„Termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre és konvekcióra” Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar Környezetmérnöki Tanszék Energiatudatos tervezés

Dr. Tóth Péter PhD egyetemi docens

A termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre

Az energiamegmaradás tétele szerint: Mi lehet a változás oka? A rendszerbe belépő hőáram sűrűségösszege eltér a kilépő hőáramsűrűség összegétől. A rendszer belső energiája nő, ha több energia lép be, mint ki. Az egyenlet jobb oldalára alkalmazva a Gauss-Osztogradszkij tételt:

Ha elmozdulás is van, akkor totális derivált kell! Egy térfogati integrálba írva az egészet: Tetszőleges térfogatra, illetve zárt felületre igaz kell hogy legyen: Ha elmozdulás is van, akkor totális derivált kell!

Szilárd testre az energiaegyenlet Ez az I. főtétel megfogalmazása hővezetésre. Ebből tudunk elindulni, hogy a hőmérséklet eloszlást leíró diff. egyenletet meg tudjuk határozni. Ismerni kell továbbá, hogy a rendszer belső energiája hogyan függ a hőmérséklettől. Lokális egyensúly:

q0 : térfogati hőforrás sűrűsége Kinetikai egyenlet: Ezek behelyettesítésével kapjuk a hőmérséklet eloszlás egyenletét: q0 : térfogati hőforrás sűrűsége Parciális inhomogén, nem lineáris differenciál egyenlet. Alakítsuk át ezt az egyenletet úgy, hogy a div műveletet elvégezzük.

Nabla operátor Laplace operátor Az anyagjellemzőket (δ,ρ,c) vegyük úgy, hogy nem függenek a hőmérséklettől. Ekkor írható:

q0 : térfogati hőforrás Bevezetve a már megismert hőmérsékletvezetési együttható tényezőt, írható: Lineáris, inhomogén differenciál egyenlet, ez a hővezetés differenciál egyenletének legismertebb alakja.

Nézzük meg ezt különböző esetekre: 1. Nincs térfogati hőforrás sűrűség: q0 = 0 Ekkor a Fourier-féle differenciál egyenletet kapjuk: Hővezetés diff. egyenlete 2. Egy térdimenziós esetre: Parabolikus típusú diff. egyenlet

FOURIER FÉLE DIFFERENCIÁL EGYENLETEK ALKALMAZÁSA INSTACIONER FOLYAMATOKRA

:az időegység alatt átáramló hőmennyiség, hőáram [W] A Q hőmennyiség, amely t idő alatt áramlik a rúdon (ha nincsenek oldalirányú veszteségek), egyenesen arányos a t időtartammal, az A keresztmetszettel és a hosszegységre eső hőmérsékletváltozással , stacionárius hővezetésnél fennáll ahol: :az időegység alatt átáramló hőmennyiség, hőáram [W] :hőáram sűrűség

Az előbbi egyenlet általánosabb, differenciális alakban is megfogalmazható. Alkalmazva egy homogén és izotróp test belsejében képzelt kis ΔA keresztmetszetű és ΔX magasságú hengerre amelynek véglapjai a vizsgált időpontban, időpillanatban: T1=T és T2= T+ΔT „egyenlő hőmérsékletűfelületek” vagy „izotermák” részei

A ΔA keresztmetszeten igen kis Δt idő alatt az X irányban átáramló hőmennyiség legyen ΔQ. Ekkor a -nek a hőmérséklet esés felel meg, amely a csökkenő hőmérséklet irányában pozitív. Ez az egyenlet a hővezetés alaptörvénye, amely időben változó hőáramra, azaz instacioner hővezetésre is érvényes. Ez a Fourier-Kirchoff egyenlet. (Fourier, 1822)

NEM STACIONÁRIUS EGYDIMENZIÓS HŐVEZETÉS A T hőmérséklet nem csak a helytől és az x koordinátától, hanem a τ időtől is függ. T= T(x, τ ) A test belsejében egy ΔA(dy*dz) keresztmetszetű és Δx magasságú hengert vagy rudat tekintve

Az 1. illetve a 2. véglapokon igen kis Δτ idő alatt az x irányban hőmennyiség megy át, ahol a a hőmérsékletesés az 1. illetve a 2.véglapnál. A rúdban felhalmozódott hő(sorfejtés alkalmazásával): azaz

Ez a hőmennyiség a ρ sűrűségű tömegű henger hőmérsékletét (az állandó nyomáson vett) c fajhő definíciója szerint akkora ΔT-vel növeli, amelyre nézve A határátmenet figyelembevételével – egydimenziós esetre – a hővezetés differenciálegyenlete:

Háromdimenziós esetre: Ha ismeretes a testben a hőmérséklet eloszlás, a τ=0 pillanatban (kezdeti feltétel) továbbá a test határfelületén a környezettel való hőcsere mértéke (határfeltétel) akkor ennek az egyenletnek a megoldása szolgáltatja a hőmérséklet eloszlást bármely későbbi időpillanatban. A hőmérséklet időbeli és térbeli változásaira speciálisan pl. a hőmérséklet kiegyenlítődés gyorsaságára az hőmérsékletvezetési tényező a mérvadó, nem pedig a hővezetési tényező, ugyanis míg a fémek -ja sokkal nagyobb a gázokénál, addig az tényezők közel egyenlőek, azaz a hőmérsékletek a gázokban és a fémekben azonos sebességgel egyenlítődnek ki.

Ilyen esettel a gyakorlatban nehéz találkozni Ilyen esettel a gyakorlatban nehéz találkozni. Nézzük a speciális esetek alaptulajdonságait!

STACIONÁRIUS – IDŐBEN ÁLLANDÓSULT – HŐVEZETÉS DIFFERENCIÁL EGYENLETE Van hőforrás, de nincs időbeli hőmérsékletváltozás Stacioner, hőforrásos hővezetés differenciál egyenlete, ún. Poisson egyenlet Hőforrásmentes, időbeli hőmérsékletváltozás nincs. Laplace differenciál egyenlet (elliptikus diff. egyenlet) Síkbeli esetre:

EGY DIMENZIÓS, STACIONÁRIUS – IDŐBEN ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOT, HŐFORRÁSMENTES ESET Matematikailag ez egy egyenes egyenlete, mivel a görbülete 0. Hogy néz ki ez a gyakorlatban? Hőmérséklet eloszlás a falban: geometriailag is értelmezhető, mint a hőmérséklet hely szerinti változásának az iránytangense, gradiense.

Mi lenne ha lenne? Ekkor a hőmérséklet eloszlás a falban: Pl. félvezető szalag egyenárammal fűtve. Állandó hőforrás sűrűség esete.

PEREMFELTÉTELEK A vizsgált tartomány szélén mit ismerünk? Osztályozás:

I. fajú peremfeltétel T=T[L(x,y,z)] Nem a tér minden pontjában, hanem csak a felületen ismerjük a hőmérséklet eloszlást pl. T1, T2 ismert

II. fajú peremfeltétel Matematikai értelemben: ismert a vizsgált tartomány felületén, peremén a függvény első diff. hányadosa Hőtanilag: ismert a vizsgált tartomány peremén a hőáramsűrűség

, a hőmérséklet hely szerinti változásának iránytangense (gradiens) Előírt értékű hőáramsűrűség lép be a falba, a test belsejében vezetés van. Hőmérséklet lefutási görbe érintője.

III. fajú peremfeltétel Matematikai értelemben: a vizsgált tartomány peremén a keresett függvény értéke és a derivált hányadosa adott. Hőtanilag: a tartomány peremén az α hőátadási tényező adott. α= α[L(x,y,z)] A szilárd test peremén a közegnek átadott hőmennyiség: , hőátadás

(felületnél az iránymenti derivált) TW: fal hőmérséklete T∞: külső hűtőközeg hőmérséklete III. fajú peremfeltétel

Egydimenziós hőtranszport szemléltetése:

KONVEKCIÓ A hő terjedésének folyadékokban és gázokban előforduló módja, amelynél a hőt a közeg részecskéi viszik magukkal a melegebb helyekről a hidegebbek felé. A hővezetés és a konvekció (és gyakran a hősugárzás) együttesen játszanak szerepet pl. egy T hőmérsékletű A felületű szilárd test, fal, és az ettől távolabb már T1 hőmérsékletű gáz (levegő) hőcseréjénél. A hőtechnikában ennek a fontos, de részleteiben igen bonyolult jelenségnek a közelítő jellemzésénél egyenletet veszik alapul, melyben ΔQ a fal felületén (ΔA) Δτ idő alatt átadott hőmennyiség, 0 a megfelelő hőáram, α pedig a hőátadási tényező

Modell → labor mérések → vizsgált jelenséget befolyásoló méretek, anyagjellemzők és mennyiségek kiválasztása → ezekből mértékegység nélküli „számok” ún. „hasonlóság számok” képzése Reynolds-szám: Prandtl-szám: Grashof-szám: Nu=f(Re, Pr) Nu=f(Re, Gr) Nusselt- szám:

Egy szabadban álló, környezeténél melegebb test lehűlésekor a test hőmérsékletének időbeli változását megadó T=T(τ)függvény bizonyos megközelítéssel a egyenlet alapján határozható meg. A C hőkapacitású testnél , tehát Ez a Newton-féle lehűlési törvény, T1 a környezet állandónak feltételezett hőmérséklete. (T∞)

Ha a τ=0-nál a test hőmérséklete T0 , akkor a megoldás Ez azt jelenti, hogy a test és a környezete közt (T-T1) hőmérsékletkülönbség (T0-T1)-ről exponenciálisan csökken zérusra.

Köszönöm a figyelmet!