Gazdaságstatisztika 13. előadás

Gazdaságstatisztika VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK Folytonos elméleti eloszlások

Normális eloszlás A valószínűségi változó paraméterű normális eloszlású, ha f sűrűségfüggvénye: Várható érték: Szórás: Az eloszlásfüggvénynek nincs zárt alakja. A sűrűségfüggvény haranggörbe alakú. 0,5 1 Inflexiós pont   Gazdaságstatisztika

Normális eloszlás Ha egy valószínűségi változó értékét nagyszámú, egymástól függetlenül ható véletlen tényező határozza meg úgy, hogy az egyes tényezők külön-külön csak igen kis mértékben járulnak hozzá az összes véletlen hatásból eredő ingadozáshoz, és az egyes tényezők hatásai összeadódnak, akkor általában normális eloszlású valószínűségi változót kapunk. Ez az ún. centrális határeloszlás tétel következménye. Általában normális eloszlást követ: arányskálán mérhető termékjellemzők (például: szélesség, hosszúság, vastagság, tömeg, összetétel) és technológiai paraméterek (például: hőmérséklet, nyomás, sebesség) eloszlása egyéb, több tényező összegződése révén előálló mennyiségek eloszlása (például: testmagasság, munkabérek, eseményidő a hálótervezésben, élettartam, két meghibásodás között eltelt idő) véletlen jellegű mérési hibák eloszlása Gazdaságstatisztika

Standard normális eloszlás Ha a valószínűségi változó olyan normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek paraméterei és , akkor standard normális eloszlású. Ha egy valószínűségi változó paraméterű normális eloszlású, akkor az valószínűségi változó standard normális eloszlású, azaz és . A standardizálás lényege, hogy tetszőleges normális eloszlású valószínűségi változóból standard normális eloszlású valószínűségi változót állítunk elő. Gazdaságstatisztika

Standard normális eloszlás A standard normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: eloszlásfüggvénye: A standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének helyettesítési értékei táblázatban megtalálhatók. Az eloszlásfüggvény görbéje szimmetrikus a (0;0,5) pontra => 0,5 1 Inflexiós pont Gazdaságstatisztika

Gauss A normális eloszlást Gauss eloszlásnak is nevezik. Karl Friedrich Gauss (1777-1855) Német matematikus és fizikus “A matematikusok fejedelme” Nagyon sokoldalú Elektromosság, mágnesesség, számelmélet Gazdaságstatisztika

Példa (*) Egy palackozóüzemben a palackozott sör töltési térfogatát vizsgálták. A vizsgálat során megállapították, hogy a töltési térfogat normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető 510ml várható értékkel és 20ml szórással. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata a.) 510ml-nél nagyobb? b.) pontosan 505ml? c.) 490ml és 500ml közé esik? Gazdaságstatisztika

Példa (*) - megoldás Jelölje a töltési térfogatot, mint valószínűségi változót. Tudjuk, hogy normális eloszlású ml várható értékkel és ml szórással. Az eloszlás paraméterei: és a.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata 510ml-nél nagyobb? Tudjuk, hogy Ezért és 0,5 a valószínűsége annak, hogy a töltési térfogat 510ml-nél nagyobb. Gazdaságstatisztika

Példa (*) - megoldás b.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata pontosan 505ml? Ennek a valószínűsége nulla, mert folytonos valószínűségi változó. c.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata 490ml és 500ml közé esik? 0,1499 a valószínűsége annak, hogy a töltési térfogat 490ml és 500ml közé esik. Gazdaságstatisztika

A centrális határeloszlás tétel A centrális határeloszlás tétel (a jegyzetben központi határeloszlás tétele) Tegyük fel, hogy teljesen független, azonos eloszlású valószínűségi változók, melyek közös várható értéke , közös szórása Ekkor a valószínűségi változó eloszlása tart a , paraméterű normális eloszláshoz, ha , azaz Más alakban: az valószínűségi váltózó eloszlása tart a standard normális eloszláshoz, ha n tart a pozitív végtelenbe, azaz: Gazdaságstatisztika

A centrális határeloszlás tétel A tétel azt mondja, hogy n növelésével a valószínűségi változók összege (átlaga) “elfelejti” az eredeti valószínűségi változók eloszlását, s normális eloszlásúvá válik. A centrális elnevezés onnan ered, hogy a tétel központi jelentőségű a valószínűségszámításban és matematikai statisztikában. Következmény Ha egy valószínűségi változó értéke sok, egymástól független valószínűségi változó összegeként áll elő úgy, hogy az egyes tényezők külön-külön csak igen kis mértékben járulnak hozzá az összes véletlen hatásból eredő ingadozáshoz, akkor a valószínűségi változó eloszlása közelítőleg normális eloszlású. A tétel magyarázatot ad arra, hogy nagyszámú, véletlen tényezőtől függő mennyiségek és jellemzők (pl. testmagasság, testtömeg, különböző gazdasági mutatók) eloszlása miért követ közelítőleg normális eloszlást. Alkalmazás Valószínűségi változó várható értékének becslésére (konfidencia intervallum) Statisztikai próbák készítésére Gazdaságstatisztika

A centrális határeloszlás tétel Példa Vizsgáljunk egy szabályos kockával dobott értéket, mint valószínűségi váltózót. Feltételezhetjük, hogy ez diszkrét egyenletes eloszlású (a kocka szabályos). Először egy majd két, három, négy, öt és végül 6 kocka esetén vizsgáljuk a dobott értékek átlagának eloszlását. Ehhez a valószínűség-eloszlás függvény grafikonját használjuk. Gazdaságstatisztika

A Moivre-Laplace tétel (kiegészítő anyag) Figyeljünk meg egy A eseményt n-szer függetlenül. Legyen p=P(A) az A esemény bekövetkezésének valószínűsége, pedig A bekövetkezéseinek száma n-ből. Ekkor: Háttér A Moivre-Laplace tétel a centrális határeloszlás tétel egy speciális esete Legyen az i-edik megfigyelés során (i=1,2,…,n) Mindegyik Bernoulli-eloszlású p=P(A) paraméterrel, p közös várható értékkel és közös szórással. Alkalmazás Esemény valószínűségének becslésére (konfidencia intervallum) Statisztikai próbák készítésére Gazdaságstatisztika

Moivre Abraham de Moivre (1667-1754) Analitikus geometria Valószínűségelmélet Gazdaságstatisztika

Laplace Pierre Simon Laplace (1749-1827) Francia matematikus és csillagász Bolygók pályáinak stabilitása Gazdaságstatisztika

STATISZTIKAI BECSLÉSEK Gazdaságstatisztika STATISZTIKAI BECSLÉSEK

Nyitó gondolatok Úgy tekintjük, hogy egy véletlentől függő mutatószám (változó), ún. statisztikai mutató matematikai modellje a valószínűségi változó. Pl. statisztikai mutatószám: testmagasság, életkor, stb. Ahhoz, hogy egy valószínűségi változó jellemzőit megismerjük, szükségünk van az eloszlásának ismeretére. Milyen jellegű az eloszlás (pl. normális, exponenciális, Poisson, stb.)? Ha a jellegét ismerjük, akkor milyen értékűek a paraméterei? A gyakorlatban, egy konkrét probléma esetén ha tudjuk, hogy a problémát leíró valószínűségi változó eloszlása milyen jellegű, akkor szükségünk van még a paramétereinek ismeretére. Mivel a paraméterek általában ismeretlenek, ezért azokat általában becsüljük. Gazdaságstatisztika

A becslésekről általában Kiindulás egy valószínűségi változó, egy ismeretlen paramétere -nek Cél becslése (“jó” becslése) Statisztikai megközelítés n számú független megfigyelést végzünk -re vonatkozóan, a megfigyelések (kísérletek) eredménye a minta. A minta felhasználásával előállítjuk az mintastatisztikát (röviden statisztikát) úgy, hogy Ekkor a paraméter egy becslése. Gazdaságstatisztika

A becslésekről általában A mintaelemek maguk is valószínűségi változók teljesen független, azonos eloszlású valószínűségi változók, eloszlásuk megegyezik eloszlásával. Mivel valószínűségi változók, így az statisztika is valószínűségi változó. Két becslési módszer Pontbecslés A paramétert az statisztika mintából kiszámított konkrét számértékével becsüljük, azaz a számegyenes egy pontjával. Intervallumbecslés Egy vagy több mintastatisztika eloszlásának ismeretében megadunk egy olyan intervallumot, amely az ismeretlen paramétert előre megadott (pl. 95%-os) valószínűséggel tartalmazza. Gazdaságstatisztika