Kvantitatív Módszerek 11. Korreláció- és regressziószámítás II. Dr. Kövesi János

A (lineáris) korrelációs együttható A korrelációs együttható értéke nulla, ha X és Y függetlenek. Ez fordítva általában nem igaz: abból, hogy két valószínűségi változó korrelációs együtthatója nulla, nem feltétlenül következik, hogy a két változó független is egymástól (kivétel, ha X és Y együttes eloszlása normális). Ha a két változónál csak azt tudjuk, hogy R(X,Y)=0, akkor korrelálatlannak nevezzük őket.

A (lineáris) korrelációs együttható Az elméleti korrelációs együtthatót a mintabeli, tapasztalati korrelációs együtthatóból becsülhetjük: ahol: és

A (lineáris) korrelációs együttható szignifikancia vizsgálata Ho: R (X, Y) = 0 A két változó egymástól független normális eloszlású Ha H0 igaz, akkor r(x,y) alábbi függvénye DF=n-2 szabadság fokkal t - eloszlást követ: Ha adott  mellett tsz>tkrit, akkor H0-t elvetjük és =1- megbízhatósággal állíthatjuk, hogy a két változó között sztochasztikus kapcsolat áll fenn.

A (lineáris) korrelációs együttható Feladat: Számítsuk ki a mintapéldában szereplő változó korrelációs együtthatóját és végezzük el a szignifikancia vizsgálatot! Ho: R (X, Y) = 0 DF= n-2 =14-2 = 12  =0,05 tkrit = 2,17 Mivel tsz  tkrit, ezért a nullhipotézist elvetjük és nagy biztonsággal állíthatjuk, hogy a két változó között korrelációs (sztochasztikus) kapcsolat van. (Emlékeztetőül: az előjel – korrelációs együttható értéke 0,71 volt).

Az r(x,y) és a regressziós egyenes összefüggése Az r2 (x, y) – amelyet determinációs együtthatónak is neveznek – azt fejezi ki, hogy a sztochasztikus kapcsolatban a teljes változás hányad része tulajdonítható x-nek. Értékét %-os formában is megadhatjuk.

Feladat A mintapélda adatai alapján határozzuk meg a determinációs index értékét! Az eredményt úgy értelmezhetjük, hogy a termésátlagok változásában a műtrágya felhasználás 72%-ban játszott szerepet.

A regressziós becslés pontossága Nyilvánvaló, hogy a sztochasztikus kapcsolat mérőszámaiból csak akkor vonhatunk le helyes következtetéseket, ha megfelelően nagy mintánk van. Így, az eredmények értékeléséhez hozzátartozik a mérőszámok hibájának vizsgálata is. A pontosság jellemzése céljából tehát most az a, b, paraméterek becslésének szórását (standard hibáját) kell meghatároznunk: 1. A regressziós együtthatók standard hibái (pontbecslés). 2. Konfidencia intervalluma becsült paraméterekre. 3. A lineáris kapcsolat szignifikancia vizsgálata. 4. Az átlagos, vagy az egyedi yi értékek becslése.

1. A regressziós együtthatók standard hibái (pontbecslés). A standard hibák azt mutatják meg, hogy végtelen sok n elemű mintát véve az alapsokaságból az egyes mintákból becsült “a” paraméterek átlagosan sb egységgel szóródnak az alapsokasági regressziófüggvény körül.

2. Konfidencia intervallum a becsült paraméterekre A becsült paraméterekre konfidencia intervallumokat is konstruálhatunk. Nagy minták esetén normális eloszlás táblázatot-, kis minták esetén a Studen-eloszlás t- táblázatát használjuk (DF= n-2):

3. A lineáris kapcsolat szignifikancia vizsgálata t- próba segítségével azt is ellenőrizhetjük, hogy az Y és X változók között szignifikáns lineáris kapcsolat van-e. Nullhipotézisünk és ellenhipotézisünk: A próbastatisztika: A tkrit értéket  szignifikancia szinten DF=n – 2 szabadsági foknál találjuk meg. Ha tsz tkrit, elvetjük Ho-t és valós lineáris összefüggést tételezünk fel X és Y között.

4. Az átlagos, vagy az egyedi yi értékek becslése

Feladat Korábban már többször foglalkoztunk a BUX havi hozamainak statisztikai elemzésével (leíró statisztika, hipotézisvizsgálatok). Az alábbi táblázat alapján vizsgáljuk meg, hogy az 1998. VII.-1999.VI. közötti időszakban a havi hozam (%) alapján kimutatható-e sztochasztikus kapcsolat a BUX és a Zwack hozamai között? Adjunk – előzetes – szakmai magyarázatot az eredményekre!

Feladat A diagram és/vagy a táblázat alapján határozzuk meg az előjel – korrelációs együtthatót! Határozzuk meg a tapasztalati korrelációs együtthatót és  = 5 % mellett végezzük el a szignifikancia vizsgálatot! Következtetés: tsz > tkrit Ho: R(x,y) = 0 DF = 12-2 = 10  = 5% H0 nem igaz ! tkrit = 2,23

Feladat Következtetés: Becsüljük meg a lineáris regressziófüggvény együtthatóit! Határozzuk meg a determinációs együtthatót és értelmezzük az eredményt! Következtetés: A Zwack hozamának változásában a BUX hozama 46,2 %-ban játszott szerepet.

Feladat 23 , 2 = t Következtetés: Határozzuk meg a regressziós becslés pontosságát! se = 7,47 sa = 2,157 sb = 0,143 Készítsünk 95 %-os konfidencia intervallumot a becsült paraméterekre!  = 5% 23 , 2 1 = - a t ao = 1,47  4,841 bo = 0,463  0,32 Ellenőrizzük  = 5 % mellett, hogy a lineáris kapcsolat szginifikáns-e? DF = 10 tsz = 3,24 tkrit = 2,23 Következtetés: Mivel tsz >tkrit a H0 (b=0) nem igaz, tehát x és y között szignifikáns lineáris kapcsolat van.