbrendszert alkotnak. Geometriai jelentés: az alábbi számérték megadja a két vektor által kifeszített paralelogramma területét.

Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok szorzása (vektoriális (keresztszorzat) szorzat) Tulajdonságai Nem kommutatív Disztributív axb=-(bxa) l(axb)=(la)xb=ax(lb) Következmény Két vektor keresztszorzata akkor és csakkor zérusvektor, ha a vektorok párhuzamosak egymással.

Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D tér Felbonthatóság: ha adottak egy tetszőleges síkban az a és b nem párhuzamos vektorok, akkor a sík minden más v vektora egyértelműen felbontható az adott vektorokkal párhuzamos összetevőkre. Következménye: bázis: a sík bármely két, nem párhuzamos vektorát a síkbeli vektorok bázisának nevezzük. Koordináta: a v=aa+bb vektor (a,b) rendezett valós számpárt, mely egyértelműen meghatározza v-t az a,b bázisban a v vektor a,b bázisra vonatkoztatott koordinátának nevezzük. 2D: a rendezett valós számpárokat síkbeli vektoroknak nevezzük. 3D: a rendezett valós számhármasokat térbeli vektoroknak nevezzük. Síkbeli és térbeli vektorok ábrázolása koordinátarendszerekben történik, azok bázisainak megfelelő definiálásával.

Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D tér Síkbeli vektorok ábrázolása Síkban végtelen sok bázist lehet felvenni Éppen ezért: speciális bázist alkalmazunk az egyértelműség kedvéért, mégpedig a Descartes koordinátarendszernek megfeleltetve, az alábbiak szerint. i és j egymásra merőleges egységvektorok i és j ennek megfelelően az x és y számegyenesek +1 pontjaiba mutatnak. y v j x i

Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D tér Térbeli vektorok ábrázolása A rendezett valós számpárok halmaza, a sík pontjainak halmaza és az origóból kiinduló síkbeli vektorok halmaza között páronként kölcsönösen egyértelmű leképezés valósítható meg. Ezen kijelentés alapján: ha a,b,c térbeli vektorok nem esnek egy síkba, akkor a tér minden v vektora egyértelműen felbontható az a,b,c vektorokkal párhuzamos összetevőkre, azaz v=la+bb+gc=(l;b;g) Bázis: a tér egy pontjából kiinduló, nem egysíkú vektorát térbeli bázisnak nevezzük. Speciális bázis: i,j,k páronként merőleges egységvektorok jobbsodrású rendszere Ekkor: z P=(v1;v2;v3) k i i y x

Referencia felvétele 2D és 3D vizsgálatokhoz Referenciarács, bázis, fixpont 3D 2D TKP

Műveletek a 3D térben Alap műveletek Koordinátáival adott két vektor skaláris szorzata: P: Adja meg a(2;1;0) és b(1;-1;2) vektorok skaláris szorzatát Két vektor hajlásszöge P: Számítsuk ki a(1;2;2) és b(-1;1;0) vektorok által bezárt szöget!

Műveletek a 3D térben Koordinátáival adott két vektor kereszt szorzata: P: Adja meg a=2i-3k és b=i+j+k vektorok kereszt szorzatát

Mátrixok Mátrix: m×n-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek m sora és n oszlopa van, elemei pedig adott számhalmazból valók, melyen a mátrix értelmezve van. Jelölés: Oszlopvektor Sorvektor nxm-es számtáblázat - n sor, m oszlop Jele: A, illetve An,m (n sor, m oszlop) A= An,m = (aij)

Speciális mátrixok Speciális mátrixok: sorvektor, oszlopvektor, nullmátrix (összes eleme 0) Egység mátrix: Diagonál mátrix: Négyzetes mátrix: amn=anm Egy An,m mátrix sorainak és oszlopainak felcserélésével a mátrix A’m,n (= A*m,n = ATm,n ) transzponáltját kapjuk.

Mátrixok - Műveletek Mátrix szorzása skalárral: összes elemet az adott skalárral meg kell szorozni Mátrixok összeadása: azonos dimenzió Mátrixok szorzása: A minden sorvektorának képezzük a skalárszorzatát B minden oszlopvektorával. Ezért ha A típusa (n×m), akkor B típusa (m×k). Ez azt jelenti, hogy az A és B mátrix csak abban az esetben szorozható össze, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek. A szorzatmátrix típusa ennek megfelelően (n×k). Tulajdonságok nem kommutatív asszociatív disztributív P: Szorozza össze az alábbi két mátrixot! M(megjegyzés): ha adott egy mátrix, mely egy végtag szegmensének irányvektorait tartalmazza és ezt a mátrixot megszorozzuk egy adott dimenziójú vektorral, akkor az a szegmensek adott rotációs tengely körüli elforgatását jelentik.

Példa: Adottak az alábbi A és B mátrixok Példa: Adottak az alábbi A és B mátrixok. Végezze el az AB és a BA mátrix szorzást! Megoldás: Mivel A 3x4-es és B 4x2-es méretű mátrixok, ezért csak az AB szorzás végezhető el, a BA nem.

A determináns fogalma, kiszámítása és alkalmazása Definíció: A determináns a kvadratikus mátrixok halmazán értelmezett f: An  A függvény, mely az An mátrixhoz egy valós számot rendel az alábbiak szerint: n=2: A = detA = det(a1,a2) = a11a22-a12a21 n2: Sor- vagy oszlop szerinti kifejtéssel (n-1)x(n-1)–es mátrixok determinánsának kiszámítására vezetjük vissza i. sor szerinti kifejtéssel: A=j aij Aij (i=állandó) j. oszlop szerinti kifejtéssel: A=i aij Aij (j=állandó) ahol Aij az (ij)-edik (az i. sor j. eleméhez tartozó) algebrai aldetermináns.

Példa: Egy 2x2-es mátrix determinánsa: Egy 3x3-as mátrix determinánsának számítása az első oszlopa szerinti kifejtéssel:

Alkalmazás Az n egyenletből álló n ismeretlenes Ax=b lineáris egyenlet-rendszer megoldása, ha A  0: (i=1,2,…,n) ahol di= det(a1,…,ai-1,b,ai+1,…,an) Ha b=0 (homogén lineáris egyenletrendszer) és A  0, akkor Ez a homogén lineáris egyenletrendszer triviális megoldása. Ez a Cramer szabály.

Cramer-szabály Tekintsük az alábbi n egyenletből és n darab ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszert: Legyen A az egyenletrendszer együtthatómátrixa, és tegyük fel, hogy A determinánsa nem 0. Ekkor ahol annak az mátrixnak a determinánsa, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát kicseréljük

Cramer-szabály Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert: Először kiszámoljuk az A determinánsát: Mivel A nem 0 ezért megoldható Cramer-szabállyal az egyenletrsz.

Cramer-szabály A vektort kicseréljük az A megtrix megfelelő oszlopaival, az így kapott mátrix determinánsával kapjuk a megoldásokat:

Cramer-szabály A megoldások: