MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA I. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI AGRÁRMÉRNÖKI BSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI BSc A BSc megnevezéséből ha nem közös a tárgy az aktuálisat kell meghagyni. Valamennyi beszúrt objektum (képlet, hang, video stb, a ppt-vel azonos könyvtarban legyen. Eloadasok anyagat kulon konyvtarban kerjuk elhelyezeni. Konyvtarnev: Fokonyvtar: targynev; alkonyvtar:Kornyg_Termv _eloadas_szama ; Fajl neve :TARGYNEV_Kornyg_Termv_BSC_Eloadas_gyakorlat_szama_ppt

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Mátrix inverzének meghatározása LINEÁRIS TEREK, BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ÁTTEKINTÉSE Fogalmak Bázistranszformáció Lineáris egyenletrendszerek megoldása Mátrix inverzének meghatározása Az előadások / gyakorlatok diáinak kidolgozása során jelöljön ki kulcsszavakat amelyeket az ellenőrző kérdésekhez hiperhivatkozásként kapcsoljon a kérdéshez. Művelet leírása BESZÚRÁS OBJEKTUM HIPERHIVATKOZÁS súgóban. HEFOP 3.3.1.

1) Fogalmak Vektor alatt a következőkben An,1=an=a n elemű oszlopvektort értünk Egy V halmazt valós vektortérnek, elemeit vektoroknak nevezzük, ha értelmezve van benne az összeadás és a skalárral szorzás ez nem vezet ki a térből: eredményük is V-be tartozó vektort ad. Legyenek az alábbi 2 elemű vektorok egy V vektortér elemei Ezekből további vektorok állíthatók elő. Például: tetszőleges 1, 2  R skalárokkal 1 a1 + 2 a2 = b  V vízszintes irányú vektorok 1 a1 + 2 a3 = b  V síkbeli vektorok Az a1, a2,…,an  V vektorok 1, 2,…,n  R skalárokkal vett lineáris kombinációján az 1 a1 + 2 a2 + …+ n an= b vektort értjük. A diákhoz itt kellene beszúrni a tanári magyarázatokat. HEFOP 3.3.1.

Vizsgáljuk meg az a1, a2, a3 vektorok lineáris kombinációjával a 0 vektor előállítási lehetőségét: 1 a1+ 2 a2 = 0 itt a1=-a2 így pl 1=1, 2=2 1 a1+ 2 a3 = 0 itt csak 1=2=0 a megoldás Az a1, a2,…,an  V vektorok lineárisan függetlenek, ha az 1 a1 + 2 a2 + …+ n an= 0 lineáris kombináció csak 1 = 2 = … =n = 0 esetén áll fenn. lineárisan függőek: egyébként Következmény: lineárisan független vektorok közül egyik sem fejezhető ki lineárisan függő vektorok között van olyan, amelyik kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként. Egyenes mentén: max. 1 lineárisan független vektor – 1 dimenziós tér Síkbeli vektorok: max. 2 lineárisan független vektor – 2 dimenziós tér 3 elemű vektorok: max. 3 lineárisan független vektor – 3 dimenziós tér HEFOP 3.3.1.

Egy V tér n dimenziós, ha n lineárisan független vektor van, de n+1 már nincs a vektorai között. Az a1, a2,…,an  V vektorrendszer az n dimenziós tér bázisa, ha lineárisan független rendszer és a tér bármely vektora lineárisan kombinálható belőle. Pl. az a1, a3 vagy az a2, a3 a sík bázisai Bizonyítható, hogy bázisvektorokból a tér bármely vektora egyértelműen generálható. Példák bázisokra: síkban: → i, j egységvektorok (középiskolából), → bármely két nem egy egyenesbe eső vektor n dimenziós térben: e1, e2,…,en triviális bázis ebben egy tetszőleges vektor könnyen megadható: Például b=(b1,b2,…,bn): b=b1e1+b2e2+…+bnen formában Egy V térben több bázis is megadható. HEFOP 3.3.1.

Egy a1, a2,…,an  V vektorrendszer rangja = maximális (tovább már nem bővíthető) lineárisan független részrendszereinek száma. Jele: rang(a1, a2,…,an) Pl. Korábbi példánkra rang(a1, a2, a3)=2 Egy A(a1, a2,…,an ) mátrix rangja= oszlop/sor vektoraiból álló vektorrendszer rangja. Jele: rang(A) Pl. ha a mátrix oszlopvektorai az előző a1, a2, a3 vektorok, akkor rang(A)=2 Egy b vektor kompatíbilis az a1, a2,…,an vektorrendszerrel, ha kifejezhető ezek lineáris kombinációjaként. HEFOP 3.3.1.

2) Bázistranszformáció Elemi bázistranszformáció Tudjuk, hogy a bázisvektorok segítségével a tér bármely vektora egyértelműen generálható. Legyen b1,b2,...,bn a V=Rn n dimenziós tér egy bázisa, s ebben egy tetszőleges v vektor v= v1b1+v2b2+...+vkbk +...+vnbn Elemi bázistranszformáció: egy vektor koordinátáit olyan új bázisra adjuk meg, melyben egy bázisvektort újra cseréltünk. Cseréljük ki pl. bk-t egy a vektorral, majd adjuk meg v-t a b1,...,bk-1, a ,bk+1,...,bn bázisban. HEFOP 3.3.1.

Legyen a régi bázisban a: a=a1b1+a2b2+...+akbk +...+anbn Innen bk –t kifejezve (feltesszük, hogy ak0) bk= -a1/ak b1-a2/ak b2-...+1/aka-...-an/ak bn s ezt v képletébe írva v =( v1- vk/ak a1) b1+…+ vk/ak a+ …+( vn- vk/ak an) bn majd az r=1/ak és a q=vk/ak jelöléseket használva a vektorok koordinátái a régi ill. az új bázisban a táblázatokban láthatók: HEFOP 3.3.1.

Az elemi bázistranszformáció lépései: A bázisba vonandó vektor egy nem zéró koordinátáját generáló elemnek választjuk A generáló elem sorában lévő bázisvektort és a bázisba vonandó vektort a táblázatban kicseréljük egymással A generáló elem helyébe a reciprokát írjuk, oszlopát a generáló elem negatívjával osztjuk, ezzel megkaptuk a bázisból kikerült vektor koordinátáit az új bázisra A többi vektor generáló elem helyével egyező sorát osztjuk a generáló elemmel. E vektorok többi új koordinátáit úgy kapjuk, hogy a régi (pl. i-ik) koordinátájából kivonjuk az előbbi osztással kapott hányados és a generáló elem ugyanezen (i.-ik) koordinátájának szorzatát. HEFOP 3.3.1.

A bázistranszformáció és alkalmazásai Az elemi bázistranszformáció többszöri alkalmazásakor - amikor általában teljesen újra cseréljük a régi bázist - már bázistransz-formációról beszélünk. Kiindulási (régi) bázisként rendszerint az egységvektorokból álló bázist használjuk. A bázistranszformáció alkalmazási lehetőségei: Vektorok lineáris függőségének, -függetlenségének meghatározása Vektorrendszer rangjának meghatározása Adott vektorok által generált tér dimenziójának megadása Adott oszlopvektorokból álló mátrix rangjának megadása Kompatibilis-e adott vektor egy vektorrendszerrel Lineáris egyenletrendszer megoldása Mátrix inverzének meghatározása. HEFOP 3.3.1.

Végezzük el a bázistranszformációt! Kiindulási bázis: e1, e2, e3, e4. Legyenek a1= a2= a3= a4= a5= b1= b2= Válaszoljuk meg az 1.-4. kérdéseket, ha a1,…,a5 az adott vektorrendszer! Végezzük el a bázistranszformációt! Kiindulási bázis: e1, e2, e3, e4. Új bázis: az a1,…,a5 vektorokból választott bázis. Adjuk meg ebben az új bázisban a bázisba be nem vont vektorokat valamint a b vektorokat! 0. a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 1. 2. e1 1 2 4 3 5 -1 e2 7 -3 -6 e3 6 e4 9 -2 HEFOP 3.3.1.

Válaszok: Az a1,…,a5 vektorrendszer lineárisan függő, mert pl. a3=2a1+a2 rang(a1,…,a5)=2 mert max. 2 lineárisan független van közöttük rang(A)=2 dim(a1,…,a5)=2 Kompatibilisek-e a b vektorok? e. b1 kompatibilis, mert b1=2a1-a2, de b2 nem kompatibilis, mert b2=3a2+a2+4e3 HEFOP 3.3.1.

3) Lineáris egyenletrendszerek megoldása Megoldhatók-e az Ax=b1 illetve az Ax=b2 egyenletrendszerek? Általánosan, az a11x1+a12x2+...+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+...+a2nxn = b2 … am1x1+am2x2+...+amnxn=bm vagy Ax=b A az együttható mátrix ill. a1x1+a2x2+...+anxn=b ai az xi–k, b a bj-k vektora m egyenletből álló n ismeretlenes egyenletrendszer -megoldható, ha b kompatibilis az a1,a2,...,an vektorrendszerrel, -különben nincs megoldása az egyenletrendszernek. Az Ax=b1 megoldható, az Ax=b2 nem oldható meg, mert van, ill. a második esetben nincs olyan x –megoldás- vektor, melynek koordinátáival a b vektor lineárisan kombinálható (L e. pont is) HEFOP 3.3.1.

Lineáris egyenletrendszer megoldása bázistranszformációval. A bázistranszformáció befejezése után jelentse Ar=(a1,a2,...,ar) a bázisba vont új vektorok mátrixát, ahol rmin(m,n) a mátrix rangja Er : rxr-es egységmátrixot xr : a bázisba vont ai vektorok xi skalárszorzóiból képzett oszlopvektort xs: a bázisba nem vont ai vektorok xi skalárszorzóiból képzett oszlopvektort D : a bázisba nem vont ai vektorok alatti együtthatókból képzett mátrixot d : a jobboldali konstansok (b) transzformált alakját Ha a táblázatban csupa 0 sorok találhatók, ezek elhagyhatók (nem független egyenletek) Ha az ai vektorok alatt vannak csupa 0 elemekből álló sorok, de a b vektor sorában itt nem 0 van, akkor b nem kompatibilis, az egyenletrendszernek nincs megoldása HEFOP 3.3.1.

A bevezetett jelölésekkel: A= Ar(Er, D) és b = Ard alakba írható, melyekkel A x = b Ar(Er, D) x = Ard Er xr+ D xs= d xr=d – D xs az egyenletrendszer általános megoldása Jelölje r az együtthatómátrix rangját, n az ismeretlenek számát. Ha r  n akkor irreguláris az egyenletrendszer r = n akkor reguláris az egyenletrendszer Ha a jobboldali konstansok vektora b=0, akkor homogén az egyenletrendszer b0, akkor inhomogén az egyenletrendszer HEFOP 3.3.1.

A megoldható egyenletrendszerek típusai és ezek megoldása: 1. Ha r<n, b0, azaz irreguláris, inhomogén : xr= d - D xs 2. Ha r<n, b=0, azaz irreguláris, homogén : xr= -D xs 3. Ha r=n, b0, azaz reguláris, inhomogén : x= d 4. Ha r=n, b=0, azaz reguláris, homogén : x = 0 ahol tehát a képletekben lévő változók értékei az utolsó transzformációs táblázatból kiolvashatók. A reguláris egyenletrendszereknek egy megoldásuk van. Homogén rendszernél ez a csupa 0-ból álló triviális megoldás. Irreguláris egyenletrendszereknél a képletek jobboldalán levő változók tetszőleges értékeket vehetnek fel, így itt végtelen sok megoldás van. HEFOP 3.3.1.

Példánkra: a) Az irreguláris inhomogén rendszer megoldása: xr= d - D xs Ahonnan x1= 2-2x3+x4+x5 = 2 0 2 … x2=-1-x3-x4-2x5 =-1 -2 -5 … x3= = 0 1 1 … x4= = 0 0 1 … x5= = 0 0 1 … x1=2-2x3+x4+x5 ez az egyenletrendszer általános x2=-1-x3-x4-2x5 megoldása x3, x4, x5 helyébe tetszőleges valós számokat helyettesítve végtelen sok un partikuláris megoldás kapható HEFOP 3.3.1.

b) Ha a b=0 lenne, irreguláris inhomogén: xr= - D xs x1=2x3+x4+x5 =0 -2 0 … x2=x3-x4-2x5 =0 -1 -4 … x3= =0 1 1 … x4= =0 0 1 … x5= =0 0 1 … c) Ha csak a1, a2 és b1 lenne, reguláris inhomogén: x=d x1= 2 x2=-1 d) Ha csak a1, a2 és b=0 lenne, reguláris homogén: x=0 x1=0 x2=0 HEFOP 3.3.1.

4) Mátrix inverzének meghatározása Legyen A nxn-es mátrix. Jelölje X az inverzét! Ekkor az AX=E mátrixegyenletet kell megoldani. Mátrixegyenletünk (Ax1 Ax2 … Axn) = (e1 e2 … en) formába írható, ahol az xi ill. ei vektorok az X ill. E mátrix i. oszlopvektorát jelölik Az X inverzmátrix az Ax1 = e1 Ax2 = e2 … Axn = en egyenletrendszerek megoldásaiból kapható, amit az egység-vektoroknak az A oszlopvektoraira, mint bázisra nyert koordinátái adnak. HEFOP 3.3.1.

Példa Próba HEFOP 3.3.1. 0. a1 a2 a3 e1 1 2 -2 e2 3 7 -3 e3 -1 9 1. e1 9 1. e1 a2 a3 a1 1 2 -2 e2 -3 3 e3 7 2. e1 e2 a3 a1 7 -2 -8 a2 -3 1 3 e3 3. e1 e2 e3 a1 63 -18 8 a2 -24 7 -3 a3 -2 1 HEFOP 3.3.1.

ÖSSZEFOGLALÁS A lineáris tér olyan vektorokból álló nem üres halmaz, melyekre az összeadás és a skalárral való szorzás értelmezve van, és ezek eredménye is e térbeli vektort ad. Értelmeztük a lineáris kombináció, lineáris függetlenség, vektorrendszer-, mátrix rangja, dimenzió, bázis, kompatibilitás fogalmát. Bázistranszformációval lehetővé vált Vektorok lineáris függőségének, -függetlenségének meghatározása Vektorrendszer rangjának meghatározása Adott vektorok által generált tér dimenziójának megadása Adott oszlopvektorokból álló mátrix rangjának megadása Vektor adott vektorrendszerrel való kompatibilitásának vizsgálata Lineáris egyenletrendszer megoldása Mátrix inverzének meghatározása HEFOP 3.3.1.

ELLENÖRZŐ KÉRDÉSEK Mit nevezünk lineáris vagy vektortérnek? Mit értünk vektorok lineáris függetlenségén, vektorrendszer rangján? Mi tekinthető egy n dimenziós tér bázisának, melyik a legegy-szerűbb bázis? Hogyan írható mátrixos ill. vektoregyenlőség formában fel egy lineáris egyenletrendszer, mikor van megoldása az egyenlet-rendszernek? Milyen típusai vannak a lineáris egyenletrendszereknek, milyen képletek adják ezek megoldását? Hogy határozható meg egy négyzetes mátrix inverze bázistranszformációval? HEFOP 3.3.1.

Felhasznált források Szakirodalom: Bíró F.- Vincze Sz.: A gazdasági matematika alapjai. Egyetemi jegyzet, 2002 Egyéb források: Obádovics J. Gy-Szarka Z: Felsőbb matematika. Scolar Kiadó, Budapest, 1999 További ismeretszerzést szolgáló források: Sydsaeter – Hammond : Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó1998 A források citációs formája: Szerző (évszám): publikáció címe. megjelenés helye. Kiadó. Evf. Szam. Oldalszám Honlapok URL címe HEFOP 3.3.1.

KÖSZÖNÖM A FIGYELMÜKET! KÖVETKEZŐ ELŐADÁS CÍME: TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK Több összefüggő előadás vagy gyakorlat esetében az egymásra épülést itt lehet megadni. Itt kell megadni ha a következő előadás vagy gyakorlat megértéséhez milyen más tárgyak ismeretére van szükség. Az előadás anyagát készítette: Dr. Drimba Péter HEFOP 3.3.1.