Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János

A valószínűségszámítás tárgya 5 A valószínűségszámítás tárgya Véletlen jelenség fogalma Tömegjelenség fogalma 

A valószínűség fogalma 6 A valószínűség fogalma A n f(A) 

Az axiómarendszer 1. axióma 0  P(A) 2. axióma P() = 1 3. axióma 6 Az axiómarendszer 1. axióma 0  P(A) 2. axióma P() = 1 3. axióma Ha A1, A2, … An páronként kizárják egymást, akkor P(A1 + A2 + ... An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) Teljes eseményrendszer: P(A1 + A2 + ... An) = P() = 1 

A valószínűség meghatározásának módszerei 7 A valószínűség meghatározásának módszerei Klasszikus valószínűség-meghatározás Geometriai Valószínűségszámítási tételek Empirikus adatokból Elméleti eloszlások Szubjektív becslés 

Valószínűségszámítás fő területei 8 Valószínűségszámítás fő területei 

Kvantitatív módszerek 2. Valószínűségszámítási tételek Dr. Kövesi János

Valószínűségszámítási tételek 10 Valószínűségszámítási tételek P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) Bizonyítás A·B B A 

Valószínűségszámítási tételek 10 Valószínűségszámítási tételek Ha A esemény bekövetkezése ... P(B-A) = P(B) - P(A) és P(A)  P(B) Bizonyítás: B = A + (B-A) P(B) = P(A) + P(B-A)  III. axióma Mivel P(B-A)  0  P(A)  P(B) 

Valószínűségszámítási tételek 10-11 Valószínűségszámítási tételek 1. Feladat: Mutassuk ki, hogy ... P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(AB) = P(A) + P(B) - P(A+B) +1 a lehetséges legnagyobb értéke 0,7 0,9 2. Feladat: Próbagyártás után ... P(A + B) = 0,15 + 0,3 - 0,08 = 0,37 P(A + B) = 0,63 

Valószínűségszámítási tételek 11 Valószínűségszámítási tételek 3. Feladat: Egy iskola tanulóinál ... P(A) = P(A + B) + P(AB) - P(B) = = 0,16 + 0,09 - 0.11 = 0,14 

A feltételes valószínűség fogalma 12 A feltételes valószínűség fogalma Definíció: Ha A és B … P(A|B) = P(AB) / P(B) Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos két esemény, és P(B)  0 

A feltételes valószínűség fogalma 13 A feltételes valószínűség fogalma 1. Feladat: Egy szállítmány 96%-a megfelel… A = a termék első osztályú} B = a termék megfelelő} P(AB) = P (A|B) · P(B) = 0,75 · 0,96 = 0,72 

A feltételes valószínűség fogalma 13 A feltételes valószínűség fogalma 2. Feladat : Egy telefonfülke előtt állunk … a.) b.) c.) 

A teljes valószínűség tétele 15 A teljes valószínűség tétele Ha B1, B2, … Bn teljes …. Bizonyítás: 

A teljes valószínűség tétele 16 A teljes valószínűség tétele 1. Feladat: Az MBA programban … A = a vizsga sikeres} B1 = a hallgató férfi}  P(B1) = 0,45 B2 = a hallgató nő}  P(B2) = 0,55 P(A) = 0,6 ·0,45 + 0,8 ·0,55 = 0,71 

A teljes valószínűség tétele 16 A teljes valószínűség tétele 2. Feladat: Három műszak azonos … 

A teljes valószínűség tétele 17 A teljes valószínűség tétele 3. feladat: Egy gyártóberendezés munkaidejének… 

A teljes valószínűség tétele 17 A teljes valószínűség tétele 4. Feladat: Egy üzem 8 berendezése… 

18 Bayes-tétel Ha B1, B2, … Bn teljes eseményrendszer …. 

Bayes-tétel Bizonyítás: P(Bk|A)·P(A) = P(A| Bk) ·P(Bk) P(Bk·A) P(A·Bk) 18 Bayes-tétel Bizonyítás: P(Bk|A)·P(A) = P(A| Bk) ·P(Bk) P(Bk·A) P(A·Bk) Teljes valószínűség tétele 

Bayes-tétel 1. Feladat: Alkatrész-ellátásnál …. 19 Bayes-tétel 1. Feladat: Alkatrész-ellátásnál …. A = az alkatrész hibás} B1 = ”I.”-tól jött}  P(A|B1) = 0,1 B2 = ”II.”-től jött}  P(A|B2) = 0,2 

Bayes-tétel 2. Feladat: Egy üzemből kikerülő …. 19 Bayes-tétel 2. Feladat: Egy üzemből kikerülő …. A = a termék I.o. minősítést kap} B1 = a termék I.o.}  P(B1) = 0,75 B2 = a termék nem I.o.}  P(B2) = 0,25 P (A|B1) = 0,98 P (A|B2) = 0,05 

Bayes-tétel 3. Feladat: Egy folyóban bekövetkező …. 20 Bayes-tétel 3. Feladat: Egy folyóban bekövetkező …. Bi = az i-edik üzemet terheli a felelősség} (A |Bi) = halpusztulás következett be, feltéve, hogy Bi volt a szennyező} P(B1)=0,2 P(B2)=0,5 P(B3)=0,3 P(A |B1)=0,6 P(A |B2)=0,15 P(A |B3)=0,25 

Bayes-tétel 3. Feladat: folyt. P(A)=0,2·0,6+0,5·0,15+0,3 ·0,25 = 0,27 20 Bayes-tétel P(A)=0,2·0,6+0,5·0,15+0,3 ·0,25 = 0,27 P(B1|A)=0,44 P(B2|A)=0,28 P(B3|A)=0,28 3. Feladat: folyt. 1,1 MFt 700 eFt 700 eFt 

Bayes-tétel 4. Feladat: Egy irodában 3 munkatárs dolgozik…  21 Bi = az i-edik munkatárs készíti} A = hibás az akta} n = 10 + 15 + 25 = 50 db/nap 