TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁSA Dr. Kovács Sándor Gazdaságmatematika

ÁTTEKINTÉS A feltételek egyenlőségek A feltételek egyenlőtlenségek Lagrange módszer A feltételek egyenlőtlenségek A. Grafikus módszer B. Szimplex módszer Az előadások / gyakorlatok diáinak kidolgozása során jelöljön ki kulcsszavakat amelyeket az ellenőrző kérdésekhez hiperhivatkozásként kapcsoljon a kérdéshez. Művelet leírása BESZÚRÁS OBJEKTUM HIPERHIVATKOZÁS súgóban.

1) A feltételek egyenlőségek Lagrange módszer Úgy keressük az f(x), xD(Rn) n-változós függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg a gi(x)=0 (i=1,2,...,m) formában adott egyenlőségek is teljesüljenek. Lagrange féle multiplikátorok módszere (szükséges feltétel): Ha az f(x) függvénynek feltételes szélsőértéke van az „a” pontban, akkor az f(x) függvényből, a gi(x)=0 feltételekből és a λi skalárokból (a Lagrange-multiplikátorokból) képzett F(x)= f(x)+ ∑i=1m λi gi (x) Lagrange függvény összes parciális deriváltja zérus lesz az „a”-ban: F’xi(a)=0 (i = 1,2,...,n)

Fordítva viszont nem igaz az állítás. Ezért az f(x) függvény feltételes szélsőérték helyeit az alábbi n+m egyenletből álló egyenletrendszer megoldásai között kell keresni: F’xi(x)= 0 (i = 1,2,...,n) gi(x) = 0 (i = 1,2,...,m) A kapott lehetséges szélsőérték helyek közül logikai/szakmai meggondolásokkal választjuk ki a tényleges szélsőérték helyeket. Ezeket az f függvénybe helyettesítve kapjuk a feltételes szélsőértékeket.

Példák: Egy 36 dm2 területű, téglalap formájú lemezből maximális térfogatú, egyenes hasáb formájú etetőt készítünk. Milyenek legyenek a lemez oldalai? Mekkora szélességű sáv felhajtásával készíthető a kívánt etető? Jelölje x,y a lemez oldalait, z a felhajtás méretét! V(x,y,z)=(x-2z)(y-2z)z maximumát keressük xy-36=0 (xy=36) feltétel mellett A Lagrange függvény: F(x,y,z)=(x-2z)(y-2z)z +λ(xy-36) Innen F’x(x,y,z)= yz-2z2+ λy=0 F’y(x,y,z)= (x-2z)z+ λx=0 F’z(x,y,z)= -2(yz-2z2)+(x-2z)(y-4z)=0 xy=36 .

Ebből a lehetséges szélsőértékhelyek (x,y,z>0 mellett): a1(6,6,3) és a2(6,6,1) a1(6,6,3) helyen a szélsőérték V(6,6,3)=0 dm3, ami a függvény feltételes minimuma, a2(6,6,1) helyen a szélsőérték V(6,6,1)=16 dm3, ami a függvény feltételes maximuma A feltétel, xy=36 mindkét esetben teljesül.

2. Az f(x1,x2,x3)=x12+3x1x2+2x22+4x1+0.5x32+12 függvénynek hol van szélsőértéke, ha a változókra adott feltételek x1+x2+x3=4 és x1-x3=2 Az egyszerűbb írás miatt használjuk x,y,z-t változókként! A Lagrange függvény: F(x,y,z)=x2+3xy+2y2+4x+0,5z2+12+λ1(x+y+z-4)+λ2(x-z-2) A 3+2 egyenletből álló homogén egyenletrendszer: F’x(x,y,z)=2x+3y+4+ λ1+λ2=0 F’y(x,y,z)=3x+4y+ λ1 =0 F’z(x,y,z)= z+ λ1 -λ2=0 g1(x,y,z)= x + y+ z-4 =0 g2(x,y,z)= x - z-2 =0 Az egyenletrendszer megoldása: a(4,-2, 2) Itt minimuma van a függvénynek: f(4,-2, 2)=30 A feltételek is teljesülnek.

3. Kísérleti adatokból megállapították, hogy három növény 1 ha-ra eső termelési értékét (TÉ) háromféle műtrágyakeverék függvényében az f1(x1), f2(x2) és f3(x3) függvények jellemzik. A növényeket egy gazdaság a, b, c ha-on termeszti Az össz-TÉ függvény f(x1,x2,x3)=a f1(x1)+b f2(x2) +c f3(x3). Kérdések: milyen műtrágya keverék mennyiségek mellett lesz az össz-TÉ a legnagyobb? mennyi az össz-TÉ, ha a műtrágya költségre K0 Ft-ot fordíthatunk (a keverékek egységárai k1, k2, k3)? Válaszok: f(x1,x2,x3)=a f1(x1)+b f2(x2) +c f3(x3) szélsőértéke az ehhez tartozó műtrágya költség: K(x1,x2,x3)=ax1k1+bx2k2 +cx3k3 Ha K K0 Ft, akkor feltételes szélsőértéket számolunk: F(x1,x2,x3)= f(x1,x2,x3)+( K- K0) Lagrange függvénnyel

2) A feltételek egyenlőtlenségek Induljunk ki az alábbi feladatból: mely termékekből mennyit termeljen egy vállalkozás a rendelkezésre álló erőforrások működtetésével, hogy a legnagyobb eredményt (árbevételt, jövedelmet) érje el. Az ehhez szükséges optimális termékszerkezetet keressük. Pl.: Két termék 1-1 darabjának előállításához szükséges erőforrások (nyersanyag, élő munka, gépi munka): az elsőhöz 3; 4; 2egység, a másodikhoz 2; 0; 4egység. Ezekből összesen felhasználható 18; 16; 24 egység(kapacitás). A termékeken a fajlagos jövedelmek 4 ill. 2 eFt/db. Hány darab készüljön a termékekből, hogy - a rendelkezésre álló kapacitásokat ne lépjük túl (feltételek) - az összes jövedelem maximális legyen (szélsőérték).

Jelölje x1, x2 a termékek mennyiségét A matematikai modell: - A korlátozó feltételek: x1, x2 0 egyik termék száma sem lehet negatív 3x1+2x2 18 nyersanyagra 4x1 16 élő munkára 2x1+4x2 24 gépi munkára - A függvény, melynek a szélsőértékét keressük: z=4x1+2x2=max célfüggvény Ezen feltételes szélsőérték feladatnál tehát úgy keressük az - un. cél - függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg az egyenlőtlenségek formájában adott feltételek is teljesüljenek.

Ha az alábbi jelöléseket használjuk: ahol - x a program vektor - A a technológiai mátrix (egységnyi termékhez szükséges erőforrás) - c a fajlagos eredmények vektora (Pl. egységnyi termék ára) -b a kapacitás ( a felhasználható erőforrások mértéke) akkor a matematikai modell az alábbi rövidebb formában is írható: Az ilyen feladatok a matematikai programozás tárgykörébe tartoznak.

Ha a változók mindenütt első fokon szerepelnek, akkor lineáris programozásról vagy LP feladatról beszélünk. Mi a következő esetekkel foglalkozunk: 2 változós LP feladat: megoldása grafikus módszerrel 2-nél több változós LP feladat: megoldás szimplex módszerrel

A. Grafikus módszer A megoldás lépései: Ábrázoljuk az x1, x2 tengelyű Descartes koordináta rendszerben a feltételeket. Írjuk az egyenlőtlenségeket tengelymetszetes alakba. A feltételek által kijelölt tartomány közös pontjai – ha léteznek – adják a lehetséges megoldások L halmazát.

Egy halmaz konvex, ha bármely két pontjával, az azokat összekötő szakasz pontjait is tartalmazza. L-nek ilyennek kell lenni. Extremális vagy sarokpontoknak nevezzük egy halmaz azon pontjait, melyek nem belső pontjai egyetlen, halmazban levő szakasznak sem (pl. ábránkon az O(0,0), A(4,0), P(4,3) pontok)

További lépések: Ábrázoljuk a célfüggvényt néhány értékénél, pl. 12, 16-nál! Mindig párhuzamos, de nagyobb függvényérték esetén az origótól távolabbi egyenest kapunk. Toljuk el egy kiválasztott célfüggvény képét az origótól legtávolabbi olyan távolságba, amikor még van közös pontja az L halmazzal. A kapott közös pont(ok) koordinátái, adják a feladat megoldását (a maximum helyet). A megoldás vektor koordinátáit a közös pontot meghatározó feltétel egyenletek egyenletrendszerként való megoldásával kapjuk.

A megoldások lehetséges száma egy, ha csak egy közös pont van végtelen sok, ha az eltolt célfüggvény egyenes egybeesik L valamely határoló egyenesével nincs megoldás, ha L üres halmaz, vagy nem korlátos konvex halmaz A célfüggvénybe helyettesítve számíthatjuk ki a célfüggvény maximumának értékét. Ellenőrízzük a kapacitások kihasználtsági szintjét!

Másik típus: minimum számítási feltételes szélsőérték Példa: Két takarmány fajlagos táplálóanyag tartalmát és ezekből egy állat napi szükségleteit (Pl. kJ-ban) a táblázat tartalmazza: Megnevezés Takarm.1 Takarm.2 Napi szüks. tápanyag.1 2 1 6 tápanyag.2 2 4 12 tápanyag.3 0 4 4 . Fajl.ktg(Ft/kg) 5 6 Mennyit adjunk az egyes takarmányokból, hogy - a napi szükséglet az egyes tápanyagokból biztosítva legyen - a takarmányozási költség a legkisebb legyen

A matematikai modell: A korlátozó feltételek: Egyik mennyiség sem lehet negatív x1,x2 0 Tápanyag1-re 2x1+x2 6 Tápanyag2-re 2x1 +4x2 12 Tápanyag3-ra 4x24 A függvény, melynek a szélsőértékét keressük: Célfüggvény z=5x1+6x2=min A feladat grafikus módszerrel megoldható, a megoldás az ábráról leolvasható.

Példa: 1 m2-n termelt két növény keményítőből és fehérjéből 0,3; 0,1 ill. 1,5; 0,1 egységnyit tartalmaz. Egy állat napi szükséglete ezen tápanyagokból 6 ill. 0,9 egység. Mekkora az a legkisebb terület, melyen az állat napi szükséglete megtermelhető? Megoldás: végtelen sok x1 [0;6.25], x2=9-x1 z=9

B. Szimplex módszer A szimplex módszer a bázistranszformációt alkalmazva a változókhoz az extremális pontok koordinátáit rendeli olyan sorrendben, hogy a célfüggvény értéke ne csökkenjen. A feladat matematikai modellje: x,b 0 gazdasági feladatoknál teljesül! Ax  b z(x)=c’x=max Az ilyen feladat neve: normál feladat Ax  b -t egyenlőséggé alakítjuk  Ax+u = b, ahol u 0 Az u hiányváltozók (u=b-Ax) megadják az aktuális x program esetén még megmaradó erőforrásokat.

Először az induló szimplex táblát készítjük el: Ezen a táblán végezzük a bázistranszformációt. A tábla bal oldalán: A programba vont változók jelei: induláskor u, később x is A célfüggvény negatívjának jele A tábla jobb oldalán: A programban levő változók értékei A célfüggvény negatívjának értéke Induláskor: x=0, u=b, z=0 x’ u A b -z c’

A megoldás lépései: 1. generáló elemet választunk a legnagyobb célfüggvény együttható oszlopából (z gyorsan nőjön) maxcj aij j. oszlopból 2. generáló elem csak pozitív szám lehet: aij 0 3. szűk keresztmetszetnél választunk generáló elemet: mini bi / aij  i. sorbeli elem a j. oszlopból így nem használunk a meglevőnél többet a kapacitásokból 4. Elvégezzük az elemi bázistranszformációt (a bázisból kikerülő vektor koordinátáit is megadjuk az új bázisra) Az 1-4 lépéseket ismételjük, amíg van pozitív elem a célfüggvény sorában

5. Különben leolvassuk a megoldást: x: az optimális programban levő változók értéke u: a fel nem használt kapacitások értéke z: a célfüggvény optimális értéke

Példák: Oldjuk meg szimplex módszerrel a korábbi, grafikus módszerrel már megoldott feladatot! Figyeljük meg az egyes transzformációs lépésekhez tartozó extremális pontokat, a szélsőérték alakulását! x=0 → „O” pont u’=(18, 16, 24) z=0 x’=(4, 0) → „A” pont u’=(6, 0, 16) z=16 0. x1 x2 b u1 3 2 18 u2 4 16 u3 24 -z 1. u2 x2 b u1 -3/4 2 6 x1 1/4 4 u3 -1/2 16 -z -1 -16

2. u1 u2 b x2 -3/8 1/2 3 x1 1/4 4 u3 1 -2 -z -1/4 -1 -22 x’=(4, 3) → „P” pont u’=(0, 0, 4) z(4,3) =22 optimális tábla, maximum Szimplex módszer: zO<zA<zP

A rendelkezésre álló kapacitás ezen erőforrásokból 60 ill. 40 egység. 2) Négy növény termesztéséhez szükséges fajlagos (1 ha-ra eső) munkaerő és gép szükséglet 2; 2; 2; 0 ill. 0; 1; 0; 1 egység. A rendelkezésre álló kapacitás ezen erőforrásokból 60 ill. 40 egység. A növények fajlagos jövedelme 10; 10; 6; 4 eFt/ha. Milyen területen termeljük a növényeket, ha A munkaerő és gép kapacitásokat nem léphetjük túl Maximális jövedelmet szeretnénk elérni Az induló tábla: x=0 u’=(60, 40) z=0 0. x1 x2 x3 x4 b u1 2 60 u2 1 40 -z 16 20 6 4

Az első transzformáció után: x’=(30; 0; 0; 0) u’=(0; 40) z= 480 A második transzformáció után: x’=(30; 0; 0; 40) u’=(0; 0) z= 640 maximum A célfüggvény sorában nincs pozitív szám, a tábla optimális, a feltételek teljesülnek (100%-os erőforrás kihasználtság) a tábla belsejében a felesleges értékeket már nem számoltuk ki) 1. u1 x2 x3 x4 b x1 1/2 1 30 u2 40 -z -8 -6 -10 4 -480 0. u1 x2 x3 u2 b x1 30 x4 1 40 -z -8 -10 -4 -640

További példák 1. Elosztási feladatok xij  0 j xij = ti  0 (i= 1,…,m) i xij = rj  0 (j= 1,…,n) i ti = j rj i j cijxij = min Ide tartozik a klasszikus szállítási feladat: m számú Fi feladóhelyen ti mennyiségű homogén termék (pl. szén, tégla, cukorrépa, üres vasúti kocsi, stb) n számú Rj megrendelőnek rj mennyiségű igénye az adott termékből / szolgáltatásból a kínálat és a kereslet egyenlő Milyen minimális költség mellett lehet a feltételek mellett az igényeket kielégíteni, ha xij az i. feladótól a j. megrendelőhöz szállítandó mennyiség cij a fajlagos szállítási költség

A matematikai modell: x11+x12+x13+x14 =50 x21+x22+x23+x24 =40 x31+x32+x33+x34 =30 x11 + x21 + x31 =40 x12 +x22 +x32 =10 x13 +x23 +x33 =60 x14 +x24 +x34=10 600x11+400x12+ +100x34 =min

Az Excel megoldás:

2. Pénzügyi termékválaszték modell Egy cég egy negyedévben kétféle terméket állít elő három megmunkálógépen. Ismert a fajlagos gépigény, a gépkapacitás valamint a termékek egységára ill. termelési költsége. A termelés pénzügyi fedezetéhez felhasználható a cég saját 700 eFt-ja max 300 eFt banki kölcsön, 5%-os negyedévi kamatra Kérdések: Mennyit termeljen a termékekből és mennyi kölcsönt vegyen fel a cég, hogy a termelés hozama a lehető legnagyobb legyen? Mennyi a termelés összes pénzszükséglete?

Mat. modell: x1, x2, x3  0 a termékek , a felvett hitel 5 x1+3 x2  5000 3 x1+4 x2  4000 a gépkapacitásokra 2 x1+ x2  2000 x3  300 a bankhitel 1,0 x1 + 0,8x2  700 + x3 a költség és fedezete 1,4 x1+1,1x2 - (1,0 x1 + 0,8x2 +0,05 x3) a célfüggvény

Excel megoldás: Term1 Term2 Hitel Rel. Kapac. Tény gép1 5 3 <= 5000 <= 5000 gép2 4 4000 3000 gép3 2 1 2000 hitel 300 saját+hitel 0,8 -1 700 hozam 0,4 0,3 -0,05 eredmény 385 megoldás 1000 0,0

Behajthatatlan követelés valószínűsége 3. Banki kölcsönzés Egy bank legfeljebb 100 millió Ft kölcsönt kíván nyújtani az alábbi területeken és feltételekkel: Kamat (%) Behajthatatlan követelés valószínűsége Személyi kölcsön 14 0,10 (10%) Autó kölcsön 13 0,07 (7%) Lakás kölcsön 12 0,03 (3%) Mezőgazdasági kölcsön 12,5 0,05 (5%) Kereskedelmi kölcsön 10 0,02 (2%) További feltételek: A mg-i és kereskedelmi kölcsönök összege a teljes pénzalap legalább 40 %-át tegyék ki (más pénzintézetekkel így tudnak versengeni) A személyi, autó és lakás kölcsönök együttesének legalább a felét a lakás kölcsönök adják (a térség lakásépítő iparának fejlesztését kívánják segíteni) A behajthatatlan követelések az összes kölcsön 4 %-át ne haladják meg Hogyan ossza meg a bank a kölcsönre szánt összeget a kölcsöntípusok között, ha célja a nettó bevételének (kamat – behajthatatlan követelés) maximalizálása?

Mat. modell: x1, x2, x3, x4  0 a nemnegativitási feltétel x1+x2 +x3+ x4+ x5  100 a kölcsönök összegére x4+ x5  40 x1+x2 -x3  0 x3  0,5 (x1+x2 +x3)- ból 0,1 x1+0,07 x2 +0,03x3+ 0,05x4+0,02 x5  4 a behajthatatlan követelések arányából 0,04 x1+0,06 x2 +0,09 x3+0,075 x4+0,08 x5 a célfüggvény (kamatbevételek – behajthatatlan követelésekből)

Excel megoldás: személyi autó lakás mg-i keresk-i reláció kapacitás   személyi autó lakás mg-i keresk-i reláció kapacitás pénzalap 1 <= 100 mg-i és keresk-i >= 40 lakáskölcsönre -1 behajthatatlan 0,1 0,07 0,03 0,05 0,02 4 kamat-behajthatatlan 0,04 0,06 0,09 0,075 0,08 8,304 megoldás 0,0 60

ÖSSZEFOGLALÁS Keressük egy többváltozós függvény szélsőértékét, amikor a 1. A feltételek egyenlőségek formájában adottak Lagrange függvény: F(x)= f(x)+ ∑i=1m λi gi (x) F’xi(x)= 0 (i = 1,2,...,n) gi(x) = 0 (i = 1,2,...,m) logikai/szakmai meggondolásokkal választjuk ki a tényleges szélsőérték helyeket. Ezeket az f függvénybe helyettesítve kapjuk a feltételes szélsőértékeket. 2. A feltételek egyenlőtlenségek formájában adottak A) 2 változós LP feladat: megoldása grafikus módszerrel - ábrázoljuk a lehetséges megoldások L halmazát - ábrázoljuk a célfüggvényt egy tetszőleges értéknél - e célfüggvényt párhuzamosan eltolva L határáig, megkeressük az optimális megoldást

B) 2-nél több változós LP feladat: megoldás szimplex módszerrel Felírjuk az induló táblát, majd a szabályok betartásával addig végezzük a bázistranszformációt, míg az optimális táblához nem jutunk. Az optimális táblából leolvasható az x program vektor, az u kapacitás vektor és a z célfüggvény értéke.

ELLENÖRZŐ KÉRDÉSEK Mikor alkalmazzuk a Lagrange módszert feltételes szélsőérték meghatározásra? Mi a módszer lényege? Mikor beszélünk matematikai – ezen belül lineáris – programozásról? Hogyan adható meg egy maximum számítási LP feladat mátrixos formában? Mikor alkalmazható a grafikus módszer, mik a megoldás-hoz vezető lépések, hány megoldás lehetséges? Milyen formájú az induló szimplex tábla, mikor érjük el az optimális táblát, hogyan olvasható le az x, az u vektorok ill. a célfüggvény értéke?