2006. február 17.

Valószínűségszámítás és statisztika II. Telefonos feladat Egy kalapban van két korong, az egyiknek mindkét oldala piros, a másiknak az egyik oldala piros, a másik kék. Véletlenszerűen kiveszünk egy korongot, és ha piros fele van felül letesszük az asztalra. Mekkora az esélye, hogy a másik oldala is piros?

1. feladat  Egy fodrász délelőtt 10 munkát tud elvégezni. Mégis 12 embert jegyzett elő, mivel tapasztalatból tudja, hogy az esetek 15%-ában valamiért lemondják a fodrászt. Mekkora eséllyel fog a 12 előjegyzettből legfeljebb 10 eljönni?

Megoldás: A szituációt úgy modellezzük, hogy azt feltételezzük minden előjegyzett egymástól függetlenül 0,85 eséllyel jön el. Ezért annak az esélye, hogy éppen k személy jön, a binomiális eloszlással számolható, tehát: Esetünkben a legfeljebb 10, az 11 tag összegét jelentené, ezért egyszerűbb a komplementer.

Annak az esélye, hogy több, mint 10 vendég jön, az csak kimenetelből áll: 11 vagy 12 vendég. Ezek esélyei: illetve Zsebszámológéppel számolva:0, ,1422 Azaz 0,4334. Tehát a komplementer esemény esélye, vagyis hogy el tudja végezni a munkát csak 0,5666, tehát nincs egészen 57%.

2. Feladat Felmérésekből ismert, hogy az utasok 10%-a érvényes jegy vagy bérlet nélkül utazik. a) Mekkora az esélye, hogy egy villamoson, ahol 80 utas van, az ellenőr nem talál bliccelőt? b) Hány utast kell ellenőrizni várhatóan ahhoz, hogy legalább 95% legyen az esélye hogy talál érvényes jegy nélküli utast?

Megoldás: a) Annak az esélyét, hogy valakinek van érvényes jegye vagy bérlete, az adat alapján 0,9-nek tekintjük. Ha az utasok függetlenségét feltételezzük, akkor 80 ember esetén mindenkinek van érvényes jegye: eséllyel. eséllyel. Tehát a keresett esély igen kicsi, mondhatjuk, hogy az esetek nagy részében fog találni ennyi ember között bliccelőt az ellenőr.

b) Ha legalább 0,95 az esélye hogy talál, akkor legfeljebb 0,05 annak az esélye, hogy nem talál ilyen utast. Az előző részben láttuk, hogy nem talál n között eséllyel. Azt kell tehát vizsgálni melyik az a legkisebb n érték, amire már teljesül, hogy: eséllyel. Azt kell tehát vizsgálni melyik az a legkisebb n érték, amire már teljesül, hogy: Logaritmus segítségével kapjuk, hogy n = 28,433, azaz 29 utas között már legalább 95% biztonsággal találunk bliccelőt.

3. Feladat Egy diák villamossal és busszal jár az iskolába. Nem szeret korán kelni, ezért nem feltételezi egyik jármű késését sem. Az esetek 10%-ában késik, ami akkor következik be, ha legalább az egyik jármű késett. A villamos az esetek 3%-ában késik a tapasztalat szerint. a) Mekkora eséllyel késik a busz, ha feltesszük a késések függetlenségét? b) Hogyan változik az a)-beli esély, ha azt tudjuk, hogy a villamos késése növeli a busz késés esélyét?

Megoldás: a) Legyen a busz késésének esélye: p. Tudjuk, hogy vagy a busz vagy a villamos késik 0,1 eséllyel, tehát: 0,1 = P(B vagy V) = P(B) + P(V) – P(B és V) = = p + 0,03 – 0,03p = p + 0,03 – 0,03p Tehát: 0,07 = 0,97p ahonnan p = 0,072 azaz a busz ezen feltételek mellett az esetek 7,2%-ában késik.

b) Ha a villamos késése növeli a busz késésnek az esélyét, akkor ez formálisan azt jelenti, hogy: azaz Tehátahonnan Azaz a busz késésnek az esélye nagyobb lesz ebben az esetben, mint 0,072 de persze kisebb, mint 0,1.

4. Feladat Két kockával dobunk, és a kapott két szám összege (levonva belőle a beszálló összeget) lesz a nyereményünk. a) Hány forintot kell fizetni partinként ahhoz (beszálló összeg), hogy ez a játék igazságos legyen (azaz a nyeremény várható értéke 0)? b) Mekkora a nyeremény szórása? c) Mekkora az igazságos beugró, ha a nyeremény a dobott számok szorzata?

Megoldás: a) A dobott két szám összegét kell először vizsgálni. Nyilván 2 és 12 között lesz az eredmény, és egyszerű okoskodás mutatja, hogy a 11 lehetőség esélyei a következőképpen alakulnak:

Eszerint a várható értéke a dobott összegnek: Azaz a várható érték 7, tehát ha 7 Ft-ot fizetetünk partinként, akkor igazságos lesz a játék. Egyszerűbb megoldás: Egy kockán a dobott szám várható értéke 3,5. Akkor két kocka esetén 7, hiszen össze kell adni őket.

b) A nyeremény szórás nyilván a konstans 7 levonásával nem változik, tehát elég a 2, 3,..11, 12 értékeket felvevő véletlen szám szórását meghatározni. Erre használjuk az előző adásban már bemutatott összefüggést: Azaz az értékek négyzeteinek valószínűségekkel súlyozott összegéből le kell vonni a várható érték (7) négyzetét, azaz 49-et.

Ez esetünkben azt jelenti hogy: Azaz ebből levonva a várható érték négyzetét, kapunk 5,8333-at, aminek a gyöke 2,415. Tehát ennyi a nyeremény szórása.

c) Ebben az esetben szorzat lehetséges értékeit és azok esélyeit kell meghatározni, hiszen ezek szorzatainak összege lesz a várható érték, s ezt kell befizetni az igazságos játékhoz. X P1/36 2/3 6 2/363/362/364/36 1/36 X P 4/3 6 2/3 6 1/3 6 2/3 6 1/3 6 2/3 6 1/3 6

Ahonnan 441/36 = 12,25 adódik. Azaz partinként ebben a játékban 12,25 Ft-ot kellene fizetni, az igazságos játékhoz..