STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Interwrite Response PRS feleltetőrendszerhez készült. (5.22-es szoftverváltozathoz) Bár a jegyzet részben az emelt szintű érettségi követelményeit is tartalmazza, ebben az anyagban csak a középszintű érettségi anyagát dolgoztam fel. A bemutató nem animált, külsőségeiben egyszerűségre törekedtem, hogy aktív táblára is átrakható illetve szükség esetén nyomatatható legyen. Természetesen további feladatok beszúrásával tovább bővíthető. Érettségi követelmények a témából: (A 2010. január 1-től hatályos, Az érettségi vizsga részletes követelményeiről szóló 40/2002. (V. 24.) OM rendelet) A) KOMPETENCIÁK:Valószínűség-számítás, statisztika - Értse a tanuló a statisztikai kijelentések és gondolatmenetek sajátos természetét. - Ismerje a statisztikai állítások igazolására felhasználható adatok gyűjtésének lehetséges formáit, és legyen jártas a kapott adatok áttekinthető szemléltetésében, különböző statisztikai mutatókkal való jellemzésében. - Az emelt szinten érettségiző diák tudjon egyszerűbb véletlenszerű jelenségeket modellezni és a valószínűségi modellben számításokat végezni. Emelt szinten ismerje a véletlen szerepét egyszerű statisztikai mintavételi eljárásokban. B) VIZSGAKÖVETELMÉNYEK 5. Valószínűség-számítás, statisztika A modern tudományelmélet egyik fontos pillére az a gondolkodásmód, amellyel a sztochasztikus jelenségek leírhatók. A társadalomtudományi, a természettudományi és a közgazdasági törvényeink nagy része csak statisztikusan igaz. A mindennapi élet történéseit sem lehet megérteni statisztikai ismeretek nélkül, mivel ott is egyre gyakrabban olyan tömegjelenségekkel kerülünk szembe, amelyek a statisztika eszközeivel kezelhetők. A sztochasztika gondolkodásmódja a XXI. század elejére az emberi gondolkodásnak, döntéseknek és cselekvéseknek olyannyira alapvető része lesz, hogy elsajátítása semmiképpen sem kerülhető meg. Ebben a témakörben középszinten csak az alapfogalmak megértését és használatát követeljük meg, míg emelt szinten a téma matematikai felépítésének egyes részeiről is számot kell adni. E fejezet követelményrendszere két ellentétes tendencia közötti kompromisszum jegyében született, mely szerint alapvető társadalmi szükség mutatkozik a téma iránt, miközben a tanításban elfoglalt helye ma még igencsak periférikus. (részletes követelmények a megfelelő diáknál találhatók)   Az anyagrészek feldolgozása feleltető rendszer felhasználásával Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, STATISZTIKA Követelmények: 5.1. Leíró statisztika Tudjon adott adathalmazt szemléltetni. 5.1.1. Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai Középszinten:Tudjon adathalmazt táblázatba rendezni és táblázattal megadott adatokat feldolgozni. Értse a véletlenszerű mintavétel fogalmát. Tudjon kördiagramot és oszlopdiagramot készíteni. Tudjon adott diagramról információt kiolvasni. Tudja és alkalmazza a következő fogalmakat: osztályba sorolás, gyakorisági diagram, relatív gyakoriság. Emelt szinten:Tudjon hisztogramot készíteni, és adott hisztogramról információt kiolvasni. Ismerje az adathalmazok egyesítése és átlaguk közötti kapcsolatot. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Melyek a minősítéses ismérvek? Egy 16-20 év közötti fiatalok egy csoportját vizsgáló kérdőíven többek között az alábbi kérdésekre várnak választ: 1.) Neme (fiú, lány):… 2.) Kora:… 3.) Melyik kerületben lakik:… 4.) Hány órát tölt naponta TV-nézéssel:… Statisztikai sokaság: az a halmaz, melyet valamilyen ismérvek alapján vizsgálunk. Ismérv: a vizsgált adathalmaz valamely vizsgált tulajdonsága. Szám jellegű ismérv. Minősítéses ismérv: nem számmal kifejezhető, vagy számmal jelölt de nem szám jellegű ismérv (azaz nem lenne értelme velük matematikai műveletet végezni (pl. 2. kerület; 21. század; 4-es iskolai osztályzat stb.) Rendezhető, diszkrét, folytonos ismérvek Melyek a minősítéses ismérvek? A megfelelő sorszámok folyamatos, egymás utáni beírásával válaszolj! Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

A: a cukorral töltött zacskók A cukorgyárban az egyik minőségellenőr azt vizsgálja, hogy mennyi cukrot töltenek a gépek a zacskóba. Ebben az esetben mi a statisztikai sokaság? A: a cukorral töltött zacskók B: az egyes zacskókban lévő cukor mennyisége C: zacskónkénti cukormennyiség Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

A: a cukorral töltött zacskók A cukorgyárban az egyik minőségellenőr azt vizsgálja, hogy mennyi cukrot töltenek a gépek a zacskóba. Ebben az esetben mi az ismérv? A: a cukorral töltött zacskók B: az egyes zacskókban lévő cukor mennyisége C: zacskónkénti cukormennyiség Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

A: a cukorral töltött zacskók A cukorgyárban az egyik minőségellenőr azt vizsgálja, hogy mennyi cukrot töltenek a gépek a zacskóba. Ebben az esetben mi az adat ? A: a cukorral töltött zacskók B: az egyes zacskókban lévő cukor mennyisége C: zacskónkénti cukormennyiség Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Az adatokat foglaljuk 10 cm-enkénti osztályközös táblázatba. Az 2009-2010-es szezonban a Menősuli kosárlabda csapatának 14 tagja volt. A játékosok magassága a következő volt: MA 178 cm DC 196 cm MB 163 cm TB 183 cm HH 190 cm LJ 201 cm AM 208 cm SB 201 cm RB 188 cm DH 201 cm KG 203 cm DV 196 cm RP 216 cm LE 208 cm Gyakoriság, osztályközös gyakoriság, relatív gyakoriság Az adatokat foglaljuk 10 cm-enkénti osztályközös táblázatba. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

MA 178 cm DC 196 cm MB 163 cm TB 183 cm HH 190 cm LJ 201 cm AM 208 cm SB 201 cm RB 188 cm DH 201 cm KG 203 cm DV 196 cm RP 216 cm LE 208 cm Folyamatosan egymás után írva add meg a táblázatba írandó értékeket! 160-169 cm 170-179 cm 180-189 cm 190-199 cm 200-209 cm 210-219 cm Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

MA 178 cm DC 196 cm MB 163 cm TB 183 cm HH 190 cm LJ 201 cm AM 208 cm SB 201 cm RB 188 cm DH 201 cm KG 203 cm DV 196 cm RP 216 cm LE 208 cm A helyes értékek tehát: 160-169 cm 170-179 cm 180-189 cm 190-199 cm 200-209 cm 210-219 cm 1 2 3 6 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy tizedesre kerekítve határozd meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá-nyokba. 160-169 cm-ig? 160-169 cm: 170-179 cm: 180-189 cm: 190-199 cm: 200-209 cm: 210-219 cm: Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy tizedesre kerekítve határozzuk meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá-nyokba. 180-189 cm-ig? 160-169 cm: 7,1 % 170-179 cm: 7,1 % 180-189 cm: 190-199 cm: 200-209 cm: 210-219 cm: 7,1 % Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy tizedesre kerekítve határozzuk meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá-nyokba. 190-199 cm-ig? 160-169 cm: 7,1 % 170-179 cm: 7,1 % 180-189 cm: 14,3 % 190-199 cm: 200-209 cm: 210-219 cm: 7,1 % Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy tizedesre kerekítve határozzuk meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá-nyokba. 200-209 cm-ig? 160-169 cm: 7,1 % 170-179 cm: 7,1 % 180-189 cm: 14,3 % 190-199 cm: 21,4 % 200-209 cm: 210-219 cm: 7,1 % Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy tizedesre kerekítve határozzuk meg, hogy a csapat hány százaléka tartozik az egyes magasság tartomá-nyokba. 160-169 cm: 7,1 % 170-179 cm: 7,1 % 180-189 cm: 14,3 % 190-199 cm: 21,4 % 200-209 cm: 42,9 % 210-219 cm: 7,1 % Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

OSZLOPDIAGRAM Oszlopdiagram. Az oszlopok magassága arányos a gyakorisággal. Mikor használjuk? Akkor, ha gyakoriságokat, (esetleg relatív gyakoriságokat), vagy valamilyen mennyiségeket szeretnénk összehasonlítani, vagy valamilyen adat időbeli változását szeretnénk bemutatni. Mikor ne használjuk? Ha az adatok között van egy nagyon nagy vagy nagyon kicsi; vagy az adatok közötti különbség nagyon kicsi. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

HISZTOGRAM Hisztogram: (emelt szinthez)a gyakoriságok a téglalap területével arányosak (ábrázoláskor a téglalap magasságát úgy kapjuk, hogy a gyakoriságot osztjuk az osztályköz szélességével) /az oszlopok között nincsenek „hézagok”!; minden adat abba az oszlopba kerül, amelynek alsó határánál nem kisebb, de a felső határnál kisebb/ Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

KÖRDIAGRAM Melyiken jeleníti meg helyesen a táblázat adatait? Kördiagram (a relatív gyakoriság arányos a körcikk középponti szögével) Mikor ne használjuk? Ha túl sok adat van, vagy kis adatok mellett van egy nagy adat. Melyiken jeleníti meg helyesen a táblázat adatait? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

KÖRDIAGRAM Elvben mindkettő jó, ám a „B” esetben a térbeliség miatt a középponti szögek torzulnak, így az arányok nem jól olvashatók le róla! Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

SZALAGDIAGRAM korcsoport 0-9 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90- összesen népesség (1000 fő) 856 1304 1604 1269 1572 1237 999 739 233 6 9819 %-os megoszlás 8,7 13,3 16,3 12,9 16 12,6 10,2 7,5 2,4 0,1 Szalagdiagram: a százalékos adatokat téglalapban ábrázoljuk. Szélessége lényegtelen, hossza 100%-nak felel meg (célszerű pl. 10 cm=100mm-nek venni, így könnyű ábrázolni) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Készítsünk vonaldiagramot a következő táblázat adataiból: hónap Jan. Febr. Márc. Ápr. Máj. Jún. Júl. Aug. Szept. Okt. Nov. Dec. °C 15 16 18 21 24 29 32 31 30 25 20,5 Vonaldiagram vagy más néven töröttvonal-grafikon (valamely mennyiség időbeli változásának szemléltetésére használjuk) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Készítsünk vonaldiagramot a következő táblázat adataiból: hónap Jan. Febr. Márc. Ápr. Máj. Jún. Júl. Aug. Szept. Okt. Nov. Dec. °C 15 16 18 21 24 29 32 31 30 25 20,5 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

STATISZTIKAI KÖZEPEK Egy élelmiszer áruház szeretné felmérni, hogy négyesével, hatosával vagy nyolcasával érdemes-e az ásványvizes palackokat csomagolni. Ezért egy héten keresztül figyelték, hogy hány palack ásványvizet vesznek. Ezt a gyakorisági táblázatot kapták: Statisztikai középértékek Módusz: leggyakoribb adat Medián (csak rendezhető adatoknál van értelme): a középső adat. Páros sok adat esetén a két középső számtani közepe. Számtani közép (átlag): adatok összege osztva az adatok számával. Mikor melyiket célszerű használni? Nincs általános szabály, de: a móduszt akkor használjuk, ha a leggyakoribb adatra van szükségünk; a számtani közepet akkor használjuk, ha az adatok összegének van értelme; a mediánt akkor használjuk, ha az adatok között van egy vagy néhány kiugróan nagy, vagy kicsi, ami az adathalmaz számtani közepét nagyon „elvinné”, ezért az nem lenne jó jellemző adat. Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

STATISZTIKAI KÖZEPEK Melyik a leggyakoribb tehát? (azaz mennyi a módusz értéke?) Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

STATISZTIKAI KÖZEPEK Mennyi a medián palackszám? (azaz mennyi a középső érték?) Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

STATISZTIKAI KÖZEPEK Átlagosan hány palackot vásárolt egy vevő? (azaz mennyi a számtani közép?) (egészre kerekítve add meg!) Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

STATISZTIKAI KÖZEPEK A kapott eredmények tehát: Módusz: 5 palack Medián: 5 palack Számtani közép: 4 palack A táblázat és a kapott értékek alapján te hány darabot raknál egy csomagba ? A: 4 B:5 C:6 Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

STATISZTIKAI KÖZEPEK Módusz: 5 palack Medián: 5 palack Számtani közép: 4 palack Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Mikor melyiket célszerű használni? Nincs általános szabály, de: a móduszt akkor használjuk, ha a leggyakoribb adatra van szükségünk; a számtani közepet akkor használjuk, ha az adatok összegének van értelme; a mediánt akkor használjuk, ha az adatok között van egy vagy néhány kiugróan nagy, vagy kicsi, ami az adathalmaz számtani közepét nagyon „elvinné”, ezért az nem lenne jó jellemző adat. Nyilván a módusz a mérvadó, mert leggyakrabban egyszerre 5 db-ot vittek. Csakhogy technikai okokból páros sokat kell egybe csomagolni! A táblázat alapján ezért 6-ot érdemes egy csomagba tenni.  Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Mennyi a terjedelem értéke? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 16 43 Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Szóródás mérése: terjedelem; átlagos abszolút eltérés (itt általában a mediántól való eltéréssel számolunk); szórásnégyzet illetve szórás (itt a számtani átlagtól való eltéréssel számolunk) Mennyi a terjedelem értéke? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Nem az ismérvre , hanem az adatokra vonatkozik ez a kérdés! Tehát a helyes válasz: 65-1=64 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Mennyi az átlagos abszolút eltérés? Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Mennyi az átlagos abszolút eltérés? (egy tizedes jegyre kerekítsd!) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Az egyes adatoknak a mediántól való eltérésével kellett számolni: Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Mennyi a szórás értéke ? (3 tizedes jegyre kerekítsd!) Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Mennyi a szórás értéke ? (3 tizedes jegyre kerekítsd!) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

SZÓRÓDÁS MÉRÉSE Egyszerre vásárolt palackok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gyakoriság 32 16 43 65 51 Ezt mindenképpen célszerű a számoló-gép statisztikus üzemmódba való állításával kiszámolni. Itt a számtani középtől való eltéréssel kell számolnunk! Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

FELADAT Egy autóakkumulátorokat gyártó vezető mérnöknek két gyártási eljárás közül kell választania. Egy-egy 8 elemű mintát vesz a különböző eljárással gyártott akkumuláto-rokból, és megvizsgálja élettartamukat (hónapban) . Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

FELADAT Melyik eljárást ajánlanánk a mérnöknek? Miért? A eljárásnál 21 24 22 23 25 26 20 B eljárásnál 27 19 Melyik eljárást ajánlanánk a mérnöknek? Miért? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

FELADAT A: átlag=23 hónap szórás=1,87 hónap A eljárásnál 21 24 22 23 25 26 20 B eljárásnál 27 19 A: átlag=23 hónap szórás=1,87 hónap B: átlag=23 hónap szórás=3,08 hónap Átlagosan mindkettő ugyanannyi ideig jó, de az A esetben kisebb a szórás, tehát inkább azt válassza. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Követelmények: Középszinten: Véges sok kimenetel esetén szimmetria megfontolásokkal számítható valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás Emelt szinten: Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége, feltételes valószínűség, függetlenség, függőség. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma (nagyobb n-ekre valószínűbb, hogy |k/n - p| < δ). Geometriai valószínűség. A binomiális eloszlás (visszatevéses modell) és a hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) tulajdonságai és ábrázolása.  Várható érték, szórás fogalma és kiszámítása a diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén.  A binomiális eloszlás alkalmazása. A minta relatív gyakoriságának becslése a sokaság paraméterének ismeretében. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Néhány fontos fogalom: Véletlen esemény: például kockadobás vagy érmedobás esetén, hogy melyik oldalára érkezik, azaz mi lesz felül. Valószínűség: mekkora egy véletlen esemény bekövetkezésének hajlandósága….. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Néhány fontos fogalom: Elemi esemény: például kocka dobá- soknál, hogy 1-est, 2-est,…, 6-ost dobunk; érmedobásnál fej vagy írás; stb Biztos esemény: biztosan bekövetkező esemény („100%”). Lehetetlen esemény: sohasem következhet be….. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Néhány fontos fogalom: Kedvező eset: egy általunk kiválasztott esemény bekövetkezése. Két vagy több kocka illetve pénzérme a tapasztalat szerint sohasem tekinthető egyformának még akkor sem, ha látszólag azok! (ezt a számolásnál figyelembe kell venni!) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Egy kocka feldobásakor az eredmény 1- es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös vagy 6-os dobás (elemi események). A tapasztalat szerint ezek elég sok kísérletet végezve egyforma számban következnek be, azaz mindegyiknek ugyanakkora az esélye (valószínűsége). Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS Ha egy kísérletben bármely elemi esemény egyforma valószínűséggel következik be, akkor egy (nem feltétlenül elemi) esemény valószínűsége (P): P= kedvező esetek száma összes eset száma Ezt nevezzük klasszikus (Laplace-féle) valószínűségi modellnek. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával páratlan számot dobunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával páratlan számot dobunk? Mivel 1-től 6-ig 3 páratlan szám van, így a kedvező esetek száma 3, az összes eset 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,5 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával prímszámot dobunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával prímszámot dobunk? Mivel 1-től 6-ig 3 prímszám van (vigyázat, az 1 nem prímszám!), így a kedvező esetek száma 3, az összes eset 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,5 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával 2-est vagy 5-öst dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával 2-est vagy 5-öst dobunk? Mivel kedvező esetnek számít akár az egyiket, akár a másikat dobjuk, ezért a kedvező esetek száma 2. Az összes eset 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa, ami 2 tizedes jegyre kerekítve : P=0,33. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával legalább 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával legalább 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) A kedvező esetek száma 5 (csak az 1-es dobás nem jó), összes eset most is 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,83 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával legfeljebb 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával legfeljebb 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerekítve add meg) A kedvező esetek száma 2, az összes eset 6, tehát a keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,33 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Dobjunk fel egymás után kétszer egy érmét Dobjunk fel egymás után kétszer egy érmét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkettő írás lesz? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Dobjunk fel egymás után kétszer egy érmét Dobjunk fel egymás után kétszer egy érmét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkettő írás lesz? Az elemi események: FF FI IF II A kedvező esetek száma tehát 1, az összes eset pedig 4. Ezért a keresett valószínűség : P=0,25 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között pontosan 2 írás van? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között pontosan 2 írás van? Az elemi események: III IIF IFI FII IFF FIF FFI FFF A kedvező esetek száma tehát 3, az összes eset 8. A keresett valószínűség tehát P(A)=0,375 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között pontosan 3 fej van? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között pontosan 3 fej van? Az elemi események: III IIF IFI FII IFF FIF FFI FFF A kedvező esetek száma tehát 1, az összes eset 8. A keresett valószínűség tehát P(B)=0,125 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között legfeljebb 2 fej van? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között legfeljebb 2 fej van? Az elemi események: III IIF IFI FII IFF FIF FFI FFF Legfeljebb 2 fej: 0 vagy 1 vagy 2 fej. A kedvező esetek száma tehát 7. Az összes eset 8, tehát a keresett valószínűség: P(C)=0,875 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Ezért úgy is számolhattunk volna, hogy P(C)=1 - P(B) Vegyük észre, hogy az előző két esetben kapott valószínűségek összege éppen 1. A két esemény egymás komplementere: együtt éppen az összes elemi eseményt adják. Ezért úgy is számolhattunk volna, hogy P(C)=1 - P(B) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között a fejek száma egyenlő az írások számával? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Egy szabályos érmével egymás után háromszor dobunk. d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobások között a fejek száma egyenlő az írások számával? P=0, hiszen ez a lehetetlen esemény páratlan számú dobás esetén. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Végezzünk egy szabályos dobókockával 10 dobásból álló dobássorozatot. a) Hányféle dobássorozatot kaphatunk? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Végezzünk egy szabályos dobókockával 10 dobásból álló dobássorozatot. a) Hányféle dobássorozatot kaphatunk? Mivel bármelyik dobás független a többitől, mindegyik dobás 6-féle lehet. Az össze lehetőség tehát 610 =60 466 176 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Végezzünk egy szabályos dobókockával 10 dobásból álló dobássorozatot. b) Hány olyan dobássorozat lehet, ahol pontosan 1-szer dobunk 6-ost? Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Végezzünk egy szabályos dobókockával 10 dobásból álló dobássorozatot. b) Hány olyan dobássorozat lehet, ahol pontosan 1-szer dobunk 6-ost? A 6-os dobás helye féle lehet, miközben a többi helyen 59 féle dobás lehetséges. Tehet a keresett lehetőségek száma: 10*1 953 125 = 19 531 250 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Végezzünk egy szabályos dobókockával 10 dobásból álló dobássorozatot. c) Mekkora annak az esélye, hogy pontosan egyszer dobunk 6-ost? (2 tizedes jegyre kerekítve add meg!) Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Végezzünk egy szabályos dobókockával 10 dobásból álló dobássorozatot. c) Mekkora annak az esélye, hogy pontosan egyszer dobunk 6-ost? (3 tizedes jegyre kerekítve add meg!) Az előzőek alapján a kedvező esetek száma 19 531 250, az összes eset 60 466 176. A keresett valószínűség ezek hányadosa: P=0,323 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Az 5 fekete és 1 piros golyót tartalmazó urnából 30-szor húzunk egy-egy golyót, azt mindig visszatéve. Mekkora az esélye annak, hogy pontosan 4-szer húztunk pirosat? Binomiális eloszlás Modell: Egy urnában adott N számú golyó van, amelyből K piros. Mekkora az esélye annak, hogy n húzás esetén k darab pirosat húzunk (feltéve, hogy minden húzás előtt visszatesszük a kihúzott golyót, azokat összekeverjük és tapintásra mind egyformák). Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Az 5 fekete és 1 piros golyót tartalmazó urnából 30-szor húzunk egy-egy golyót, azt mindig visszatéve. Mekkora az esélye annak, hogy pontosan 4-szer húztunk pirosat? Binomiális eloszlás 30 hely közül féleképpen választhat- juk ki azt a 4 helyet, ahol pirosat húztunk. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Az 5 fekete és 1 piros golyót tartalmazó urnából 30-szor húzunk egy-egy golyót, azt mindig visszatéve. Mekkora az esélye annak, hogy pontosan 4-szer húztunk pirosat? Binomiális eloszlás A maradék 26 hely bármelyikén az 5 fekete golyó bármelyikét kihúzhatjuk, így ezek kihúzására 526 lehetőség van. Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.

Az 5 fekete és 1 piros golyót tartalmazó urnából 30-szor húzunk egy-egy golyót, azt mindig visszatéve. Mekkora az esélye annak, hogy pontosan 4-szer húztunk pirosat? Binomiális eloszlás A kedvező esetek száma tehát az előzőek szorzata. Ezt kell osztanunk az összes esettel, ami 630 Így a keresett valószínűség kb. 0,1847 Készítette: Görbe Mária, Móricz Zsigmond Gimnázium, Budapest, 2009-2010.