Műveletek mátrixokkal

Mátrixok összeadása Csak az azonos típusú mátrixok adhatóak össze

Az összeadás tulajdonságai Kommutatív: A+B=B+A Asszociatív: A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B Létezik nullelem, a nullmátrix, amelyre teljesül, hogy: A+0=A Minden A mátrixhoz található olyan (–A) szimbólummal jelölt mátrix, amelyre: A+(–A )=0

Mátrixok skalárral való szorzása

A skalárral való szorzás tulajdonságai:

Mátrixok lineáris kombinációja

Mátrixok szorzása Csak akkor értelmezhetjük két mátrix AB szorzatát, ha A mátrixnak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora van B mátrixnak. Ha két mátrix összeszorozható akkor konformábilisnak nevezzük őket.

Mátrixok szorzása

Mátrixok szorzásának tulajdonságai Nem kommutatív Disztributív: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC Asszociatív: (AB)C=A(BC) AB=0 nem jelenti azt, hogy A=0 vagy B=0

Mátrixok szorzása

Mátrixok hatványozása An= A A…..A; ahol n є N Speciálisan: A2=AA Ha van olyan k є N, hogy Ak =0, akkor az A mátrixot nilpotens mátrixnak nevezzük, és k szám a nilpotencia foka.

Példa nilpotens mátrixra

Mátrixok inverze

Lemma: Ha az AX=E és YA=E mátrixegyenletek az A mátrixnak megfelelő típusú négyzetes mátrixok halmazán megoldható, akkor X=Y Bizonyítás: Felhasználjuk, hogy a márixok szorzása asszociatív: YAX=(YA)X=EX=X YAX=Y(AX)=YE=Y Tehát Y=X

Mátrix inverzének a definíciója: Adott A (n x n)-es mátrix. Az A mátrix inverzének nevezzük azt az A-1 szimbólummal jelölt (n x n)-es mátrixot, amelyre teljesül az alábbi azonosság: AA-1 =A-1A=E , feltéve, hogy ilyen mátrix létezik. Megjegyzés: A lemma biztosítja az egyértelműséget.

Van olyan mátrix, amelynek nincs inverze

Példa inverz mátrixra

Inverz mátrix Egy mátrix szinguláris, ha nincs inverze. Egy mátrix reguláris, ha van inverze.

Mátrix inverzének a meghatározása Ha detA nem nulla, akkor létezik A mátrix inverze, és azt az alábbi módon határozhatjuk meg:

Példa inverz mátrix meghatározására

Figyeljünk arra, hogy a transzponálttal kell dolgozzunk!

Mátrix transzponáltjának és inverzének a tulajdonsági

Mátrixok és a lineáris egyenletrendszerek kapcsolata

Determinánsok Mivel a determinánsokat Geometria I. tantárgyból már tanulták, ezért a részletes tárgyalást mellőzzük. Tudni kell a: Determináns fogalmát Determinánsok elemi átalakításait Determinánsok kifejtését több módszerrel

Mátrix rangja A mátrix legnagyobb rendű nem zérus determinánsú minormátrixának rendjét a mátrix rangjának nevezzűk. Ha detA=0, akkor a mátrix szinguláris. Egyébként az A mátrix reguláris.

Mátrix rangja A mátrix rangja r, ha r-ed rendű kvadratikus mátrixai között van legalább egy reguláris, azaz nem nulla determinánsú mátrix. Minden (r+1)-nél magasabb rendű minormátrixa szinguláris, azaz a determinánsa nulla.

Cramer szabály Ha egy lineáris egyenletrendszer együttható mátrixa (nxn)-es és az együttható mátrix nem szinguláris mátrix, azaz a determinánsa nem nulla, akkor az egyenletrendszer konzisztens,és csak egy megoldása van:

Cramer szabály Ahol: D jelöli az egyenletrendszer együttható mátrixának a determinánsát. Dk pedig olyan determináns, amelyet D-ből úgy nyerünk, hogy annak a k-adik oszlopát b vektorra cseréljük.