A kockázat kezelése döntési feladatokban

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor
Advertisements

Események formális leírása, műveletek
A bizonytalanság és a kockázat
Preferenciák, rendezések, reprezentálhatóság
Joggazdaságtan levelező Szalai Ákos
I. előadás.
Lekérdezések SQL-ben Relációs algebra A SELECT utasítás
Valószínűségszámítás
A kockázat kezelése döntési feladatokban
2006. február 17. Valószínűségszámítás és statisztika II. Telefonos feladat Egy kalapban van két korong, az egyiknek mindkét oldala piros, a másiknak.
Eseményalgebra Eseményalgebra.
Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk.
MI 2003/9 - 1 Alakfelismerés alapproblémája: adott objektumok egy halmaza, továbbá osztályok (kategóriák) egy halmaza. Feladatunk: az objektumokat - valamilyen.
MI 2003/ A következőkben más megközelítés: nem közvetlenül az eloszlásokból indulunk ki, hanem a diszkriminancia függvényeket keressük. Legegyszerűbb:
Kalman-féle rendszer definíció
Euklidészi gyűrűk Definíció.
Két változó közötti összefüggés
STATISZTIKA II. 5. Előadás Dr. Balogh Péter egyetemi adjunktus Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék.
Játékelmélet Nash, dominancia.
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok
A digitális számítás elmélete
2. Kockázat (és idő) Joggazdaságtan Szalai Ákos 2013.
Valószínűségszámítás
Eseményalgebra, kombinatorika
A számfogalom bővítése
Asszimptotikus viszonyok. Asszimptotikus viszonyok számításánál felhasználható ismeretek: 1.Az asszimptotikus viszonyok reláció-tulajdonságai: A következő.
Kvantitatív módszerek
Lineáris programozás Definíció: Olyan matematikai programozási feladatot nevezünk lineáris programozási feladatnak, amelyekben az L halmazt meghatározó.
Bizonytalanság melletti döntéshozatal — Elemi döntési módszerek Egy szerencsejátékokat szervező állami monopólium a Kincskereső nevű új sorsjegyet dobja.
Bizonytalanság melletti döntések
Valószínűségszámítás
Lineáris egyenletrendszerek (Az evolúciótól a megoldáshalmaz szerkezetéig) dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém /' /
BME Filozófia és Tudománytörténet Tanszék 1111 Budapest, Egry J.. u. 1. E 610. Dr. Margitay Tihamér 3. óra.
3. óra.
Függvények.
Befektetési döntések Bevezetés
2006. március 3. Három négyzet oldalai különböző prím- számok. A két kisebb négyzet kerületének ösz- szege egyenlő a legnagyobb négyzet kerületé- vel;
1. Példa: Melyiket választaná, ha r=12%? A) F 3 = 7000$ B)
Elemi döntési módszerek példa: 4 alternatíva, 6 szempont
Bizonytalanság melletti döntéshozatal — Elemi döntési módszerek Egy szerencsejátékokat szervező állami monopólium a Kincskereső nevű új sorsjegyet dobja.
Az elemzés és tervezés módszertana
Lineáris programozás Elemi példa Alapfogalmak Általános vizsg.
Gazdaságstatisztika 11. előadás.
Gazdaságstatisztika 10. előadás.
7. A különböző megtakarítási formák összehasonlítása
Alapsokaság (populáció)
Alapfogalmak.
Százalék számítás - 1. feladat
Forever Living Products illetve Vision International People Group MLM vállalatok jogdíjas jutalékainak összehasonlítása.
Melyik döntési elvnek felelnek meg az alábbi bizonytalanság melletti döntések?
3. Előadás: Döntés bizonytalanság mellett
Az információ-tartalom mérése Állapothalmaz, esemény
2. Döntéselméleti irányzatok
5. A racionalitás paradoxonai Bara Zoltán
Vektorterek Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá
A függvény deriváltja Digitális tananyag.
Valószínűségszámítás
I. előadás.
Készítette: Horváth Viktória
Számtani és mértani közép
Valószínűségszámítás III.
Valószínűségszámítás
Mikroökonómia gyakorlat
Algebrai struktúrák: csoport, gyűrű, test. RSA Cryptosystem/ Titkosítási rendszer Rivest, Shamir, Adelman (1978) RSA a neten leggyakrabban használt.
Valószínűségszámítás II.
Többdimenziós valószínűségi eloszlások
A TŐKEKÖLTSÉG. Tőkeköltség a tőkepiacról  Tőkepiac: pénzt cserélünk pénzre  Pl. pénzt adok egy vállalatnak valamilyen jövőbeli (várható) kifizetésekért.
BME Üzleti gazdaságtan Andor György. BME Ismétlés ›5 Profit és a nettó jelenérték –5.1 Közgazdasági értelemben mi nem profit? –5.2 A számviteli és a gazdasági.
Bevezetés a játékelméletbe
Valószínűségszámítás és statisztika előadások
Előadás másolata:

A kockázat kezelése döntési feladatokban

Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével az ötös valószínűsége = 1:43 949 268 = 0.00000275% a négyes valószínűsége = 1:103 410 = 0.000967% a hármas valószínűsége = 1:1 231 = 0.081% a kettes valószínűsége = 1:44 = 2.273% egy vagy nulla találat valószínűsége = 97.65%

Kockázatos döntések Példa: egy gazdálkodó, aki a következő szezonra különböző terményfajták vetése mellett dönthet. Jelölje a lehetséges 3 terményt a1, a2 és a3. A döntésnél két lényeges szempontot vesz figyelembe: X1 nettó hozam, X2 az aratásig eltelt idő

Kockázatos döntések Az X1, X2 értékeit az időjárás, a piac és egyéb véletlen események befolyásolják. A lehetséges állapotokat jelölje: s1: gyenge s2: megfelelő s3: jó

Kockázatos döntések A lehetséges állapotok valószínűségei: s1: 0.25

(hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma) Kockázatos döntések Az elmúlt évek alapján megbecsülhetők az egyes állapotokhoz tartozó kételemű vektorok: (hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma) Állapot Valószínűség Terményfajták a1 a2 a3 s1: gyenge 0.25 (-400 ; 16) (10 ; 20) (-100 ; 10) s2: megfelelő 0.5 (80 ; 14) (20 ; 18) (0 ; 8) s3: jó (200 ; 12) (50 ; 16) (100 ; 8)

Kockázatos döntések a1 → hozam: 0.25 valószínűséggel -400 hetek: 0.25 valószínűséggel 16 0.5 valószínűséggel 14 0.25 valószínűséggel 12

Kockázatos döntések Kevert cselekvési lehetőségek: Nem kizárólagosan választunk a1, a2 és a3 közül, hanem mindegyikből valamennyit: ( λ1 · a1 ; λ2 · a2 ; λ3 · a3 ) (λ1, λ2, λ3 ≥ 0; λ1+ λ2+ λ3 = 1)

Hasznossági függvények Szentpétervári paradoxon: egy szabályos pénzérmét ( ½ valószínűséggel fej, ½ valószínűséggel írás) addig dobálunk, amíg fej nem lesz. Ha már az első dobásra fejet kapunk, a nyeremény 1 $, ha az eredmény írás, akkor újra dobunk. Ha a második dobás eredménye fej, akkor a nyeremény 2 $, írás esetén újabb dobás következik. A nyeremény (fej esetén) minden dobásnál duplázódik, tehát ha k-adik dobásra lett legelőször fej az eredmény, akkor a kifizetés 2k−1 $.

Hasznossági függvények A játékos nyereménye: 1/2 valószínűséggel 1 $, 1/4 valószínűséggel 2 $, 1/8 valószínűséggel 4 $, és így tovább. Kérdés: Milyen áron lehet ezt a játékot árulni, azaz mekkora összeget fizessen a játékos a belépésért?

Hasznossági függvények Könnyen ellenőrizhető, hogy a kifizetés várható értéke, azaz a játék ára végtelen, ami ebben a megfogalmazásban meglepő, hiszen senki sem játszana olyan játékot, amelynek az ára nem véges (pl. 4, 10 vagy 100 $).

Hasznossági függvények Miért nem tükrözik a játékosok preferenciái a matematikai várható értékből következő eredményeket? a nagyon kis valószínűségű eseményt (pl. 100-adik dobásra lesz először fej) az emberi gondolkodás már elhanyagolhatónak tekinti, akkor is, ha a hozzá tartozó nyeremény óriási (299 $). a mindennapi realitástól elrugaszkodott, csillagászati összeg kezelése. Valóban 8-szor olyan annyira csábító-e egy 2103 ≈ 1.01 · 1031 $-os nyeremény, mint a 2100 ≈ 1.27 · 1030 $-os egy olyan játékosnak, aki nem is látott még néhány száz vagy ezer $-nál többet?

A bizonyossági egyenértékes Bináris lottó: P valószínűséggel nyerünk W összeget, (1-P) valószínűséggel L összeget. [ P : W ; 1-P : L ] Mi az az S összeg, amiért ezt a játékot hajlandóak vagyunk eladni? Más szóval: számunkra közömbös, hogy a biztos S összeget kapjuk meg, vagy beszállunk a játékba: S ~ [ P : W ; 1-P : L ]

A bizonyossági egyenértékes Példa: Áll az alku A bank időnként felajánlja a játékosnak, hogy adott összegért megvásárolja tőle a táskáját (azaz magát a játékot).

A bizonyossági egyenértékes Állapot Valószínűség Terményfajták a1 a2 a3 s1: gyenge 0.25 c1 = (-400 ; 16) c2 = (10 ; 20) c3 = (-100 ; 10) s2: megfelelő 0.5 c4 = (80 ; 14) c5 = (20 ; 18) c6 = (0 ; 8) s3: jó c7 = (200 ; 12) c6 = (50 ; 16) c9 = (100 ; 8) A gazda meg tudja mondani azokat a βi valószínűségeket, amely mellett: ci ~ [ (1- βi) : c1 ; βi : c9 ]

A várható hasznosság maximalizálása Kimenetel c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 βi 0.2 0.1 0.8 0.3 0.5 0.9 0.6 1 Állapot Valószínűség Terményfajták a1 a2 a3 s1: gyenge 0.25 c1 = (-400 ; 16) c2 = (10 ; 20) c3 = (-100 ; 10) s2: megfelelő 0.5 c4 = (80 ; 14) c5 = (20 ; 18) c6 = (0 ; 8) s3: jó c7 = (200 ; 12) c6 = (50 ; 16) c9 = (100 ; 8) U(a1) = 0.25 U(c1) + 0.5 U(c4) + 0.25 U(c4) = 0.625 U(a2) = 0.350 ; U(a3) = 0.525 ;

A hasznossági függvény előállítása A döntéshozóval történő dialógus: E: Ha 200 $ biztos nyereségre tehet szert, vagy egy olyan játékban vehet részt, amelyben 50% eséllyel nem nyer semmit és 50% eséllyel 1000 $ a nyereménye, akkor melyik lehetőséget választja? D: Ekkor számomra a játék a vonzóbb lehetőség. E: Csökkentsük most a játék vonzerejét azzal, hogy a 200 $ biztos nyeremény mellett egy olyan játékban vehet részt, ahol 90% eséllyel nem nyer, 10% eséllyel 1000 $ a nyereménye. D: Ebben az esetben számomra a biztos 200 $ a kedvezőbb. E: Legyen egy újabb változatban a 200 $ biztos nyeremény melletti játékban 70% annak az esélye, hogy nem nyer, 30% eséllyel pedig nyer 1000 $-t. D: Most bármelyik opció megfelel: szívesen játszom, de a 200 $ biztos nyeremény is ugyanazt az értéket képviseli számomra. 200 ~ [ 0.7 : 0 ; 0.3 : 1000 ] → β200 = 0.3

A hasznossági függvény előállítása Kérdezzük meg a döntéshozót az alábbiakról: 800 ~ [ 0.2 : 0 ; 0.8 : 1000 ] → β800 = 0.8 300 ~ [ 0.6 : 0 ; 0.4 : 1000 ] → β300 = 0.4 600 ~ [ 0.3 : 0 ; 0.7 : 1000 ] → β600 = 0.7

Kockázati magatartások Semleges kockázati magatartás: készpénz egyenértékes = várható érték Pl. 500 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ] Kockázatkerülő típus: készpénz egyenértékes < várható érték Pl. 300 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ] Kockázatkedvelő típus: készpénz egyenértékes > várható érték Pl. 600 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ]

Kockázati magatartások VP várható pénzérték CE bizonyossági egyenértékes

Kockázati magatartások Példa kockázatkedvelő magatartásra Ötöslottó: 175 ~ [ 0.9765 : 0 ; 0.0273 : 800 ; 0.00081 : 7500 ; … ] Pl. a múlt hétre kiszámolt várható pénzérték: 30 Ft (Nem volt ötös, így halmozódik a főnyeremény.)

Kockázati magatartások Példa kockázatkerülő magatartásra Biztosítás: -10000 ~ [ 0.999 : 0 ; 0.001 : -5000000 ]

Kockázati magatartások Példa kockázatsemleges magatartásra Áll az alku Ha már csak két kis értékű táska maradt, pl. 100000 Ft és 200000 Ft, akkor a bank 150000 Ft-ot ajánl.

A Neumann-Morgenstern hasznosság-elmélet

Xp a kockázatos lehetőségek (lottók) halmaza xp  Xp xp lottó: adottak az ri valószínűségek és a hozzájuk tartozó xi értékek (nyeremény vagy veszteség) (i=1...n)

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer a reláció gyenge rendezés a kockázatos lehetőségek Xp halmazán.

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer Ha xp xq, akkor xp ( α:xp ; (1- α):xq ) xq minden α  (0,1) esetén.

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 3. axióma (folytonosság): Ha xp xq xr, akkor létezik olyan α,β  (0,1), hogy ( α:xp ; (1- α):xr ) xq (β:xp ; (1- β):xr )

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 4. axióma (sorrendtől való függetlenség): ( α:xp ; (1- α):xq ) ~ ( (1- α):xq ; α:xp ) minden α  (0,1) esetén.

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer Ha xs = ( α:xp ; (1- α):xq ) , akkor (β:xs ; (1- β):xq ) = (αβ:xp ; (1- αβ):xq )

5.1. Tétel: Az Xp-n értelmezett xp  xq akkor és csak akkor, ha U(xp)  U(xq) (5.1) és U(:xp , (1-):xq) = U(xp)+ (1-)U(xq),   (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény akkor és csak akkor létezik, ha a NM 1-5. axiómák bármely xp, xq és xr  Xp kockázatos lehetőség együttesre teljesülnek. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogja teljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha U'(xp) =  U(xp) + , (5.3) ahol ,   R és  > 0.

Bernoulli-elv: a várható hasznosság maximalizálása (a várható érték maximalizálása helyett) A Bernoulli-elv feloldja a szentpétervári paradoxont (mondjuk logaritmikus hasznossági függvénnyel.)