Valószínűségszámítás és statisztika előadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 1. téma Bevezető A kurzus célja. A kurzus működése és a követelmények. Tematika és ütemezés 3 példa: bináris csatorna, e-levelek érkezése, regressziós egyenes j PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály A kurzus célja A tantárgy megnevezése: Valószínűségszámítás és statisztika Tantervi kódok: MANB030, MALB030 Óraszám/hét (előadás/gyakorlat/labor): (2 x 45’ előadás + 2 x 45’ gyakorlat)/hét Félévzárási követelmény: Vizsga Kredit: 5 Javasolt szemeszter: 3. félév Gesztor tanszék(ek): Beoktató tansz. /Beoktatási arány (%) Matematika 100 % Előtanulmányi követelmény(ek): MINB012 (Analízis II.) Képzési terület (szakok felsorolása): Mérnök informatikus szak Célja: A kurzus célja, hogy a hallgatók megismerkedjenek véletlent is tartalmazó jelenségek alapvető modelljeivel, elsajátítsák a valószínűségszámítás törvényeit és a statisztikai számítások szabályait. A kurzus segíti a hallgatót a véletlen jelenségek felismerésében, a modellalkotásban, az elméleti alapok elsajátításában és a statisztikai számítások kivitelezésében, annak érdekében, hogy képesek legyenek más mérnöki és informatikai tudományokban alkalmazni azt. A fenti célok eléréséhez a hallgatók használják a Maple számítógép algebrai rendszert a szemléltetések és a számítások során. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

A kurzus működése és a követelmények 1/2 A tantárggyal kapcsolatos követelmények és egyéb adatok Tantárgyfelelős / Előadó(k) / Gyakorlatvezető(k): Dr. Klincsik Mihály főiskolai tanár Pánczél Róbert óraadó Aláírás megszerzés feltétele (évközi követelmények): Gyakorlati foglalkozásokon való 70%-os részvétel, a házi feladatok elkészítése 75%-ban és határidőre való beadása, a 3 db ZH megírása. Ismeretek mérési módja: Otthoni feladatok önálló elkészítése Maple számítógép algebrai rendszer segítségével és beküldése határidőre e-learningen keresztül (beszámítás 25 %-os súllyal) 3 db írásbeli zárthelyi dolgozat (beszámítás 35%-os súllyal) Írásbeli vizsga (beszámítás 40 %-os súllyal) A gyakorlatokat 25 fős számítógépes laborban tartjuk. A Maple számítógép algebrai rendszert a szükséges mértékben használjuk. A házi feladatokat az e-learning rendszeren keresztül, határidőre kell beküldeni. A zárthelyi dolgozat feladatait egyrészt papíron, másrészt elektronikus formában lehet kidolgozni. A vizsga papír alapú. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály A kurzus működése és a követelmények 2/2 A jegykialakítás szempontjai: Az összes súlyozott pontszám: (házi feladatok*0.25 + ZH.-k*0.35 + vizsga*0.4) több mint 40%-ának megszerzése a MANB030 teljesítésének feltétele. Jegy kialakítása a megszerzett pontszámok súlyozott összege alapján, a következő százalékos beállásnak megfelelően történik: [100%, 85 %[ között jeles(5) [85%, 70 %[ között jó (4) [70%, 55 %[ között közepes (3) [55%, 40 %[ között elégséges (2) Oktatási segédeszközök, jegyzetek: Reimann József, Tóth Julianna, Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönvykiadó, Bp., 1989. (Tk. 42438) Obádovics J. Gyula, Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Scolar Kiadó,Bp. 1997. (ISBN 963 85341 84) Előadás és gyakorlat anyaga a http://www.matserv.pmmf.hu/e-learning/ e-learning rendszerben az „Informatika valószínűség” csoportnál, belépés jelszóval. A tantárgy felvételének módja: ETR-en keresztüli tárgyfelvétel PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Tematika és ütemezés 1/2 Ütemezés 2008/09. őszi félév Hét Ea/Gyak. Témakörök 1. Ea./Gyak. A teljes féléves tananyag áttekintése. Bevezető példák és megoldásai. 2. Valószínűségek számítása. Alapfogalmak : esemény, eseménytér, műveletek, valószínűségi axiómák, feltételes valószínűség, függetlenség. Törvények: ellentét esemény, összeg és szorzat események valószínűsége, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel Módszerek: a leszámlálás összeg és szorzás szabálya, döntés fa és inverzének ábrázolása és számításai 3. A 2. heti tananyag feldolgozása (folytatás) 1. Házi feladatsor kitűzése és beküldése 1 hét múlva 4. 5. Valószínűségi változók és alkalmazásuk: diszkrét és folytonos típusok megkülönböztetése. eloszlás, eloszlás függvény, sűrűség függvény.Várható érték és variancia számítása. 6. Nevezetes diszkrét valószínűségi változók: egyenletes, Bernoulli, binomiál, Poisson, hipergeometrikus és a geometriai eloszlás. 1. zárthelyi dolgozat az 1.- 5. heti témákból 2. Házi feladatsor kitűzése és beküldése 1 hét múlva. 7. Oktatási szünet PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Tematika és ütemezés 2/2 8. Ea/Gyak Nevezetes folytonos valószínűségi változók: egyenletes, exponenciális, normális vagy Gauss, gamma, khi-négyzet, student vagy t és F-eloszlás. 9. Ugyanaz, mint az előző heti tananyag 10. Két valószínűségi változó együttes eloszlása, kovariancia, generátor függvény, Markov- és Csebisev- egyenlőtlenség. Nagyszámok törvénye. Centrális határeloszlás-tétel. 3. Házi feladat kitűzése és beküldése 1 hét múlva 11. A matematikai statisztika alapjai: Populáció és annak várható értéke, mediánja és módusza. Minta és annak várható értéke, mediánja, módusza, terjedelme és varianciája. Empirikus eloszlásfüggvény. Hisztogramok. Normalitás vizsgálat. 2. zárthelyi dolgozat a 6.-10. heti témákból 12. Pontbecslések várható értékre és szórásra. A becslések torzítatlansága Paraméterbecslések a legnagyobb valószínűség elvén. Intervallumbecslések paraméterekre: konfidencia intervallum várható értékre, szórásra normális populációk esetén. 13. Statisztikai hipotézisvizsgálat. Null- és alternatív hipotézisek elfogadása és visszautasítása. Első és másodfajú hibák. Illesztés jóságának tesztje Khi-négyzet módszerrel. 4. Házi feladat kitűzése és beküldése 1 hét múlva 14. Korreláció és lineáris regresszió számítása. 3. zárthelyi dolgozat a 11.-14. témákból Írásbeli vizsga a féléves tananyag alapján (Papír alapú) PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

1. példa: Bináris csatorna Binaris_csatorna.mws Működése Üzenet (m) Kódolt üzenet E(m) Torzult üzenet (y) Üzenet m=D(y) Bináris kódoló és jeladó berendezés Zaj Vevő és dekódoló berendezés Kódolás átvitel Vétel Adatátviteli valószínűségek 0,45 0,9 0,1 Bináris jelek érkezése Encoder Decoder 0,05 0,55 0,95 Kérdések 1 1 Mekkora a valószínűsége az 1 jel vételének? Mekkora a valószínűsége, hogy a jeladó 1 jelet küldött, feltéve hogy a vevő 1 jelet vett? PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály 2. példa: E-levelek érkezése E_levelek.mws Egy üzletember óránként átlagosan 3 üzlettel kapcsolatos és 2 magán jellegű e-mailt kap. Ezt a következtetést egy féléves levelezés statisztikája alapján vonta le. Feltesszük, hogy az 1 óra alatt érkezett üzleti és magán levelek egymástól függetlenek és mindegyik közelíthető egy-egy Poisson- eloszlással! Jelölje X1 az 1 óra alatt beérkezett üzleti témájú levelek számát és X2 az 1 óra alatt beérkezett magán témájú levelek számát! (a) Ábrázolja X1 és X2 eloszlását 6 - 6 levélig! Hasonlítsa össze a két eloszlás jellegét? (b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenül kiválasztott órában nem kap levelet az üzletember? (c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenül kiválasztott órában összesen 5-nél több levele érkezik az üzletembernek? (d) Ábrázolja az Y= X1+ X2 összeg változó eloszlását 0-tól 5 -ig! Milyen eloszlású Y? Fogalmazzon meg sejtést a számítások alapján! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály 3. példa: Regressziós egyenes regresszio.mws (a) Döntsük el c2( khi-négyzet ) próba segítségével, hogy az X tantárgy osztályzatai függetlenek-e az Y tantárgy osztályzataitól 5%-os szignifikancia szinten! (b) Számítsuk ki a 25 megfigyelt adat és a függetlenségre alapozott számított értékek között a korrelációs együttható értékét! Rajzoljuk fel a kapott két adatsor értékeit közös koordinátarendszerben! Szoros-e a kapcsolat a két értéksor között? (c) Illesszünk lineáris regressziós egyenest az X tantárgy Y tantárgyra vonatkozó feltételes várható értékeire! Számítsuk ki az együttes eloszlás felhasználásával a korrelációs együtthatót és hasonlítsuk össze a (b) részben kapott korrelációs együtthatóval! Adjunk alsó és felső becslést (konfidencia intervallumot) a regressziós egyenes együtthatóira és az egyenesre 95%-os megbízhatósági szinten! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály