Kis szórás Nagy szórás Kis szórás Nagy szórás Átlag ═ Várható-érték Kis szórás Átlag ═ Várható-érték Nagy szórás Szisztema-tikus hiba Átlag ≠≠ Várható-érték Kis szórás Szisztema-tikus hiba Átlag ≠≠ Várható-érték Nagy szórás 15:50

kód pH k001 5,0 k002 5,2 k003 5,4 k004 5,5 k005 7,0 k006 7,2 k007 7,3 k008 medián: 6,25 módusz: 7,30 átlag: 6,24 Várható érték ? Kell-e meszezni?

Gyakorisági diagram Gyakoriság (db) 10 20 3 30 6 40 7 50 4 60 70 80 90 10 20 3 30 6 40 7 50 4 60 70 80 90 100 Centrális határeloszlás tétel Bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani középértékei normális eloszlást követnek

Normális eloszlás Sűrűség fv. Eloszlás fv.

p = 5 % hibavalószínűség

Konfidencia intervallum (Érvényesség) Várható érték ± szorzószám * szórás

n adatból számított átlag és szórás esetén Átlag ± t_érték * szórás Konfidencia intervallum n adatból számított átlag és szórás esetén Átlag ± t_érték * szórás n FG 10% 5% 1% 0,10% 1000 999 1,65 1,96 2,58 3,30 100 99 1,66 1,98 2,63 3,39 50 49 1,68 2,01 2,68 3,50 30 29 1,70 2,05 2,76 3,66 20 19 1,73 2,09 2,86 3,88 10 9 1,83 2,26 3,25 4,78 5 4 2,13 2,78 4,60 8,61 3 2 2,92 4,30 9,92 31,60 1 6,31 12,71 63,66 636,62

Adatmegadás gyakorlata p % 1% 5% 0,1% 10% n 8 4 2 FG 7 3 1 átlag 6,24 5,28 5,35 szórás 1,04 0,22 0,21 t_érték 3,50 2,36 12,92 5,84 3,18 2,35 63,66 12,71 6,31 konf.felsőh. 9,89 8,70 8,14 6,57 5,98 5,80 18,85 8,05 6,69 konf.alsóh. 2,59 3,77 2,41 3,98 4,57 4,75 -8,15 2,65 4,01 pH   5,2 5,5 7,2 5 7,3 5,4 5,3±0,7 p=5%

Kiugró adatok szűrése r10=(x1-x2)/(x1-xn) Dixon Próba db. Valószínűségi szint (p%) n 10% 5% 1% 7.3? 4 3 2 1 7? 0,89 0,94 0,99 pH 7,0 7,2 7,3 0,68 0,77 n=4 r10 = (7,3-7,3)/(7,3-7,0) = 0   r10=(x1-x2)/(x1-xn) 5 0,56 0,64 0,78 r10 = (7,0-7,2)/(7,0-7,3) = 0,67 6 0,48 0,70 7 0,43 0,51 5,5 8 0,55 n=5 r10 = (5,5-7,0)/(5,5-7,3) = 0,83 r11=(x1-x2)/(x1-xn-1) 9 0,44 10 0,41 0,60 11 0,52 0,58 r21=(x1-x3)/(x1-xn-1) 12 0,49 13 0,47 0,62

A várható értéktől számított eltérések négyzetösszege (SQvé) nagyobb v A várható értéktől számított eltérések négyzetösszege (SQvé) nagyobb v. egyenlő az átlagtól számított eltérések négyzetösszegénél (SQ)

A várható értéktől számított eltérések négyzetösszege (SQvé) nagyobb v A várható értéktől számított eltérések négyzetösszege (SQvé) nagyobb v. egyenlő az átlagtól számított eltérések négyzetösszegénél (SQ)

A várható értéktől számított eltérések négyzetösszege (SQvé) nagyobb v A várható értéktől számított eltérések négyzetösszege (SQvé) nagyobb v. egyenlő az átlagtól számított eltérések négyzetösszegénél (SQ)

e racionális szám e2 ≥ 0 n természetes szám Általában nem ismerjük a várható értéket, így csak az átlagtól számított eltérések négyzetösszegét (SQ) tudjuk kiszámítani!

MQkorrigálatlan Korrigálatlan szórásnégyzet s2 = MQ = SQ / FG Szórásnégyzet (variance) Korrigált szórásnégyzet Szórás: Átlag szórása = Adatok szórása / gyök (n)

Két szórás összehasonlítása (F-próba) INVERZ.F(P,szFG,nFG) F-arány=s12/s22 pH 5,2 5,5 7,2 7,3 5 5,4 7 minta 1 2 n 8 4 FG 7 3 szórás 1,04 0,22 s2 1,088 0,049 pH 5,2 5,5 5 5,4 F-arány=s12/s22 = 1,088/0,049 = 22,1 INVERZ.F(5%,7,3) = 8,9 F.PRÓBA 2,8% INVERZ.F(1%,7,3) = 27,7 A két szórás különbsége legfeljebb 5 % hibavalószínűséggel igazolható A két szórás különbsége 2,8 % hibavalószínűséggel igazolható

Ha nem térnek el a szórások kezelhetjük együtt a 20 adat szórását, de szét kell választanunk a kezeléssel előidézett és a véletlen szórást Ezekből adódik össze a 20 adat szórása Szórások szétválasztása, elemzése -> variancia analízis NPK kg/ha ism 1 ism 2 ism 3 ism 4 átlag 14,3 16,4 19 16,5 16,6 150 23,7 27,3 26,1 25,7 300 30 28,5 28,4 27,1 450 29,7 29,1 27,5 32,4 600 22,5 29 26,8 28,8

x = M + (Vátl-M) + e Bontsuk fel az adatokat a főátlagra (M) és - kezelés hatására létrejött eltérésre (Vátl-M) - véletlen eltérésre (e) x = M + (Vátl-M) + e ism 1 ism 2 ism 3 ism 4 Vátl Vátl-M 14,3 16,4 19 16,5 16,55 -8,89 23,7 27,3 26,1 25,7 25,70 0,26 30 28,5 28,4 27,1 28,50 3,06 29,7 29,1 27,5 32,4 29,68 4,24 22,5 29 26,8 28,8 26,78 1,34 Főátlag M= 25,44

Összes SQ = Kezelés SQ + Hiba SQ Kezelés hatás Véletlen hatás x = M + Vátl-M + e ellenörző összeg Négyzetösszegek: 13438,44 12943,87 432,72 61,85 szum x2 = r*v*M2 + Kezelés SQ + Hiba SQ SQ= szum x2 - n*xátlag2 n= 20 = r*v Összes SQ= r*v*M2 = Kezelés SQ + Hiba SQ 494,568 Összes SQ = Kezelés SQ + Hiba SQ Kezelésszám: v = 5 Ismétlésszám: r = 4

Szórások összehasonlítása - F-próba Variancia táblázat Tényezö SQ FG MQ F-arány SzD(5%) összes 494,568 19 kezelés 432,723 4 108,18 26,24 3,06 hiba 61,845 15 4,12 Szórások összehasonlítása - F-próba Nagyobb-e a kezelés által okozott szórás, mint a véletlen szórás? Szórásnégyzetek hányadosa: F-arány = Kezelés MQ / Hiba MQ F-arány = 108,18 / 4,12 = 26,24 INVERZ.F(0,1%,4,15) = 8,25 Legalább 0,1%-os hibavalószínűséggel állítható – van kezeléshatás

Kezelésátlagok összehasonlítása – SzD (szignifikáns Variancia táblázat Tényezö SQ FG MQ F-arány SzD(5%) összes 494,568 19 kezelés 432,723 4 108,18 26,24 3,06 hiba 61,845 15 4,12 Kezelésátlagok összehasonlítása – SzD (szignifikáns SzD(5%)=t(5%)*gyök(2*HMQ/r) inverz.t(p%,HFG) differencia) SzD(5%)=2,13*gyök(2*4,12/4) = 3, 06 NPK kg/ha 150 300 450 600 SzD(5%) átlag 16,6 25,7 28,5 29,7 26,8 3,06 A kontroll kezelés hatása 5% hibavalószínűséggel kisebb, mint a többi. Ezen túl a 450 kg/ha NPK kezelés hatására 5% hibavalószínűséggel igazolható módon több termés lesz mint 150 kg/ha kezelés hatására

Kezelésátlagok összehasonlítása – SzD (szignifikáns SzD(5%)=t(5%)*gyök(2*HMQ/r) inverz.t(p%,HFG) differencia) NPK kg/ha 150 300 450 600 SzD(5%) átlag 16,6 25,7 28,5 29,7 26,8 3,06 0,0 9,2 12,0 13,1 10,2 2,8 4,0 1,1 1,2 -1,7 -2,9 inverz.t(5%,15) = 2,13 inverz.t(10%,15) = 1,75 SzD(10%) = inverz.t(10%,15) * SzD(5%) / inverz.t(5%,15) = 1,75*3,06/2,13 = = 2,51 A 300 kg/ha NPK 10% hibavalószínűséggel igazolhatóan több termést eredményezett, mint a 150 kg/ha (tendencia) 600 kg/ha NPK terméscsökkenést eredményezett (p=10%)

Véletlenblokk elrendezés var Makro Alapadat táblázat blokk 1 blokk 2 blokk 3 blokk 4 átlag 0 kg/ha 14,3 16,4 19,0 16,5 16,6 150 kg/ha 23,7 27,3 26,1 25,7 300 kg/ha 30,0 28,5 28,4 27,1 450 kg/ha 29,7 29,1 27,5 32,4 600 kg/ha 22,5 29,0 26,8 28,8 blokk átlag 24,0 25,6 25,4 Tényezö SQ FG MQ F-arány F-0.1% F-1% F-5% F-10% SzD(5%) összes 494,568 19 *** ** * + ismétlés 13,972 3 4,66 1,17 10,80 5,95 3,49 2,61 kezelés 432,723 4 108,18 27,12 9,63 5,41 3,26 2,48 3,1 hiba 47,873 12 3,99 CV%= 7,9 Variancia táblázat