A MÉRÉSI HIBA TERJEDÉSE © Farkas György : Méréstechnika A MÉRÉSI HIBA TERJEDÉSE

A mérési hibák terjedése © Farkas György : Méréstechnika A mérési hibák terjedése A méréssel nyert adatokat a végeredmény kiszámításához gyakran képletbe kell behelyettesíteni. A képlettel számított végeredmény hibáját a mérési adatok hibája határozza meg. HIBAKORLÁTTAL MEGADOTT DETERMINISZTIKUS HIBA esetén a mérési adathoz tartozó intervallumból kell kiszámolnia végeredményhez tartozó intervallumot.

Determinisztikus hibák terjedése © Farkas György : Méréstechnika Determinisztikus hibák terjedése Ha x1 = [a,b], x2 =[c,d] - helyettesítünk az y(x1,x2) összefüggésbe: y =[e,f] adódik. x1 = [a,b], ahol a=min(x1) és b=max(x1) x2 = [c,d], ahol c=min(x2) és d=max(x2) y = [e,f ], ahol e=min(y) és f=max(y) e = min{y(a,c), y(a,d), y(b,c), y(b,d)} és f = max{y(a,c), y(a,d), y(b,c), y(b,d)}.

Példák determinisztikus hibák terjedésére © Farkas György : Méréstechnika Példák determinisztikus hibák terjedésére x1= [a,b], x2= [c,d], y = [e,f ]. y = x1 + x2  e = a+c, f = b+d y = x1 - x2  e = a-d, f = b-c y = x1 x2  e = ac, f = bd y = x1 / x2  e = a/d, f = b/c stb. De bonyolultabb összefüggések esetén nem ilyen egyszerű a számítás.

© Farkas György : Méréstechnika FONTOS PÉLDA Stabilizált tápegység kimeneti ellenállását (Rout) mérjük. Az üresjárási feszültség: U0  hU, Terheléskor a kapocsfeszültség: U  hU Feltétel: a maximális terhelő áramot (Imax) nem léphetjük túl méréskor (Rt  U0 /Imax), Rt  hR Rout = (U0 – U)/Imax , Imax= U0 /Rt, Pl.: U0 =10V, Imax=10A, U=9,98 V, Rout =2m  hout hU=1% , hR=0, hout=? U0 –U= +0,22…– 0,18; ? ? ? Rout < > 0 ? ? ?

Determinisztikus hibák terjedése kis relatív hibák esetén © Farkas György : Méréstechnika Determinisztikus hibák terjedése kis relatív hibák esetén Ha h1= H1 / x1 << 1, és h2= H2 / x2 << 1 H = y  (y / x1) x1 + (y / x2) x2 h = y /y h1 =  x1 /x1 és h2 =  x2 /x2 h = w1 h1 + w2 h2 ahol w1 = (y / x1) (x1 /y) és w2 = (y / x2) (x2 /y)

Determinisztikus hibák terjedése kis relatív hibák esetén © Farkas György : Méréstechnika Determinisztikus hibák terjedése kis relatív hibák esetén Ha a képletben több változó van: h   wi hi w-t súlytényezőnek hívják. wi = (y / xi) (xi /y) Megjegyzés: wi és  wi értéke lehet pozitív, negatív, lehet egynél nagyobb is!

© Farkas György : Méréstechnika FONTOS PÉLDA U = U1  U2 U1 ± h1 , U2 ± h2 w1 = U1 / (U1  U2) w2 =  U2 / (U1  U2) hU = w1h1 + w2h2 Megjegyzés: ha U1 > (U1  U2), akkor w1 > 1 ha  U2 > (U1  U2), akkor w2 > 1 A különbségek relatív hibája igen nagy lehet !!!

Véletlen hibák terjedése © Farkas György : Méréstechnika Véletlen hibák terjedése A számítás eredménye y, képlete: y (x1,x2) és az ehhez tartozó relatív hibakorlát:  h. A mérési adatok hibakorlátja:  h1 és  h2 A hibakorlátok a szórásból számíthatók, a szórás konstanssal való szorzásával. Az eredő szórás négyzetét a tagok szórása négyzetének összege adja. Ezért véletlen hibák esetén: h2   (wi hi )2

Véletlen hibák terjedése © Farkas György : Méréstechnika Véletlen hibák terjedése h2   (wi hi) 2 wi = (y / xi) (xi /y) ——————————————— 1. ALAP PÉLDA y = x1n x2m w1 = (y / x1) (x1 /y) = (n x1n-1 x2m)(x1 / x1n x2m ) = n w2 = (y / x2) (x2 /y) =(m x2m-1 x1n)(x2 / x1n x2m) = m h2  (n h1)2 +(m h2)2

Véletlen hibák terjedése © Farkas György : Méréstechnika Véletlen hibák terjedése wi = (y / xi) (xi/y) ——————————————— 2. ALAP PÉLDA y = nx1 +mx2 w1 = (y / x1) (x1 /y) = nx1 / (nx1 + mx2 ) = nx1 / y w2 = (y / x2) (x2 /y) =mx2 / (nx1 + mx2 ) = mx2 / y ha y < nx1 , y < mx2 , akkor lehet h >> h1, h2

© Farkas György : Méréstechnika FONTOS PÉLDA Így hP2 = (0,2)2 +( 0,02)2 hP  20,099 % Megjegyzések: A feszültség hibájának a kétszerese lesz a teljesítmény hibája, ha más hiba nincs. A négyzetes összeadás miatt a kisebb tagok alig befolyásolják a végeredményt. P = U2 / R wU = 2 wR =  1 hP2 = (2hU )2 +( hR )2 Legyen például hU = 10% , ebből önmagában 20% lesz! és legyen hR = 2%

© Farkas György : Méréstechnika FONTOS PÉLDA Megjegyzések: Ha csak egyféle hiba van, akkor nincs négyzetes összeadás. Az 1/2-es súlytényező miatt a a 10%-os hiba 5%-ra csökkent. A negatív előjelnek a négyzetes összeadás miatt nincs hatása  = 1 L C  = (LC)-1/2 wL = wC =  1/2 h2 = ( 1/2 hL )2 + ( 1/2 hC )2 h = 1/2 ( hL2 + hC2 )1/2 Legyen hL = 10% és hC = 0% Így a frekvencia hibája: h  = 1/2 ( 10%) = 5%

© Farkas György : Méréstechnika FONTOS PÉLDA Feszültségosztó hibája ha=? a = R1 /(R1 + R2), az ellenállások véletlen hibája: hR w1 = (a /R1) (R1 /a) = w1 = (R1 + R2  R1) (R1+ R2) 2 R1 (R1 + R2) / R1 = w1 = R2 / (R1 + R2) w2 = (a /R2) (R2 /a) = w2 = ( R1 ) (R1+ R2)  2 R2 (R1 + R2) / R1 = w2 =  R2 / (R1 + R2) ha2= (w12 + w22 ) hR2 Legyen a=1/2,

© Farkas György : Méréstechnika FONTOS PÉLDA Feszültségosztó hibája ha=? a = R1 /(R1 + R2), az ellenállások (egyforma) véletlen hibája: hR w1 = (a /R1) (R1 /a) = w1 = (R1 + R2  R1) (R1+ R2) 2 R1 (R1 + R2) / R1 = w1 = R2 / (R1 + R2) w2 = (a /R2) (R2 /a) = w2 = ( R1 ) (R1+ R2)  2 R2 (R1 + R2) / R1 = w2 =  R2 / (R1 + R2) ha2= (w12 + w22 ) hR2 Legyen a=1/2, w1=  w2 = 1/2, ha= hR /

HIBASZÁMÍTÁS Példa: DC árammérés PCB áramkörben  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Példa: DC árammérés PCB áramkörben I=? Az áramot kellene közvetlenül megmérni A mérés előtt minden esetben kiszámítandó a mérendő mennyiség várható értéke.

HIBASZÁMÍTÁS Árammérés közvetlenül kéziműszerrel  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Árammérés közvetlenül kéziműszerrel I A nyomtatott vezeték nem bontható meg

HIBASZÁMÍTÁS Árammérés helyett feszültségmérés  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Árammérés helyett feszültségmérés I=? Ismert az R ellenállás értéke, mérendő a rajta eső feszültség: I = U/R R

 Farkas György : Méréstechnika A mérés előtt minden esetben kiszámítandó a mérendő mennyiség várható értéke. Esetünkben I = 0,2 mA, R = 10 k tehát várhatóan U = 2V Ezt lehető pontosan ellenőrizni kívánjuk.

HIBASZÁMÍTÁS Árammérés helyett feszültségmérés  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Árammérés helyett feszültségmérés U I = U/R

HIBASZÁMÍTÁS Modellezés: helyettesítő áramkör  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Modellezés: helyettesítő áramkör U0 Rg U=? Rg R

HIBASZÁMÍTÁS A mérés hibái:  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS A mérés hibái: Rg hdet = – Rg/Rm U U0 h2vél = h2R +h2U A műszer pontossági osztálya =1, ellenállása: Rm= É · UF Az áram mérés hibája: - determinisztikus hiba a voltmérő terhelése miatt - véletlen hiba az ellenállás és a voltmérő hibájából

HIBASZÁMÍTÁS A determinisztikus hiba:  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS A determinisztikus hiba: Rg Rm U0 Rm= É UF U=? É= 10 k / V Rg= 10 k UF=3V Rm= 30 k hdet= –Rg /Rm= –33% Ez sok, de a nagy terhelés egyébként is elrontaná az áramkör működését!

HIBASZÁMÍTÁS Növeljük meg a méréshatárt!  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Növeljük meg a méréshatárt! Rg Rm U0 Rm= É UF U=? É= 10 k / V Rg= 10 k UF=30V Rm= 300 k hdet = –Rg /Rm= – 3,3% De ekkor a feszültségmérés véletlen hibája: hU= hF/D = 1%/2V/30V = ±15%

HIBASZÁMÍTÁS Mérjünk elektronikus műszerrel  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Mérjünk elektronikus műszerrel U=? Rm=10 M A mérendő és a voltmérő közös földelése zárlatot okozna!

HIBASZÁMÍTÁS Mérjük a két pont feszültségét külön  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Mérjük a két pont feszültségét külön U1 U2 U = U1 – U2

HIBASZÁMÍTÁS hU= ± 152  ± 21% !!!  Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS UF = 30V, a műszer pontossági osztálya 1% U = U1 –U2 = 30V – 28V = 2V h2U = w21h21 + w22h22 w1 = U/U1 · U1 /U = U1/(U1–U2) = 30/2 = 15 w2 = U/U2 · U2 /U = – U2/(U1–U2) = –28/2 = –14 h1 = hF/D = 1% / 1 = 1% h2 = hF/D = 1% / (28/30) = (30/28) % = (15/14)% h2U = 152 [1%]2 + 142 [(15/14)%]2 hU= ± 152  ± 21% !!! és ráadásul ehhez még a hR –t is hozzá kellene adni!

 Farkas György : Méréstechnika Ha a mérési ponton váltakozó feszültség van (főleg, ha nagyfrekvenciás) A mérővezetékbe iktatott ellenállással le kell választani a műszer és a vezetékek által okozott terhelő kapacitást!

 Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Feszültségosztáson alapuló közvetlenül mutató ellenállásmérés hibája RN R U0 U R = U0 –U RN U0 –U R = RN U U0 –U U U0 ± h0 RN ± hN R ± h = ?

 Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Feszültségosztáson alapuló közvetlenül mutató ellenállásmérés hibája R = RN U U0 –U RN R U0 U0 –U U U0 ± h0 RN ± hN R ± h = ? h2 = w20 h20 + w2N h2N + w2U h2U UF = U0 legyen h0  hN  0 és hU = hF / D D = U/U0

 Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Feszültségosztáson alapuló közvetlenül mutató ellenállásmérés hibája R = RN U U0 –U R ± h = ? h2 = w20 h20 + w2N h2N + w2U h2U U0 ± h0 h0  0 RN ± hN hN  0 h  wU hU

 Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Feszültségosztáson alapuló közvetlenül mutató ellenállásmérés hibája R = RN U U0 –U R ± h = ? h  wU hU wU= R U U R = RN (U0 – U) + U (U0 – U)2 wU= U0 – U U0 = 1 1 – D

 Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Feszültségosztáson alapuló közvetlenül mutató ellenállásmérés hibája R = RN U U0 –U R ± h = ? h  wU hU wU= U0 – U U0 = 1 1 – D hU = hF / D D  0 hu D  1 hu hU = [1/( 1 – D)] · (hF / D)

 Farkas György : Méréstechnika HIBASZÁMÍTÁS Feszültségosztáson alapuló közvetlenül mutató ellenállásmérés hibája hU = [1 / (1 – D)] · (hF / D) hU d[D(1 – D)] dD = 0 (1-Dopt) – Dopt = 0 Dopt = 0,5 hmin hmin = hF /[(1 – 0,5) · 0,5] = 4 hF D