Egy kis lineáris algebra

Mátrix fogalma m x n –es mátrix: m sor, n oszlop Elemek szokásos jelölése: aij i: sor száma j: oszlop száma Mátrixok elnevezése: A, B, C, stb. A = a11 a12 … a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn

Mátrixok összeadása + = a11 a12 … a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmn + = a11 + b11 a12 + b12 … a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 a2n + b2n am1 + bm1 am2 + bm2 amn + bmn

Mátrixok összeadása - feladat 3 8 -3 1 4 6 2 -5 9 1 2 3 -4 5 -8 7 -1 4 -2 + = 4 10 -3 -4 9 -2 8 -6 1 13 3 7

Mátrixok összeszorzása … a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn b11 b12 … b1k b21 b22 b2k bn1 bn2 bnk x = c11 c12 … c1k c21 c22 c2k cm1 cm2 cmk cij = ai1 x b1j + ai2 x b2j + … + ain x bnj

Mátrixok összeszorzása … a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn c11 c12 … c1k c21 c22 c2k cm1 cm2 cmk b11 b12 … b1k b21 b22 b2k bn1 bn2 bnk

Mátrixok összeszorzása 1 2 -1 3 1 -1 2 3 4 -2 x = Nincs megoldás!!! Első mátrix oszlopainak száma ≠ Második mátrix sorainak száma

Mátrixok összeszorzása 1 2 -1 3 1 -1 2 3 4 -2 x = 7 -6 4 5 -3 6 12 1 1 = (-1)x(-1) + 1 x 1 + 2 x 0 + 1 x (-1)

Elemi bázistranszformáció Lineáris egyenletrendszerek megoldása Inverz keresése

Elemi bázistranszformáció Generáló elemet választunk (≠0) A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből. A generáló elem oszlopa eltűnik.

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1 12

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1 12 ≠0 ! Lineárisan független

Gauss elimináció Cél: Lépcsőzetes alak Sorokat fel lehet cserélni Sorokat egymásból ki lehet vonni, össze lehet adni, lehet skalárral szorozni

Gauss elimináció 1 2 3 -1

Gauss elimináció 1 2 3 ~ -5 -1

Gauss elimináció 1 2 3 ~ -5 -1 1 2 -5 12

Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1

Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval x1 x2 x3 e1 e2 e3 1 2 3 -1

Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval x2 x3 e1 e2 e3 x1 2 1 -5 -3

Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval x3 e1 e2 e3 x1 2 1 x2 -5 -3 12 7 -2

Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval x1 -2/12 4/12 x2 -1/12 2/12 5/12 x3 7/12 1/12 x1, x2, x3 sorok sorbarendezése után kész az inverz!

Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval – feladat x1 x2 x3 e1 -1 1 e2 2 e3 3 -2

Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval – megoldás x1 2 -2 1 x2 1/2 x3 3 -5/2

Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval – feladat x1 x2 x3 e1 -1 1 e2 2 e3 -2 Nincs inverze!

Lineárisan független Elemi bázistranszformációval minden vektor bevihető a bázisba Szabadsági foka = 0 Semelyik vektor nem írható fel a többi lineáris kombinációjaként Determinánsa ≠ 0 Létezik inverze Rend = Rang A x=0 egyenletnek csak triviális megoldása létezik

Lineárisan összefügg Elemi bázistranszformációval nem minden vektor vihető be a bázisba Szabadsági foka > 0 Valamelyik vektor felírható a többi lineáris kombinációjaként Determinánsa = 0 Nem létezik inverze Rend ≠ Rang A x=0 egyenletnek nem csak triviális megoldása létezik

Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval x1 x2 x3 b e1 1 2 e2 3 e3 -1

Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval x2 x3 b x1 2 1 e2 -5 -1 e3

Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval x3 b x1 2 1 x2 -5 -1 e3 12 4

Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval x1 4/12 x2 8/12 x3 4/12 8/12 x =

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval 1 2 3 -1

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval 1 2 3 ~ -1 1 2 -5 -1

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval 1 2 -5 -1 ~ 4/12 8/12 1 2 -5 -1 12 4 x =

Feladat 1x1 +1x2 -1x3 +2x4 = 8 2x1 -1x2 +1x3 -2x4 -2 -3x1 -2x2 +2x3 -18 -2x1 0x4 -10

Feladat x1 2 x2 = 6 + 1 t x3 x4

Lineáris egyenletrendszer megoldása inverz segítségével A x = b – a megoldandó feladat x = A-1 b – a feladat megoldása inverz segítségével

Lineáris egyenletrendszer megoldása inverz segítségével -2/12 4/12 -1/12 2/12 5/12 7/12 1/12 1 2 4/12 8/12 x =

Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval - feladat x1 x2 x3 b e1 -1 1 e2 2 e3 3 -2 4 -1/2 11/2 x =

Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval - feladat x1 x2 x3 b e1 -3 3 6 1 e2 2 -1 e3 -2 -4 Végtelen sok megoldása van! Szabadsági foka = 1