ILLYÉS LÁSZLÓ Sapientia Egyetem, Csíkszereda Kiegyensúlyozott csoportok kialakítása egyetemi projektekhez

2 Tartalom  Bevezető  Jelölések és a matematikai modell  Numerikus példa  Mohó megközelítése a két célfüggvénynek  Együttműködési stratégia kialakítása, mikor a csoportokban levő diákszámok különböznek  Genetikus algoritmus megközelítés  Játékelméleti meggondolások  Következtetések  Irodalom

3 Bevezető  Bizonyos terveket a tanítási folyamatban a hallgatók csoportokban készítik. Ez megköveteli, hogy bizonyos együttműködés alakuljon ki közöttük. Ha személyiség- teszttel vizsgáljuk meg a hallgatókat, olyan csoportokat tudunk alakítani amelyekben a szereplők adottságai kiegészítik egymást. El kell kerülnünk a 2 dudás 1 csárdában szindrómát. Ha nincs rendelkezésünkre álló pszichológus a tesztjeivel, hát más módszert is alkalmazhatunk: a pontozásos módszert.

4 Jelölések  Össz-hallgatószám:N  Csoportban levő hallgatók száma b vagy b+1  Pontozás 1 től 5-g (5 a legnagyobb pontszám)  Pontozási mátrix cij  {0,1,2,3,4,5}, cij=0 amikor i=j (senki nem ad önmagának pontot).  Felépítjük az együttműködési mátrixot a következő értékekkel: vij=vji=cij*cji

5 A matematikai modell  Két célfüggvényünk van: 1. Az össz szociális jólét (az együttműködési értékek összege) maximalizálása 2. Kiegyensúlyozott csoportok (a leggyengébben összeillő csoport pontjainak) maximalizálása

6 Matematikai modell  A matematikai modell több célfüggvényt tartalmaz. Az első célfüggvény megadása az alábbiakban történik és elsőrendű szempont a professzor szemszögéből:  Max  aholxij=1ha i és j hallgató ugyanabban a csoportban van. Másképp xij=0.

7 Matematikai modell  Ha Uk csoportokat alakítottunk ki, a következő célfüggvényt kell teljesítenünk, hogy kiegyensúlyozott csoportokat kapjunk  Max(Min ( ))

8 Numerikus példa A sorok jobb szélén látjuk a diák által adott pontokat és a mátrix alján látjuk a diák által kapott pontokat. Pontozási mátrix Együttműködési mátrix A legjobban akart diák:{5,6} A legjobban kooperáló diák: {6}

9 Mohó algoritmus koalíció alakítására Egyenlő eredmények esetén lexikografikus sorrend vagy valamilyen véletlenszerű sorrend érvényes Az algoritmus LÉPÉSEKBEN történik •Minden, legjobban összeillő, 2 tagból álló csoportot számbaveszünk •A következő lépésben a LEGGYENGÉBBen összeillő csoportnak van előnye (ő választ hamarabb) az EGYENSÚLY kialakítása érdekében •Az algoritmus folytatódik a 2-es lépéssel, amíg nincs már több hallgató, aki szövetségre lépjen

10 Mohó algoritmus a két célfüggvény irányában – a csoportok kardinalitása {4, 4, 3} {2,6}={4,5}=25 {3,5}={4,11}={6,8}={8,9}=20 Második lépés: A LEGKEVÉSBÉ jó csoportot KIVÁLASZTJUK Egyensúlyi szempont {8, 9,10}=50 pont {2, 6, 7}=52 pont {3, 4, 5}=57 pont {1,8,9,10}=70;{2,6,7,11}=80; {3,4,5}=57 W=207; D=23

11 Stratégia a koalíció megalakításra, mikor a csoportok kardinalitása különböző A következő lehet: először hagyjuk, hogy kialakuljanak azon csoportok, amelyek kisebb létszámúak lesznek A mi esetünkben hagyjuk, hogy kialakuljon egy 3 személyes koalíció, a többiek fogják kialakítani a koalíciókat az előbbi mohó algoritmus szerint. A mi esetünkben ez a stratégia nem vezet jobb eredményre, de ha kicserélünk a koalíciós mátrixban egypár számot, máris láthatjuk, hogy a stratégiánk jól működik

12 Alkalmazva a stratégiát a módosított mátrixra: {4,5,11}=75 az első koalícióra (legkisebb kardinalitású) És a {3,8,9,10}=80 és {1,2,6,7}=76 csoportok a pontszámokkal Az egyensúly jobb, D=80-75=5

13 Genetikus algoritmussal való megközelítés A genetikus algoritmus (GA) egy optimalizációs metódus, amelyik megpróbálja lemásolni a természet fejlődési folyamatait. Először, a GA-ban pszeudo-aleatorikus kromoszómákat generálunk, amelyek kodifikálják a probléma megoldásának terét. Miután legeneráltuk az első populációt, kiszámítjuk az összesnek a jósági értékét (fitnessz), amelyik a célfüggvényből ered és megmutatja, hogy mennyire “jó” az általa képviselt megoldás. Ezután, az algoritmus kiválasztja azon egyedeit, amelyek szülő egyedek lesznek, akitnek a génállományukból örökölnek a következő generáció egyes egyedei A szelektív stratégia a természetet utánozza: a legjobb megoldásnak (kromoszómának) nagyobb esélye van, hogy szülő legyen

14 A többszörös utazóügynök probléma MTSP (Multiple Travelling Salesman Problem) Csoport feltételek Diák A két-részes kromoszóma struktúra A kromoszóma dekodifikációja: {5, 3, 4}=57; {1, 8, 9,10}=70; {2, 6, 7, 11}=80 A kromoszóma első része Második rész

15 Más problémák, amelyek a genetikus algoritmust meghatározzák  A jósági vagy fitnessz érték lehet: Ff=W+w min - Az össz szociális érték+leggyengébb csoport étéke Természete kiválasztás  Monte Carlo tipúsú kiválasztás  sztochasztikus kiválasztás,  tournament selection Keresztező operátorok a kromoszóma első részére A. Inverzió B. PMX (Partially Mixed Crossover) C. OX (Order Crossover) D. CX (Cycle Crossover) E. ERC (Edge Recombination Crossover)

16 Mutációs operátor, a kromoszóma második részére Csoport feltételek Diák Csoport feltételek Diák

17 Játékelméleti megállapítások- a teljes dominancia definíciója 1. Az össz társadalmi értéke a domináns megoldásnak nagyobb vagy egyenlő, mint az általa domináltnak (W1>=W2) 2. A legkisebb koalíciós pontszámú csoport a domináns megoldásban nagyobb pontszámmal rendelkezik, mint a domináltban. (w1min>=w2min) Ha mindkét esetben egyenlőségünk van, akkor a megoldások egyenlő értékűek. A teljes dominancia tranzitív. Ha S2 »S1 és S3 » S2 akkor S3 » S1

18 Következtetések  Meghatároztunk egy érdekes problémát  Megadtuk a matematikai modellt hozzá  Megoldottuk mohó algoritmussal  Javasoltunk egy GA megoldást  Játékelméleti definíciót is adtunk  Egy alapja lehet a koalíciók keletkezésének a tanulmányozásához

19 Könyvészet  [1] Álmos, A. et.all., (2002), Genetikus algoritmusok, Typotex Kiadó Budapest  [2] Boldea C. R., (2003), A Genetic Algorithm for Windrum-Birchenhall Evolutionary Economic Model, INFOREC Printing House, Economy Informatics Volume III, Number 1/2003, pp  [3] Borgulya, I., (2004), Evolúciós algoritmusok, Dialóg Campus Kiadó Budapest- Pécs  [4] Carter A.E., Ragsdale C.T., (2005), A new approach to solving the multiple traveling salesperson problem using genetic algorithms, European Journal of Operational Research xxx (2005) xxx-xxx  [5] Darwin C. (1859): On the Origin of Species, John Murray, London  [6] Fabian, Cs. B., (2002), Generalized Simple and Crossover Mutations for Evolutionary Algorithms, International Conference on Economic Cybernetics Bucharest  [7] Heung-Suk H., (2002), An improved model for vehicle routing problem with time constraint based on genetic algorithm, Computers & Industrial Engineering 42, pp  [8] Holland, J.H. (1975), Adaptation in Natural and Artificial Systems, Ann Arbour, University of Mitchigan Press.  [9] Illyés L., (2004), Genetic Algorithms for a Particular Covering Problem, International Conference on Economic Cybernetics, ASE Bucureşti, april

20 Könyvészet 2  [10] Illyés, L.; Pál, L., (2005) Generalized particular covering problem with genetic algorithms, AMO–Advanced Modeling and Optimization, Volume 7, Number 1, 2005, pp.1-7  [11] Illyés L., (2005), Traveling Salesman Problem with Time Windows Solved with Genetic Algorithms, Collaborative Support Systems in Business and Education, International Workshop, Babeş-Bolyai University- Faculty of Economics and Business Administration, Risoprint, Cluj Napoca, ISBN: , pp  [12] Jong, K. A. D. (1975), An analysis of the behaviour of a class of genetic adaptive adaptive systems, PhD Thesis, University of Michigan  [13] Jong, K. A. D. (1980), A genetic-based global function optimization technique, Technical Report, No.80-2, University of Pittsburgh  [14] Jong, K. A. D. (1987), On using genetic algorithms to search program spaces. In Proceedings of the 2nd International Conference on Genetic Algorithms and their Applications, pages , Hillsdale, NJ  [15] Michalewitz Z., (1999) Genetic Algorithms+Data Structures=Evolution Programs, New York, Springer  [16] Mitrovic-Minic S., Krishnamuri R., (2005), The multiple TSP with time windows: vehicle bounds based on precedence graphs, Operations Research accepted work.