Méréskiértékelés, matematikai statisztika Hipotézisvizsgálat

Alapfogalmak I. Hipotézisvizsgálat célja: Hipotézis: A sokaságra vonatkozó valamely állítás helyességének ellenőrzése a mintából származó információk alapján Hipotézis: A sokaságra vonatkozó állítás, feltételezés

Alapfogalmak II. Nullhipotézis H0 Aminek az elfogadásáról, ill. visszautasításáról döntünk Alternativ hipotézis H1

Hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák A minta alapján A valóságban H0 igaz H0 nem igaz elfogadjuk H0 -t Helyes döntés 1 -  Másodfajú hiba elvetjük H0 -t Elsőfajú hiba 

Szignifikanciaszint: α az elsőfajú hiba elkövetésének kockázata megadja, hogy következtetésünk mekkora valószínűséggel érvényes csökkentése szűkíti a visszautasítási tartományt, növeli az elfogadási tartományt, növeli a másodfajú hiba esélyét

Hipotézis vizsgálat Null hipotézis: H0 :  = 0 Alternatív hipotézis:   0   0 Kétoldalú próba Egyoldalú próba

A hipotézis vizsgálat lépései A nullhipotézis H0 és az alternatív hipotézis H1 felállítása A próbafüggvény kiválasztása, és aktuális értékének meghatározása a minta a lapján. A szignifikanciaszint megválasztása A próbafüggvény kritikus értékének meghatározása az eloszlástáblázatból. A visszautasítási és elfogadási tartomány meghatározása. Döntéshozás

I. Egymintás próbák

Várható értékre vonatkozó hipotézisvizsgálat 1.) alapsokaság normál eloszlású, σ ismert mintanagyság tetszőleges 2.) alapsokaság normál eloszlású, σ nem ismert, n  30 3.) σ nem ismert, n  30, alapsokaság tetszőleges eloszlású A Z-test is any statistical test for which the distribution of the test statistic under the null hypothesis can be approximated by a normal distribution. Due to the central limit theorem, many test statistics are approximately normally distributed for large samples. Therefore, many statistical tests can be performed as approximate Z-tests if the sample size is not too small. In addition, some statistical tests, such as comparisons of means between two samples, or a comparison of the mean of one sample to a given constant, are exact Z-tests under certain assumptions. Student’s t-test: It is most commonly applied when the test statistic would follow a normal distribution if the value of a scaling term in the test statistic were known. When the scaling term is unknown and is replaced by an estimate based on the data, the test statistic (under certain conditions) follows a Student's t distribution.

Kritikus érték nagyminta esetén Kritikus érték kis minta esetén

Kritikus érték 2 próba esetén

A csomagok töltési tömege (g) Példa 1. Egy 250 g kávét csomagoló gép működésének ellenőrzéséhez 100 elemű véletlen mintát vettek. Korábbi felmérések alapján feltételezhetjük, hogy a töltőtömeg normális eloszlást követ. A csomagok töltési tömege (g) A csomagok száma (db) – 240 8 240,1 – 245 22 245,1 – 250 32 250,1 – 255 28 255,1 – 10 Összesen 100

a) Elfogadható-e a minta alapján, hogy az átlagos töltőtömeg 250g ( = 1 %) b) Elfogadható-e a minta alapján, hogy az átlagos töltőtömeg kisebb, mint 250g ( = 1 %) c) Elfogadható-e a minta alapján, hogy a 250g-nál kisebb töltőtömegű csomagok aránya eléri a 60%-ot? e) Elfogadható-e a minta alapján, hogy a töltőtömeg szórása kisebb 5g-nál? g) f) Elfogadható-e a minta alapján, hogy a töltőtömeg szórása legfeljebb 5g-nál? h)!

x (x) 0,00 0,5000 0,52 0,6985 1,04 0,8508 1,56 0,9406 2,40 0,9918 0,02 0,5080 0,54 0,7054 1,06 0,8554 1,58 0,9429 2,50 0,9938 0,04 0,5160 0,56 0,7123 1,08 0,8599 1,60 0,9452 2,60 0,9953 0,06 0,5239 0,58 0,7190 1,10 0,8643 1,62 0,9474 2,70 0,9965 0,08 0,5319 0,60 0,7257 1,12 0,8686 1,64 0,9495 2,80 0,9974 0,10 0,5398 0,62 0,7324 1,14 0,8729 1,66 0,9515 2,90 0,9981 0,12 0,5478 0,64 0,7389 1,16 0,8770 1,68 0,9535 3,00 0,9987 0,14 0,5557 0,66 0,7454 1,18 0,8810 1,70 0,9554 3,20 0,9993 0,16 0,5636 0,68 0,7517 1,20 0,8849 1,72 0,9572 3,40 0,9996 0,18 0,5714 0,70 0,7580 1,22 0,8888 1,74 0,9591 3,60 0,9998 0,20 0,5793 0,72 0,7642 1,24 0,8925 1,76 0,9608 3,8 0,9999 0,22 0,5871 0,74 0,7703 1,26 0,8962 1,78 0,9625 z-test 0,24 0,5948 0,76 0,7764 1,28 0,8997 1,80 0,9641 0,26 0,6026 0,78 0,7823 1,30 0,9032 1,82 0,9656 0,28 0,6103 0,80 0,7881 1,32 0,9066 1,84 0,9671 0,30 0,6179 0,82 0,7939 1,34 0,9099 1,86 0,9686 0,32 0,6255 0,84 0,7995 1,36 0,9131 1,88 0,9699 0,34 0,6331 0,86 0,8051 1,38 0,9162 1,90 0,9713 0,36 0,6406 0,88 0,8106 1,40 0,9192 1,92 0,9726 0,38 0,6480 0,90 0,8159 1,42 0,9222 1,94 0,9748 0,40 0,6554 0,92 0,8212 1,44 0,9251 1,96 0,9750 0,42 0,6628 0,94 0,8264 1,46 0,9279 1,98 0,9761 0,44 0,6700 0,96 0,8315 1,48 0,9306 2,00 0,9772 0,46 0,6772 0,98 0,8365 1,50 0,9332 2,10 0,9821 0,48 0,6844 1,00 0,8413 1,52 0,9357 2,20 0,9861 0,50 0,6915 1,02 0,8461 1,54 0,9382 2,30 0,9893

Student’s t-test Df 0,55 0,60 0,70 0,75 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 1 0,158 0,325 0,727 1,000 1,376 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 2 0,142 0,289 0,617 0,816 1,061 1,89 2,92 4,30 6,96 9,92 3 0,137 0,277 0,584 0,765 0,978 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 4 0,134 0,271 0,569 0,741 0,941 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 5 0,132 0,267 0,559 0,920 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03 6 0,131 0,265 0,553 0,718 0,906 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 7 0,130 0,263 0,549 0,711 0,896 1,42 1,90 2,36 3,00 3,50 8 0,262 0,546 0,706 0,889 1,40 1,86 2,31 2,90 9 0,129 0,261 0,543 0,703 0,883 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 10 0,260 0,542 0,700 0,879 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 11 0,540 0,697 0,876 1,36 1,80 2,20 2,72 3,11 12 0,128 0,259 0,539 0,695 0,873 1,78 2,18 2,68 3,06 13 0,538 0,694 0,870 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01 14 0,258 0,537 0,692 0,868 1,34 1,76 2,14 2,62 2,98 15 0,536 0,691 0,866 1,75 2,60 2,95 16 0,535 0,690 0,865 2,12 2,58 17 0,257 0,534 0,689 0,863 1,33 1,74 2,11 18 0,127 0,688 0,862 1,73 2,10 2,55 2,88 19 0,533 0,861 2,09 2,54 2,86 20 0,687 0,860 1,32 1,72 2,53 2,84 21 0,532 0,686 0,859 2,08 2,52 2,83 22 0,256 0,858 2,07 2,51 23 0,685 1,71 2,50 2,81 24 0,531 0,857 2,06 2,49 2,80 25 0,684 0,856 2,48 2,79 26 27 0,855 1,31 1,70 2,05 2,47 2,77 28 0,530 0,683 29 0,854 2,04 2,46 30 2,75 40 0,126 0,255 0,529 0,681 0,851 1,30 1,68 2,42 2,70 60 0,254 0,527 0,679 0,848 1,67 2,00 2,39 2,66 120 0,526 0,677 0,845 1,29 1,66 1,98  0,253 0,524 0,674 0,842 1,28 1,645 1,96 2,33

χ2 Df 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 1 0,0000 0,0002 0,0010 0,039 0,0158 0,102 0,455 1,32 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 2 0,0100 0,0201 0,0506 0,103 0,211 0,575 1,39 2,77 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,21 2,37 4,11 6,25 7,81 9,35 11,3 12,8 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,06 1,92 3,36 5,39 7,78 9,49 11,1 13,3 14,9 5 0,412 0,554 0,831 1,15 1,61 2,67 4,35 9,24 15,1 16,7 6 0,676 0,872 1,24 1,64 2,20 3,45 5,35 7,84 12,6 14,4 16,8 18,5 7 0,989 1,69 2,17 2,83 4,25 6,35 9,04 12,0 14,1 16,0 20,3 8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 7,34 10,2 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0 9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 8,34 11,4 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6 10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 9,34 12,5 18,3 20,5 23,2 25,2 11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 7,58 10,3 13,7 17,3 19,7 21,9 24,7 26,8 12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 8,44 14,8 21,0 23,3 26,2 28,3 13 5,01 5,89 7,04 9,30 12,3 19,8 22,4 27,7 29,8 14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 17,1 21,1 23,7 26,1 29,1 31,3 15 4,60 6,26 7,26 8,55 11,0 14,3 18,2 22,3 25,0 27,5 30,6 32,8 16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,9 15,3 19,4 23,5 26,3 28,8 32,0 34,3 17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,1 16,3 24,8 27,6 30,2 33,4 35,7 18 7,01 8,23 9,39 10,9 21,6 26,0 28,9 31,5 34,8 37,2 19 6,84 7,63 8,91 11,7 14,6 22,7 27,2 30,1 32,9 36,2 38,6 20 7,43 8,26 9,59 12,4 19,3 23,8 28,4 31,4 34,2 37,6 40,0 21 8,03 8,90 11,6 13,2 24,9 29,6 32,7 35,5 38,9 41,4 22 8,64 9,54 14,0 17,2 21,3 30,8 33,9 36,8 40,3 42,8 23 9,26 13,1 18,1 27,1 35,2 38,1 41,6 44,2 24 9,89 13,8 15,7 28,2 33,2 36,4 39,4 43,0 45,6 25 10,5 11,5 16,5 19,9 24,3 29,3 34,4 37,7 40,6 44,3 46,9 26 11,2 12,2 15,4 20,8 25,3 30,4 35,6 41,9 48,3 27 11,8 12,9 16,2 36,7 40,1 43,2 47,0 49,6 28 13,6 18,9 27,3 32,6 37,9 41,3 44,5 51,0 29 17,7 33,7 39,1 42,6 45,7 52,3 30 15,0 20,6 24,5 43,8 50,9 53,7 40 20,7 22,2 24,4 26,5 39,3 51,8 55,8 59,3 63,7 66,8 50 28,0 29,7 32,4 42,9 49,3 56,3 63,2 67,5 71,4 76,2 79,5 60 37,5 40,5 46,5 67,0 74,4 79,1 83,3 88,4 92,0 70 43,3 45,4 48,8 51,7 55,3 61,7 69,3 77,6 85,5 90,5 95,0 100,4 104,2 80 51,2 53,5 57,2 60,4 64,3 71,1 79,3 88,1 96,6 101,9 106,6 112,3 116,3 90 59,2 61,8 65,6 69,1 73,3 80,6 89,3 98,6 107,6 113,1 118,1 124,1 128,3 100 67,3 70,1 74,2 77,9 82,4 90,1 99,3 109,1 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2

Kétmintás próbák

Két sokaság várható értékének különbségére vonatkozó hipotézis-vizsgálat Minta 1 Minta 2 Elemszám m n Adatok x11, x12, ..., x1m x21, x22, ..., x2n Mintaátlag Mintabeli szórás- négyzet Mindkét sokaság normál eloszlású, és kis minta (feltétel a szórások egyezősége) b) Mindkét sokaságból nagy minta

Szórások egyezőségére vonatkozó hipotézisvizsgálat Feltétel: normál alapeloszlású sokaságok H1 valószínűség Alsó kritikus érték (ca) Felső kritikus érték (cf) H1: 1≠2 1-/2 H1: 1<2 1- - H1: 1>2

Kritikus érték F próba esetén

Köszönöm a figyelmet!