dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2007-08. Lineáris egyenletrendszerek (Az evolúciótól a megoldáshalmaz szerkezetéig) dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2007-08.
I. Mátrixokkal (determináns)
2 x 2
3 x 3
II. Vektorokkal
Megoldás elemi bázistranszformációval:
. . . . .
a1·x1 + a2·x2 + … + an·xn = b
a1·x1 + a2·x2 + … + an·xn = b
a1·x1 + a2·x2 + … + an·xn = b ?t = 0
Példa:
"józan" ésszel:
xB=[x2, x1, x5, x8] , xR=[x3, x4, x6, x7] , r = 4 , s = 4 .
A bázisba bevitt ismeretleneket kifejezzük a be nem vitt ("maradék") változókkal: a2) x2 = 10-(-7x3+5x4-6x6+0x7) a1) x1 = 12-(+5x3+0x4+4x6-4x7) a5) x5 = 19-(-7x3+5x4-6x6+3x7) a8) x8 = 13-(+6x3+7x4-9x6-5x7) x3,x4,x6,x7 € R tetszőleges számok xB=[x2, x1, x5, x8] , xR=[x3, x4, x6, x7] , r = 4 , s = 4 .
xB = d - D ·xR a2) x2 = 10-(-7x3+5x4-6x6+0x7) a1) x1 = 12-(+5x3+0x4+4x6-4x7) a5) x5 = 19-(-7x3+5x4-6x6+3x7) a8) x8 = 13-(+6x3+7x4-9x6-5x7) x3,x4,x6,x7 € R tetszőleges számok xB= [x2, x1, x5, x8] , xR= [x3, x4, x6, x7] , r = 4 , s = 4 .
A megoldáshalmaz geometriai szerkezete:
Tehát: A megoldáshalmaz mindig egy L{v1,…,vr} altér eltoltja egy u vektorral. (Mhom=uinh+Mhom)
"tudományosan": xB=[x2, x1, x5, x8] , xR=[x3, x4, x6, x7] , r = 4 , s = 4 .
xB=[x2, x1, x5, x8] , xR=[x3, x4, x6, x7] , r = 4 , s = 4 .
xB=[x2, x1, x5, x8] , xR=[x3, x4, x6, x7] , r = 4 , s = 4 .
Sorok és oszlopok rendezésével: xB=[x2, x1, x5, x8] , xR=[x3, x4, x6, x7] , r = 4 , s = 4 .
xB + DxR = d xB=[x2, x1, x5, x8] , xR=[x3, x4, x6, x7] , r = 4 , s = 4 .
xB + DxR = d xB=[x2, x1, x5, x8] , xR=[x3, x4, x6, x7] , r = 4 , s = 4 .