Kvantumfizikai jelenségek az élet- és orvostudományokban Maróti Péter egyetemi tanár, SZTE IV. Röntgen- és atommagsugarak Ajánlott olvasmányok: Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress, Szeged, Damjanovich S., Fidy J. és Szőlősi J.: Orvosi biofizika, Semmelweis Kiadó, Budapest Maróti P. és Tandori J.: Biofizikai feladatok, JATEPress, Szeged, Röntgen- cső működés közben

Gyűrűs kéz (Hand with Rings): Wilhelm Conrad Röntgen első, „orvosi” tárgyú röntgenfelvétele felesége kezéről december 22-én. Az innováció iskolapéldája A röntgen- kvantum energiája a diagnosztikában: keV a terápiában: 5-20 MeV Az eektromágneses sugárzás spektruma

A röntgensugarak tulajdonságai Röntgen már korai kísérleteivel bebizonyította, hogy a sugárzása: - lumineszcenciát vált ki a kisülési cső falában, - egyenes mentén terjed, - nem térül el mágneses indukcióban (térben), - vastagabb anyagrétegben jobban elnyelődik, mint vékonyabban, - szóródik, amikor (emberi) testen halad át, és - képes gázokat ionizálni. A röntgensugárzás tulajdonságait meghatározó legfontosabb paraméterek: - anódfeszültség: a röntgenkvantum (foton) energiáját határozza meg, - az anód anyagának kémiai összetétele: a karakterisztikus sugárzás hullámhosszát határozza meg, és and - a szűrők minősége és vastagsága: a sugárzás keménységét (lágyságát) határozzák meg. Ez az előadás csak a fizikai alapokkal foglalkozik. A diagnosztikai és terapikus orvosi alkalmazások, mint pl. a számítógépes tomográfia, más előadások anyagát képezik.

A röntgensugárzás előállítása Coolidge (nagy-vákuum) cső Kettős fókuszú röntgencső Rövid megvilágítás (hosszú izzószál) Hosszú megvilágítás (rövid izzószál) Fókuszált röntgennyalábot adó cső tárgy nyílásméret, F R d D R = F·d/D Minél kisebb R, annál nagyobb a kontraszt. Minél kisebb F, annál élesebb a leképezés árnyékmag félárnyék

Röntgencsövek Coolidge-típusú röntgencső 1917-ből. Az izzó katód a bal oldalon látható, az anód a jobb oldalon. A röntgensugarak lefelé hagyják el az anódot.

Különböző röntgencsövek A nagyobb cső hossza kb. 25 cm. Egy kis üvegrekeszben aktív szén van, amelyet felizzítanak, ha elromlik a belső vákuum (vákuum- szabályzó). A kisebb cső 15 cm hosszú, az üveggömb (lámpa) átmérője 5 cm. A búra (lámpa) átmérője 7 cm

A: Anód C: Katód T: Anód céltárgy W: röntgenablak Forgó anódú röntgencső A vákuumcsövön kívüli álló tekercsek (sztátor) elektromágneses tere az anódot szabadon forgathatja, és ezzel az elektronok az anód különböző területeit bombázhatják. árambevezetés a katód izzításához anódfeszültség

Röntgensugárzás keltése gyorsítókkal A ciklotron -elvű elektron- gyorsítókat betatronok -nak nevezik. Linac A lineáris gyorsító elektromágneses katapult, amely az álló elektronokat rövid, egyenes szakaszon relativisz- tikus (a fénysebességhez közeli) sebességre gyorsítja. Az elektronágyúból nagy sebességű elektronok jönnek ki, amelyeket a nyalábosító csomagokra bont, és fel- gyorsít. Az elektron pulzáló, nagyener- giájú, haladó mikrohullámú térben mozog. A gyorsító energia kis térrészre koncentrálódik. A gyorsítás hasonló módon történik, mint ahogy a lovon ülő zsoké hajtja a lovat, vagy ahogy az óceán hullámai gyorsítják a rajtuk lovagló szörfdeszkásokat. A mágneses tér eltéríti a töltött részecskéket A négyszög alakú elektromos tér gyorsítja, és átsegíti a töltéseket a féltekék között

Technikai alapadatok: A kilépő Rtg-sugárzás energiája: MeV Dózis-sebesség (3' levegőben): 3R (3cGy)/perc Fókusz nyílás-méret: 01" x.039" Nyalábdivergencia: 26 szögfok Radiografikus érzékenység minimuma: 0.5% AC bemenő teljesítmény: 110/240V 50/60 Hz Hordozható betatron röntgenkészülék működtetésére. A cirkuláris elektrongyorsító irányított és kemény röntgensugárzást ad. A betatron (Donald Kerst, 1940) transzformátor-szerű elektrongyorsító, amely- ben a szekundérkörben az elektronok egyre nagyobb sebességgel végzik körmozgásukat a primér körben folyó váltóáram hatására. Egy érdekes kérdés: hogyan kényszeríthetők az elektronok körpályára, ha egyre nagyobb és nagyobb sebességgel mozognak? α = m e ·c 2 /E A röntgensugár szögdivergenciája: m e az elektron tömege, c a fény terjedési sebessége és E a felgyorsított elektron energiája, amikor elhagyja a betatront. e-e- α céltárgy vasmag vákuumcső

A röntgensugárzás spektruma Karakterisztikus sugárzás: mivel az elektronok energia-szintjei az anód anyagának atomjaiban diszkrétek (kvantáltak), ezért az általuk keltett röntgensugárzás is kvantált. Ezt fejezik ki az anód anyagára jellemző (karakterisztikus) vonalak a spektrumban. Fékezési sugárzás: Az anódba nagy sebességgel becsapódó elektronok az atomokkal ütköznek, eltérülnek, és végül lefékeződnek. A gyorsuló (itt lassuló) töltés elektromágneses hullámot (röntgensugarat) emittál. Mivel az elektron mozgása nincs korlátoknak (kényszerfeltételeknek) alávetve, így energiája folytonos (nem kvantált). Emiatt a megfigyelt fékezési sugárzás spektruma is folytonos.

λ min Fékezési sugárzás karakterisztikus K vonalak A 3D röntgenspektrumnak állandó (60 kV) anódfeszültségnél vett síkmetszete KαKα KβKβ Anód: Rhodium (céltárgy) hullámhossz (pm) Beütés/s

A röntgensugarak a magokon kívülről, a belső elektronhéjról származnak. Két típusa van: (1) Karakterisztikus (K- vagy L) sugárzás, amely úgy keletkezik, amikor egy elektron egy külső pályáról a legbelső pályán felszabaduló üresedésbe ugrik. Az így felszabaduló röntgenfoton energiája az atom fajtájára jellemző, és ezzel a spektrométer kémiai elemek azonosítására használható fel. (2). A fékezési sugárzás akkor keletkezik, amikor a nagy sebességű elektronok az atom ill. atommag elektromos terében lefékeződnek. A spektrum folytonos egészen addig a maximális energiáig, amellyel a bombázó elektronok rendelkeznek. Folytonos és vonalas spektrum Röntgen-spektrum Atomi energia- szintek Frekvencia (energia)Hullámhossz A röntgen- sugárzás intenzitása

Fékezési sugárzás: a Duane–Hunt eltolódási törvény A Duane-Hunt törvény a röntgencső fékezési sugárzásának maximális frekvenciáját adja meg, miközben az e töltésű elektronok a V gyorsító (anód)feszültség hatására az anód anyagába ütköznek. Amennyiben az elektron teljes energiája (veszteség nélkül) röntgenkvantummá alakul át, az ehhez tartozó frekvencia, ami egyben a ν max maximális frekvencia is, könnyen meghatározható: Ebből a röntgensugárzás hullámhosszának minimuma is adódik: ν max = eV/h. λ min = (hc)/(eV), ahol h a Planck-állandó és c a vákuumbeli fénysebesség. Ez a törvény az energia megmaradásának elvét fejezi ki, mert a maximális frekvenciánál (minimális hullámhossznál) az elektron E = eV energiája teljes egészében a röntgen- kvantum E = hν energiájává alakul át. A folyamatot fordított (inverz) fotoelektromos effektusnak is hívják.

Fékezési sugárzás: teljesítmény és hatásfok A teljes energia (vagy stacionárius esetben teljesítmény) a görbe alatti terület: Helyettesítsük a függvényt egyenessel: és számítsuk ki az integrált (a háromszög alatti területet): Fejezzük ki E max –ot az anódfeszültségből: A teljes teljesítmény az anódba időegység alatt beérkező elektronok számával, azaz az anódárammal egyenes arányban növekszik: Itt Z az anód anyagának rendszáma, V anod a gyorsító feszültség, I anod az anódáram és c Rtg ≈ 1.1· V -1. A teljes (emittált) teljesítmény az anódfeszültség négyzetével arányos. A röntgensugárzás keltésének hatásfoka: Volfram anódra V anod = 100 kV feszültségnél η ≈ < 1%. Az energia főként hővé alakul.

Karakterisztikus sugárzás: Moseley törvénye Moseley a karakterisztikus röntgensugárzás K-sorozatának frekvenciáját mérte az anód anyagának (rendszámának) függvényében (Ca-tól Zn-ig). A különböző elemek karak- terisztikus sugárzásának hullámhosszait az elemek rendszámai szerint lehetett rendezni. Lineáris összefüggés adódott az anód anya- gának elemszáma (rendszáma) és a karakterisztikus sugárzás frekvenciájának négyzetgyöke között. A könnyebb elemeknek 2 vonaluk van. A nehezebb elemeknek akár 3 vonaluk is van. rendszám frekvencia négyzetgyöke

Moseley törvénye, mint empirikus törvény ahol ν a röntgensugárzás fő (vagy K) vonalának frekvenciája, k 1 és k 2 állandók, amelyek a spektrumvonal típusától függnek, és Z az elem rendszáma. Például: k 1 = k 2 valamennyi K α vonalra, ezzel a kifejezés egyszerűbben felírható: ν = 2.47·10 15 ·(Z - 1) 2 Hz

Moseley törvénye, mint a Bohr atommodell (energiarendszer) következménye Vég (f) Kezdet (i) A karakterisztikus röntgenvonalakat két energiaszint közötti átmenet következményeként is leírhatjuk, hasonlóan ahhoz, mint ahogy az optikai spektrumvonalakat a hidrogénatomban a Bohr modell alapján származtattuk. A röntgenátmenet hullámszáma (a hullámhossz reciproka): ahol R a Rydberg állandó (1,097·10 7 m -1 ), Z az elem rendszáma, n a főkvantumszám, amelynek indexében f ill. i a végső ill. a kezdeti állapotot jelölik és σ egy állandót (≈ 1) jelent. Mivel a röntgensugárzásért felelős elektronátmenetek az atom legbelső elektron- héjain következnek be, ezért Z (az atommag elektromos töltése) erős befolyással bír a spektrosz- kópiai termekre (energia- szintekre). Emiatt jelenik meg Z a Moseley kifeje- zésben, noha az optikai spektroszkópiai termekből hiányzik (lásd a Balmer összefüggést).

Probléma A röntgencső céltárgya króm (Cr), a gyorsító anódfeszültség 60 kV. Vázolja fel a cső röntgensugárzásának spektrumát, és jelölje meg a karakterisztikus sugárzás K α és K β vonalait, valamint a fékezési sugárzás hullámhosszának minimumát (λ min )! Megoldás A króm karakterisztikus röntgensugárzásának K β és K α vonalai a fékezési sugárzás folytonos spektrumára ülve jelennek meg. Ki is számíthatjuk a K α vonal hullámhosszát és a fékezési sugárzás hullámhosszának minimumát (λ min ). A 24 Cr elemnek Z = 24 a rendszáma. A K α vonal hullámhosszát a Moseley-összefüggésből határozhatjuk meg: λ Kα = c/ν = (3·10 8 m/s)/[2,47· (Z-1) 2 ·1/s] = 230 pm. A fékezési sugárzás legkisebb hullámhosszát a Duane-Hunt eltolódási szabály alapján számolhatjuk ki: λ min = hc/(eV) = 20,7 pm. λ min A röntgen- sugárzás intenzitása Karakterisztikus vonalak Folytonos spektrum

Röntgen-fluoreszcencia (X-ray „fluorescence”, XRF) Hevesy György röntgensugárral (és nem elektronokkal) gerjesztett karakterisztikus röntgensugárzást, mint ahogy fénnyel gerjesztünk fluoreszcenciát (innen is az elnevezés). A mért karakterisztikus röntgensugárzásból a minta elemösszetételét lehet meghatározni. Később neutron-bombázáson alapuló (neutron-) aktivációs analízist vezetett be, amely érzékenyebbnek bizonyult a röntgenfluoreszcencia módszerénél. Típikus röntgen-fluoreszcencia (XRF) spektrum. Vegyük észre a rendszámok folyamatos növekedését balra haladva ban kémiai Nobel díjat kapott az izotópos jelölési technika bevezetéséért a kémiai és biológiai folyamatok kinetikai vizsgálatában. Ő volt az első, aki a radioaktív izotópokat jelölésre vezette be a biológiában, majd később a nukleáris orvostudományban. Hevesy György

PIXE: Részecskével kiváltott röntgenemisszió Alfa-sugarakkal (vagy protonokkal) való bombázás nagyon sok anyagban az atomok belső elektronhéjaiban röntgenátmeneteket vált ki. A karakterisztikus röntgensugarak az atomok energiaszintjeiről adnak felvilágosítást, így az ismeretlen összetételű mintában az atomok azonosítására használhatók fel. (részecske) röntgen- sugárzás PIXE: particle-induced X-ray emission

A röntgensugarak elhajlása (diffrakciója) Ha fényHULLÁM atomok (molekulák) szabályos térbeli elrendezésén (hálózatán), azaz KRISTÁLYon halad keresztül, akkor elhajlik, és interferencia-jelenség lép fel. Ez meg is fordítható: ha a sugárzás kristályon áthaladva elhajlási jelenséget mutat, akkor a sugárzás hullám-tulajdonságú, és nem részecskékből áll. Max von Laue kísérlete: a röntgensugárzás sókristályon áthaladva interferencia-képet mutatott, amely egyrészt annak bizonyítéka volt, hogy a sókristály szabályos szerkezetű (ez akkor nem volt általánosan elfogadott), másrészt a röntgensugárzás nem részecskékből áll, hanem hullám. HULLÁM + KRISTÁLY ↔ DIFFRAKCIÓ

Minden fekete pont (ú.n. reflexió) a kristályrács atomjain szóródó (elemi) röntgenhullámok összeadódó erősítéséből (interferenciájából) keletkezik. A meg- figyelt interferencia- kép a kristály szerkezetére jellemző, ezért annak (bonyolult eljárással történő) meghatározására lehet felhasználni.

Bragg diffrakciós törvénye és a NaCl kristályszerkezete A Laue-féle diffrakciós képeket a hullámnak a kristálysíkokon való (formális) visszaverődés eredményének is tekinthetjük. L. W. Bragg a platine (Pt) L α karakterisztikus röntgensugarainak NaCl kristályon való elhajlását tanulmányozta, és arra a következtetésre jutott, hogy a kristály rácspontjaiban Na + és Cl - ionok (és nem NaCl molekulák) ülnek. A beeső hullámot minden rácspont szórja, és a megfigyelhető interferencia-kép ezen szórt elemi hullámok szuperpozíciója. Abban az irányban kapunk erősítést, amelyre Bragg törvénye fennáll: A felső és az alatta levő rétegről szóródó hullámok közti útkülönbség: 2d·sinΘ ahol d két szomszédos krisztálysík távolsága és Θ a beeső λ hullám-hosszúságú sugárzás iránya és a kristálysík által bezárt szög. Erősítés csak abban az irányban lehetséges, amelyre a rétegekről szóródó hullámok közti útkülönbség a hullámhossz egész számú (n) többszöröse.

Kristálysíkok, diffrakció és Bragg törvény Kétatomos molekulákból felépülő köbös kristály: minden rácspontban két szórócentrum van. Visszaverődési kristálysíkok (sraffozott területek) egyszerű (köbös) kristályban Bragg-visszaverődés a kétatomos molekulákból felépülő köbös kristályrács felületeiről jól meghatározott irányokban. elemi cella szóró- centrumok hálózati sík

Röntgenkrisztallográfia Goniométer Diffrakciós kép savas, bázikus, hisztidin. Elektronsűrűségi térkép 3D szerkezet Reakciócentrum-fehérje fotoszintetizáló baktériumból; ~100 kDa Fázis-probléma: a találkozó hullámok eredő intenzitás-viszonyait (és ebből az összetevők amplitúdóit) tudjuk közvetlenül mérni, de sajnos a hullámok közötti fázis-viszonyok rejtve maradnak. Vannak azonban módszerek, amelyekkel a fázis-információt (korlátozottan) ki tudjuk nyerni. 1) Fourier-transzformáció; Fourier-finomítás, 2) Többszörös izomorf (nehéz atom) helyettesítés jól meghatározott helyeken, 3) Már ismert szerkezetű fehérjékkel (biomolekulákkal) való közvetlen összehasonlítás

Röntgen-krisztallográfia: milyen a DNS szerkezete atomi feloldásban? Az 1950-s évek elején James Watson és Francis Crick (Cam- bridge Egyetem) javasolták a (B-)DNS kettős hélikális szerke- zetét, amelyet a 20. század legnagyobb jelentőségű biológiai felfedezésének tartanak. Erre a legelső és legfontosabb bizonyítékokat a röntgenkrisztallográfiai mérések adták. Alapvetően fontos a gének bio- lógiai működését (mint pl. a gene- tikai kifejeződést, a DNS mutá- cióit és javító-mechanizmusait) megérteni. Emellett a DNS szer- kezetének megértése is lényeges: pl.egyes DNS szerkezeteket miért különösen könnyű károsítani vagy bennük mutációt létrehozni. A DNS szerkezetének megértése legalább annyira fontos, mint a génszekvencia ismerete. A humán genom program (azaz a teljes emberi genom genetikai szekven- ciájának megismerése) csak az érem egyik oldala. A másik oldal a különböző típusú DNSek három dimenziós szerkezetei, amelyek ezeket a szekvenciákat (és így végül a biológiai funkciót is) meghatározzák. A szokatlan DNS struktúrák (Holliday kapcsolódások) kulcsszerepet játszanak a roncsolódott DNS önjavító képességében, amely a biomedicinában is alkalmazásra talál.

A röntgensugárzás anyagbeli gyengülése (elnyelése): a Beer-törvény A röntgensugárzás anyagba hatolva fokoza- tosan, a távolsággal (a behatolási mélység- gel) exponenciálisan gyengül: ahol I 0 az abszorbens felületére merőlegesen beeső sugárzás intenzitása, x a homogén réteg vastagsága, I a sugárzás intenzitása, miután áthaladt, és elhagyja a réteget, valamint μ a gyengítési (abszorpciós) együttható, amely magában foglalja az abszorbens (pl. szövet) anyagi tulajdonságait és kölcsönhatását a sugárzással. ln I/I 0 x 0 meredekség: - μ μ x I0I0 I Felezési rétegvastagság az a távolság, amelyen áthaladva a sugárzás intenzitása a beeső intenzitás felére csökken: x H = (ln 2)/μ Tömeggyengítési együttható: μ m = μ/ρ az abszorbens anyagának sűrűségre (ρ) vonatkoztatott értéke. -dI(x)=μ·I(x)dx

Röntgen kvantum energiája E (MeV) Tömeggyengítési együttható μ/ρ (cm 2 /g) levegő Z = 7,78 ρ = 0,0012 víz Z = 7,51 ρ = 0,9982 zsír Z = 6,46 ρ = 0,92 izom Z = 7,64 ρ = 1,04 csont Z = 12,31 ρ = 1,65 0,015,125,3293,2685,35628,51 0,10,15410,17070,16880,1690,186 10,063580,070720,07080,07010, ,020450,022190,02140,02190, ,017050,018130,0170,01790,0207

A röntgensugár gyengítési együtthatójának energia-függése vízben    C  k I (x) = I(0)·exp(-μ·x) A röntgenkvantum energiája Lineáris gyengítési együttható VÍZ Klasszikus szórás Fotoeffektus Compton-effektus Pár-képződés

Gyengítési mechanizmusok A röntgenkvantumok az elektro- nokon rugalmasan (energia- veszteség nélkül) szóródnak. Külső fotoeffektus esetén az ionizáló sugárzás egy héjelektront szabadít fel. A Compton-effektus fotonok- nak (röntgen kvantumoknak) szabad vagy gyengén kötött elektronokon való szóródása. Nagy hν >1,02 MeV energiákon a foton egy-egy, ellentett irányban mozgó elektronná és pozitronná alakulhat át az abszorbeáló anyag atommagjainak közvetlen közelében (az atommag Coulomb-terében). Klasszikus szóródás Fotoelektromos abszorpció (fotoeffektus) Compton-szórás Párképződés

A különböző sugárgyengítési mechanizmusok összehasonlítása μ: gyengítési együttható, E: a kvantum energiája, Z: az anyag (kémiai elem) rendszáma független Koherens szórás Fotoelektromos abszorpció Compton-effektus Párképződés mechanizmus Energia-tartomány lágy szövetben

Ionizációs folyamatok fotonbesugárzás hatására hullámvonalak = fotonpályák Egyenes vonalak = elektron ill. pozitronpályák : fotoeffektus Compton- szórás Párképződés Triplett-képződés : Pár-megsemmisülés A halszálkák a keltett ionpárok pályáit jelölik. A halszálkák sűrűsége az ionizáció sűrűségét jelzik. A különböző kölcsönhatások áttekintése, amelyekkel az anyagba hatoló foton találkozhat. Anyag Gamma- vagy Röntgen- sugarak

Probléma. Ugyanakkora I 0 intenzitású röntgensugárzással világítunk át egy x 1 = 18 cm vastagságú lágyszövetet és egy ugyanilyen vastagságú szövetet, amelyben x 2 = 4 cm vastagságú csont van a lágyszöveti részben. A lágyszövet gyengítési együtthatója μ 1 = 0.19 cm -1, míg a csonté μ 2 = 0.42 cm -1. Mennyi a kilépő sugarak intenzitásainak aránya? Mennyi a csont kontrasztja? Megoldás. Az I 1 és I 2 intenzitások aránya: A radiológiában a háttérszövethez ill. a kérdéses anatómiai szerkezethez tartozó röntgensugárintenzitások relatív különbségét szövet-kontraszt-nak nevezik: ahol I szövet és I háttér a kérdéses szöveten ill. a (szomszédos) háttérszöveten áthaladó röntgensugárzás intenzitása. Ha a példánkban I 2 -t I szövet –re cseréljük, és I 1 –et I háttér -re, akkor a csontszövet kontrasztjára C csont = 0,6 adódik. I0I0 I0I0 x1x1 x2x2 I1I1 I2I2 lágyszövet csont

Házi ill. szemináriumi feladatok 1.Mennyi a molibdén (Mo) K α vonalának hullámhossza és fékezési sugárzásának hullámhossz-minimuma, λ min ? (Z = 42; a K α vonalra n i = 2 and n f =1; σ =1) 2. Melyik az az elem, amelynek K α sugárzásának hullámhossza λ Kα = 251 pm? (Megoldás: Z = 23, Vanadium) 3. Egy kisülési röntgencső anódja volfram (rendszáma 74). Adja meg a K α (n i = 2) és K β (n i = 3) karakterisztikus röntgensugárzás frekvenciáit! 4. Terápikus célokra olyan elektronokat használnak, amelyeket a betatron MeV energiára gyorsít. Mekkora annak a röntgensugárzásnak a divergenciája, amelyet ezek az elektronok keltenek, miután a betatronból való kilépést követően a céltárgyba ütköznek? 5. Mekkora annak a röntgen kvantumnak a maximális energiája, amely egy 10 kV-os kisülési csőben keletkezhet?

Házi ill. szemináriumi feladatok 6. Egy röntgencsőben az anódfeszültség 80 kV, az anódáram 6 mA. Az anód anyaga volfram. a)Mekkora a röntgenkvantum maximális energiája? b)Mi a a röntgen spektrum rövidhullámú határa? c)Mekkora a röntgencső sugárzási teljesítménye? d)Mekkora a röntgensugárzás keletkezésének hatásfoka? e)Mennyi hő termelődik percenként? f)Mekkora az elektron sebessége az anódba való ütközése előtti pillanatban? g)Mennyi elektron ütközik másodpercenként az anódba? 7. A röntgencsőben az anódfeszültséget egy C = 1 μF kapacitású nagyfeszültségű kondenzátor biztosítja. Hány százalékkal csökken az eredeti V = 100 kV anódfeszültség a 2 s-ig tartó és 5 mA anódáramot kívánó kisülés után? Miért szükséges a röntgen- kisülés alatt az anódfeszültséget állandó értéken tartani?

Házi ill. szemináriumi feladatok 8. A mellkas röntgen-átvilágítására egy olyan röntgencsövet használnak, amelynek anódfeszültsége V = 80 kV, anódárama I = 5 mA és hatásfoka η = 0.65%. a)Mekkora a röntgensugárzás I 0 intenzitása a cső fókuszpontjától r = 1 m távolságban, ha a röntgencső 2π térszögben (azaz félgömb mentén) egyenletesen sugároz? b)Mekkora az abszorbeált dózis a röntgencsőtől r = 1 m távolságban levő mellkasban a t = 10 s ideig tartó átvilágítás alatt? Tételezzük fel, hogy a mellkas mindenütt egyenletesen vastag (x = 10 cm). Az átlagos gyengítési együttható μ = 0,18 cm -1, és az átlagos sűrűség ρ = 1,05 g·cm Mekkora a vér kontrasztja lágyszöveti környezetben? Az aorta sugara x = 1 cm, a vér gyengítési együtthatója 0,215 cm -1, míg a lágyszöveti környezetéé 0,211 cm -1. Mennyire emelkedik a kontraszt, ha jódot keverünk a véráramba, amely a vér gyengítési együtthatóját 0,284 cm -1 értékre emeli? 10. A NaCl kristályrács köbös (kocka) rács, amelyben az elemi cella mérete 5,64 Å. Az elemi cella 4 Na + és 4 Cl - iont tartalmaz. A NaCl sűrűsége 2,163 g·cm -3. Számítsuk ki ebből az Avogadro mennyiséget!

Házi ill. szemináriumi feladatok 11. Számítsuk ki az elsőrendű (n = 1) Bragg reflexió szögeit a λ = 154 pm hullámhosszú röntgensugárzásra, ha a hálózati kristálysíkok távolsága a) 500 pm, b) 1 nm és c) 100 nm! 12. A diffrakcióra vonatkozó Bragg-egyenletből az következik, hogy állandó λ hullámhossz esetén a kristálysíkok közötti d távolság fordítva arányos sin Θ-val. Más szóval, az a szórás, amely a legkisebb távolságnak felel meg, sin Θ maximális értékénél (azaz Θ = 90 o -nál) következik be. Mekkora a feloldás elméleti határa (azaz a legkisebb feloldható távolság), ha λ = 154 pm hullámhosszú röntgensugarat alkalmazunk?

Az atommag létezésének első kísérleti bizonyítéka: a Rutherford-féle szórási kísérlet N: a szóróatomok száma/m 3 d: az aranyfüstlemez vastagsága Z 1 : a bombázó részecskék töltésszáma Z 2 : a szórócentrumok töltésszáma E kin : a bombázó részecske kinetikus energiája A szórási kísérlet bizonyítja, hogy a nagyon nagy sűrűségű atommag egyben a pozitív elektromos töltések hordozója is. Mind az anyag (tömeg), mind az elektromos töltés az atomnak csupán parányi részére, az atommagra koncentrálódik. Nagyon kis valószínűségű, de megfigyelhető „visszaszórás”

Összehasonlító nagyságrendek: elektronok, atommagok és atomok kiterjedése Az elektron sugara: r elektron ≈ 1,3· m = 1,3 fm. Az atommag sugara a Rutherford-féle szórási kísérletből határozható meg: ahol M az atom tömegeszáma (atomsúlya). Például, az urán leggyakoribb izotópjának tömegszáma M = 238 és ezzel r atommag ≈ 8· m = 8 fm. A teljes atom (atommag + elektronhéjak) sugarának nagyságrendje 0,1 nm (= 1 Å = 1· m): r atom ≈ m = 10 5 fm

Összehasonlító, lineáris és közelítő méretek atomatommag atommag- részecskék: nukleonok (neutronok, protonok) kvarkok

Elemi részecskék RészecskecsaládNévNyugalmi tömeg TöltésSpin (h/2π) Közepes élettartam (s) Leptonok (könnyű részecskék) Elektronmeme -e1/2∞ Pozitronmeme +e1/2∞ Neutrino001/2∞ Hadronok Mezonok (középnehéz részecskék) π-Mezon264 m e 008,6· K-Mezon966 m e +e01,2·10 -8 Barionok (nehéz részecskék) Proton1836 m e +e1/2∞ Antiproton1836 m e -e1/2∞ Neutron1839 m e 01/2887 Λ-Hiperon2183 m e 01/22,6· Az anyag építőköveiKölcsönhatást közvetítők

A természet alapkölcsönhatásai Gyenge kölcsönhatás. A radioaktivitásban szerepet játszó β¯ -bomlás példa a gyenge kölcsönhatásra. Több nagyságrenddel kisebb, mint az Erős kölcsönhatás, amely az atommag nukleonjai között hat, és tartja össze az atommagot. Elektromágneses kölcsönhatás, pl. a töltések között ható Coulomb- kölcsönhatás (újabban az elektromágneses és a gyenge kölcsönhatást összefoglalva elektrogyenge kölcsönhatásnak is hívják). Gravitációs (tömegvonzási) kölcsönhatás; mindig vonzó kölcsönhatás kölcsönhatáserőselektromágnesesgyengegravitáció relatív erősség hatótávolság m∞< m∞ térkvantumokglüonfotonZ-bozon W-bozon graviton

Ami az atommagot összetartja: erős kölcsönhatás (magerő) -Vonzó magerő, amely a protonok és a neutronok között fellép. Nagyobb, mint a protonok között ható taszító Coulomb-erő; r > 0,7 fm távolságban két proton közötti magerő 100-szor nagyobb, mint a Coulomb kölcsönhatás. - A magerő független az atommagot felépítő részecske elektromos töltésétől, minden párra (akár proton-proton, akár neutron-neutron) ugyanakkora. - A magerőnek kicsiny a hatótávolsága. Egy kritikus nukleontávolságnál (kb. r > 2 fm) nagyobb távolságon hatástalan. A vonzó magerő emiatt nem terjedhet ki az atommagot felépítő valamennyi nukleonra, gyakorlatilag csak a közvetlen szomszédra hat. - A magerő kellően kis nukleontávolságnál (r < 0,7 fm) taszító, azaz a nukleonokat ennek megfelelő távolságban tartja. Emiatt nem is függ az atommag sűrűsége a nukleonok számától. kölcsönhatás Összetartás kicserélődés útján; hierarchia : A nukleonok közötti erős kölcsönhatást (a magerőt) pionok (π + -mezonok), mint kicserélődési részecskék közvetítik, és tartják ezzel egyben az atommagot. Ugyanakkor a nukleonok is még elemibb részecs- kékből, kvarkokból állnak, és a nukleont is kicserélő- dési részecskék (kvarkok és glüonok) tartják egyben.

Atommag-modellek Folyadékcsepp-modell. Az atommagot összenyomhatatlan folyadékcseppnek tételezzük fel, amelyet rövidhatótávolságú erők tartanak egyben. A folyadékcsepp E k kötési energiája 5 különböző tagból tevődik össze (von Weizsäcker nyomán) Kondenzációs energia, amely akkor szabadul fel, ha a nukleonok a magban egyesülnek. Mivel A az atommag térfogatával arányos, ezért ezt a tagot térfogati energiának is nevezik. Coulomb- energia, amely taszító energia a pozitív (azonos) töltésű protonok között. A felületi energia az atommag felületével arányos, mivel a nukleonok a felületen kevéssé erősen kötöttek. Aszimmetria-energia. Ha a neutronok száma túlsúlyba kerül a pro- tonokéval szemben, akkor csökken a köté- si energia a szimmetri- kusan felépített atom- magokéhez képest. A szimmetrikus atom- magok (Z = A/2) a legstabilabbak. Pár-energia. Páros (g,g) magoknak nagy, páratla- noknak (u,u) kicsiny a kötési ener- giájuk. (g,g): az atommagban mind Z, mind N páros, (u,u): az atommagban mind Z, mind N páratlan számú.

Atommag-modellek Folyadékcsepp-modell (folytatás). Pár-energia: δ ≈ ± a P ·A -1/2 ahol a „+” előjel a (g,g), a „-” előjel az (u,u)-atommagokra vonatkozik; δ = 0 mind (u,g), mind (g,u)-atommagokra. Az a V, a S, a C, a A és a P arányossági tényezőket a meghatározott magtömegekre vonatkozó kísérleti adatokból illesztéssel nyerhetjük. Egy gyakran felhasznált értéksorozat: a V = 15,56 MeV; a S = 17,23 MeV; a C = 0,72 MeV; a A = 23,29 MeV és a P = 12 MeV Héj-modell. Az atommag energia-rendszere hasonlatos az elektronoknak az atomban (elektronhéjakban) megfigyelt energia-rendszeréhez. A nukleonok egymástól közel függetlenül mozognak. Minden nukleon a többi, A -1 nukleon által kialakított gömbszimmetrikus potenciáltérben mozog. A nukleonok különböző energiszinteken helyezkednek el, amelyeket egyrészt a pályaimpulzus, másrészt a saját impulzus (spin) jellemez. Ezek egymással csatolásban állnak. A nukleonoknak az energianívókon való elhelyezkedését a Pauli-féle kizárási elv határozza meg. Az atommag nukleonjai az alapállapotban a legalsó energiszinteket töltik be.

Atommag-modellek Héj-modell – a különleges stabilitás. Azok az atommagok, amelynek a nukleon-héjai lezártak, igen stabilak. Valóban, a természetben előfordulnak olyan atommagok, amelyek neutron- és protonállapotai olyan kedvezőek, hogy stabilitásuk a szomszédos atommagokénál lényegesen nagyobb. Ezek a mágikus számú atommagok, amelyek proton (Z)- vagy neutron(N)-számai az alábbiak lehetnek: 2, 8, 20, 28, 50, 82 és N = 126. Azokat az atommagokat, amelyeknek mind a neutronszámuk, mind a protonszámuk mágikus, duplán mágikus atommagoknak nevezik. Például: A duplán mágikus atommagok különlegesen stabilak. A héjmodell a könnyű atommagoknál, és minden más atommag alapállapotában jó leírást ad.

Kötési energia Tömeg-energia egyenértékűség (ekvivalencia) : Itt c a fény terjedési sebessége vákuumban, m a tömeghiány, amelynek kárára E energia szabadul fel (és fordítva). Minden tömeghez energia (és fordítva) rendelhető. Például: az elektron m = 9,11· kg tömegének E = 0,511 MeV energia feleltethető meg. Egy A = Z + N nukleonszámú atommag tömege mindig valamivel kisebb, mint N számú neutron és Z számú proton együttes tömege. Ennek a tömeghiánynak a kötési energia felel meg, amely akkor szabadul fel, amikor az egyedi nukleonok atommaggá olvadnak össze. Ugyanez megfordítva is igaz: ennyi energia kell az atommag felbontásához, vagyis ahhoz, hogy a nukleonokat a magerő hatótávolságán kivülre (> 2 fm) vigyük.

Magenergia Fajlagos magenergia (1 nukleonra jutó kötési energia): a mag teljes kötési energiája (B) osztva a nukleonok számával (A). Fúzió Hasadás A ~ 60 nukleonszám körül a görbének maximuma van. Elég nagy A-ra B/A közepes értéke 7,5 és 8,5 MeV közötti. Atommag-energiát 1) magfúzióval (könnyű atommagok egyesülésével) és 2) maghasadással (nehéz atommagok felhasadásával) nyerhetünk.

Fajlagos (egy nukleonra eső) magenergia E fajlagos kötési energia (MeV) A, Tömegszám 2D2D 3T3T 4 He 238 U Magfúzió Maghasadás 56 Fe Fajlagos kötési energia Z: protonok száma N: neutronok száma M: magtömeg Δm: tömeghiány c: fénysebesség Δm = 1 tömeghiány (1,67· g) megfelel E kötés = 931,5 MeV kötési energiának. Magképződésnél a tömeghiány a magtömeg 1%-ánál kisebb.

A kötések energia-létrája 1 meV 1 eV 1 keV 1 MeV Termikus energia, ½ k B T, (25 meV szobahőmérsékleten) Fotonenergia, hν Az atomok kötési energiája a molekulákban Az elektronok kötési energiája az atomok legkülső héjain Az elektron kötési energiája az urán, mint a legnagyobb tömegszámú elem legbelső héján (K). Fajlagos atommagkötési energia 4 He-ban (7.07 MeV) 1 eV = 1.6· J Coulomb-gát a legkönnyebb elemek fúziós reaktoraiban

Radioaktivitás: a radioaktív sugarak szétválasztása mágneses indukcióban (térben) RS: radioaktiv anyag Marie Curie doktori disszertációjában (1904) szereplő eredeti ábra A külső mágneses indukció iránya

A radioaktivitás bomlástörvénye A radioaktív anyagok atommagjai nem egyszerre bomlanak el, hanem pillanatnyi mennyiségüknek mindig csak egy tört része hasad fel egységnyi idő (pl. 1 s) alatt. Ebből az következik, hogy az elbomló atommagok száma (-ΔN) a még el nem bomlottak számával (N) minden időpillanatban (Δt) egyenesen arányos: Itt λ a radioaktív bomlási állandó, amely az egységnyi idő alatt bekövetkező relatív bomlási számot adja meg: Ha N 0 a t = 0 időpillanatban (az időmérés kezdetén) a bomlatlan atommagok számát, N a t idő elteltével (a bomlási folyamat vizsgált időtartama után) még bomlatlan atommagot számát jelöli, akkor a fenti egyenlet integrálásával: A radioaktivitás bomlástörvénye ahol e (= 2, ) az Euler-szám, a természetes logaritmus alapja.

Radioaktív felezési idő ElemZATHTH A bomlás módja (MeV) P153214,3 napβ - (1,71) Co27605,271 évβ - (1,71), γ (1,33) Sr389028,5 évβ - (0,5) Tc43996,01 óraγ (0,14) I ,2 óraK-befogás; γ (0,16) Th902321,405·10 10 évα (4,01) Felezési időn (T H ) azt az időtartamot értjük, amely idő alatt a mindenkor (ezt az időpontot kezdőpontnak válaszhatjuk, t = 0) jelenlevő radioaktív atommagok fele elbomlik. A definíció szerint: N (t = T H ) = N 0 /2, Amely szerint a bomlási állandó és a felezési idő között fordított arányosság áll fenn: A radionuklidok felezési idejei ~10 -7 s és ~ év közé esnek.

Radioaktív kormeghatározás 1) Kőzetek geológiai kormeghatározása kálium-argon módszerrel. T H = 1,23·10 9 év idő Gyakorisága: 0,0117% 1/2 2) Uránt tartalmazó kőzetek kormeghatározása az ólom mennyiségének mérésével. A 238 U 92 bomlási sor utolsó tagja 206 Pb 82, így a kőzetben az ólom folyamatosan fel- halmozódik. Az urán felezési ideje T H = 4,51·10 9 év. 3) Radiokarbon módszer. T H = 5730 év 14 C izotóp felezési ideje:

Effektív felezési idő: egy szerv radioaktivitásának időbeli változása Egy szerv radioaktivitásának időbeli változása nagyon összetett, többnyire számos elemi exponenciális folyamat összege. A legegyszerűbb esetben a lecsengés abból származik, hogy a szerv metabolikus folyamatai révén egyszerűen kiüríti (kiválasztja) a benne levő (felhalmozott) radioaktív anyagot: Itt N a mindenkori radioaktív anyag mennyisége a szervben, λ biol a biológiai bomlási (kiválasztási) állandó. Ha emellett még a radioaktív anyag maga is bomlik, akkor a két (párhuzamos) folyamat eredménye: Itt λ phys a fizikai bomlási állandót jelenti. anyagcsere radioaktív bomlás A radioaktív jelző eltünhet útján.

Az effektív felezési idő A fizikai és a biológiai bomlási állandók összege az effektív bomlási állandó. Mivel ezek egymástól független és párhuzamos folyamatokat írnak le, ezért a bomlási állnadók (de nem a felezési idők!) összegezhetők: A vizsgált szervbe juttatott radiofarmakon aktivitásának időbeli változását leíró egyenlet: Vigyázat! Csúszásveszély! A megfelelő felezési idők reciprokai (azaz lényegében a bomlási állandók) és nem maguk a felezési idők összegződnek: Ha a két felezési idő nagyon különböző, akkor a lecsengési folyamatot a gyorsabb lecsengésű (kisebb felezési idejű) folyamat határozza meg.

Példa: egyidejű anyagcsere és radioaktív bomlás 1.Mennyi a pajzsmirigyben a 131 I effektív felezési ideje? A biológiai (anyagcsere) felezési idő T H,biol = 15 nap, és a radioaktív felelzési idő T H,phys = 8,1 nap. Megoldás: A numerikus értékek behelyettesítése után: T H,eff = 5,3 nap 2. A 18 F fluor izotóp radioaktivitásának megfigyelt felezési ideje a csontban T H,eff = 107 perc, a fizikai felezési ideje T H,phys = 1,8 óra. Számítsuk ki a biológiai (anyagcsere) felezési időt! Megoldás: A számadatok behelyettesítése után: T H,biol = 8,0 nap

Néhány, az emberi szervezetben alkalmazott radiofarmakon RadioizotopHol halmozódik fel? T H, phys (nap)T H,biol (nap)T H,eff (nap) egész test egész test2,1· csontok14, ,1 egésztest0,52300,51 csontok162,76· ,3 csontok1,04·10 4 1,8· pajzsmirigy0,250,50,17 pajzsmirigy0,551200,55 csontok5,8·10 5 1,6·10 4 1,56·10 4

A neutron (N)- és proton (Z)- számoktól függően stabilak vagy instabilak (radioaktivak) az atommagok A könnyű elemek atommagjaiban általában N = Z. A 40 Ca elemtől felfelé stabil atommag csak N > Z esetekben adódik, és növekvő rendszámmal a nuklidok (akár stabilak, akár radioaktívak) mindig gazdagabbak neutronokban. A stabil nuklidokhoz képest neutrongazdagabb atommagok elektron-sugárzók, a neutronokban szegényebb atommagok pedig pozitron-, alfa-sugárzók vagy elektron-befogók. sugárzók tartománya β + és α 2+ sugárzók vagy elektron- befogók tartománya

Radioaktív bomlási módok α-bomlás. Az α részecskék nagyon stabil hélium atommagok. Általában a Z > 60 és A > 144 atommagok, de leginkább a Z > 83 nehéz atommagok gyakori bomlási módja. Az X M anyanuklid X T lánynukliddá alakul át: Példák α-sugárzókra Az α-részecskéknek diszkrét energiájuk van 1,5 MeV és 10 MeV között, és értékük felvilágosítást ad az atommagot felépítő részecskék energiaszintjeiről. Az α-sugarak hatótávolsága (R), a Geiger-Nuttal szabály. R: hatótávolság, λ: bomlási állandó, A és B állandók. Noha az α-részecskék kezdősebessége igen nagy (≈10 7 m/s), levegőben mégis nagyon kicsiny (≈ 6 cm) a hatótávolságuk.

α-bomlás, alagúteffektus Az α-részecske E P potenciális energiája a 238 U atommagban a középpontól vett r távolság függvényében. A keletkező (maradék) 234 Th atommag sugara 9,2 fm. Az α- részecskének két lehetősége van az atommagból való távozásra: a potenciálfalon való A) átmászás és B) átfúrás (alagúteffektussal). A kisugárzott α-részecskék mindegyikének pontosan ugyan- akkora az energiája: E α = 4,8 MeV. Az α-részecskék mindegyike ugyanakkora energiával fut a potenciálfalnak az atommag belsejében. Az atommag héjszerkezete tükröződik. Más elemek atommagjaiból távozó α- részecskének ugyan más lesz az energiája, de megegyező lesz valamennyi részecskére. r (fm)

Radioaktív bomlási módok β¯ -bomlás. A β - -sugárzás nagy sebességű elektronokból áll. A leggyorsabbak a fénysebesség 90%-ával is repülhetnek. Az atommagban egy neutron (n) egy protonná (p) alakul át, miközben egy elektront és az elektron antineutrinoját sugározza ki: A β¯ -bomlás olyan atommagokban lép fel nagy valószínűséggel, ahol a protonszámhoz képest túl nagy a neutronok száma. A neutron-feleslegtől az atommag β¯ -bomlással szabadul meg, amelynek során ugyanolyan tömegszámú, de 1-gyel nagyobb rendszámú lánynuklid keletkezik: A β-részecskék energia szerinti eloszlása folytonos, mivel a teljes átalakulási energia statisztikusan oszlik meg a két részecske (elektron és antineutrino) között. Az energiák néhány keV értéktől egészen 14 MeV értékig terjedhetnek.

Radioaktív bomlási módok β + -bomlás (pozitronbomlás) azokban az atommagokban lép fel, ahol a neutronok számához képest túl nagy a protonok száma. A β+ -bomlás a feleslegesen nagy protonszám csökkenéséhez vezet. Az atommag egy protonja neutronná alakul, miközben a töltést a pozitron β + magával viszi, továbbá még egy neutrinot is kibocsát: A radioaktív bomlás eredményeképp az anyanuklid tömegszámával azonos, de 1-gyel kisebb rendszámú lánynuklid képződik: Az átalakulás csak energia befektetésével valósulhat meg. A proton tömege kisebb, mint a neutron és a pozitron együttes tömege A különbség 2 elektronnyi tömeg (energia-ekvivalens), amelyet az atommag más nukleonjaitól kell elvonni. Emiatt a kiinduló atommag energiájának legalább 1,02 MeV-tal nagyobbnak kell lenni, mint a termék atommagjáé.

Radioaktív bomlási módok K-befogás. Az atommagban egy protonnak neutronná való átalakulásához szükséges energiát az atommag úgy is megszerezheti, hogy az atom elektronhéjáról elektront fog be. Ez leginkább a maghoz legközelebbi K héjról történhet meg. A lánynuklid az anyanuklidnál eggyel kisebb rendszámú, de vele megegyező atomtömegű lesz: A magban lejátszódó folyamat során még egy neutrino is keletkezik, és a teljes folyamat végén melléktermékként (a befogott elektron megüresedett helyére beugró elektron miatt) még röntgenkvantum is kisugárzódik. γ-sugárzás. Elektromágneses sugárzás, amelynek hullámhossza még a röntgensugárzásénál is rövidebb. Általában más magátalakulásokat kísérő jelenség. A lánynuklid gyakran kerül gerjesztett energiaszintre, amitől gamma kvantum emissziójával szabadul meg. A tömeg- és rendszámok változatlanok maradnak: A γ-kvantumok energiái 0,1 MeV és 20 MeV közöttiek.

Részecske- (kvantum-) számok energia szerinti eloszlása különböző radioaktív sugárzásoknál: spektrumok diszkrét spektrum folytonos spektrum átlagos energia

Soddy-Fajans-féle eltolódási törvény Az A nukleonszám és a Z protonszám (rendszám) a radioaktív átalakulás során a következőképp alakul: Magátalakulás, radioaktív bomlás ΔAΔAΔZΔZ α-4-2 β-β- 0+1 β+β+ 0 γ00

Radioaktív bomlási sorok Egy radioaktív atommag bomlása után többnyire egy újabb radioaktív atommag keletkezik. 4 teljes bomlási családot ismerünk, amelyek közül az uran-bomlási sor a legismertebb. Az α-, β- és γ-bomlások közül csak az α-bomlás változtatja meg az A tömegszámot. Mivel ekkor a változás ΔA = 4, ezért 4 bomlási sort (családot) különböztethetünk meg aszerint, hogy a tömegszám 4-gyel való osztása milyen maradékot (0, 1, 2 vagy 3) ad: (4k) család: 232 Th 90 (T = 1,8·10 10 év) →...→...→ 208 Pb 82 (4k + 1) család: 237 Np 90 (T = 2,14·10 6 év) →...→...→ 209 Bi 83. Mivel a felezési idő nagyon kicsiny, ezért ennek a családnak a tagjai a természetből már eltüntek, csak mesterségesen állíthatók elő. (4k + 2) család: 238 U 92 (T = 4,51·10 9 év) →...→...→ 206 Pb 82 ( 4k + 3) család: 235 U 92 (T = 7,04·10 9 év) →...→...→ 207 Pb 82

Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np β-bomlás α-bomlás Z A A = 4k 232 Th 90 → 208 Pb 82 a tórium-sor

Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np β-bomlás α-bomlás Z A A = 4k Np 93 → 209 Bi 83 a neptunium-sor

Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np Z A A = 4·k U 92 → 206 Pb 82 az urán-rádium-sor β-bomlás α-bomlás

Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np Z A A = 4k U 92 → 207 Pb 82 az urán-aktinium-sor β-bomlás α-bomlás

Egyensúlyi állapot a bomlási sorban: Anya-lány-rendszer Csak a legfontosabb (és legegyszerűbb) esettel foglalkozunk, amikor egy anyanuklidból egy szintén radioaktív lánynuklid alakul ki. Legyenek az anyanuklid és a belőle keletkező lánynuklid felezési ideje (bomlási állandója) T M (= (ln2)/ λ M ) ill. T T (= (ln2)/ λ T ). ahol az első tag azon magok számát adja, amelyek dt idő alatt az anyanuklidból alakultak át, míg a második tag azon lánynuklidok számát mutatja, amelyek ennyi idő alatt elbomlottak. A lánynuklidok számának megváltozása: Az anyanuklidok számának megváltozása:

Anya-lány rendszer egyensúlyban Az anya- és a lánynuklodok számának időbeli változását megkaphatjuk a két kinetikai egyenlet integrálásával, amelyhez tartozó kezdeti feltétel: N M = N M,0 és N T = 0, ha t = 0: A lánynuklidok száma kettős exponenciális függvényként változik az időben: kezdetben, amikor az átalakulás gyors, a szám maximumot ér el idő után, majd az anyanuklidok számával párhuzamosan cseng le. Domináns, ha λ M < λ T, és t →∞ A lánynuklid párhuzamosan fut az anyanukliddal, ha t→∞.

Az aktivitások időfüggése ( speciális esetekben ) tartós egyensúly „futó (időfüggő) egyensúly” Ha az anyanukIid bomlási állandója lénye- gesen kisebb, mint a lánynuklidé, akkor radioaktív egyensúlyban az anya- és a lánynuklid aktivitásai megegyeznek: Ha az anya- és a lánynuklid bomlási állandói közel megegyeznek, akkor „futó” (időtől függő) egyensúlyban a lánynuklid aktivitása nagyobb lesz, mint az anyanuklid aktivitása (elég hosszú idő után egymáshoz képes eltolva, de párhuzamosan futnak). a = - dN/dt= λ·N

Általánosítás: egyensúly kialakulása radioaktív bomlási sorokban Mivel csak egyirányú az átalakulás, ezért a radioaktív bomlási sor tagjai (az első kivételével) a megelőzőből keletkeznek, és (a legutolsó kivételével) elbomlanak (eltűnnek). Idővel a sor egyre rövidebb lesz, végül csak az utolsó és stabil izotóp marad. Egy közbülső i-edik (lány)nuklidban Δt idő alatt ΔN i számú nuklid bomlik el. Ha a megelőző (i-1)-dik (anya)nuklid ΔN i-1 számú bomlása éppen fedezi ezt a veszteséget, és ez a (megrövidült) sor minden tagjára (a mindenkori legelső kivételével) teljesül, akkor a bomlási sor (ill. annak megmaradt tagjai) radioaktív egyensúlyi állapotba kerülnek: ΔN 1 = ΔN 2 = ΔN 3 =... A lánc legelső tagjának kárára a legutolsó felhalmozódik, miközben a köztes tagok száma (aktivitása) az egyensúlyban nem változik. Ez megfelelően hosszú idő után következik be, és tartós marad. Az anya-lány-rendszerek aktivitásának leírását adó egyensúlyi egyenletek fontos szerepet játszanak a nukleáris medicinában. A bomlási veszteség: amely azonban pótlódik a sor első tagjának kivételével.

Példa: Legalább mennyi uránszurokércből kellett a Curie házaspárnak kiindulni, hogy 1 gramm rádiumot kaphassanak? A rádium elem az 238 U-bomlási sorának közbülső terméke. A 238 U (anyanuklid) felezési ideje T U = 4,51·10 9 év, a rádiumé (lányelem) T Ra = 1602 év. Első közelítésben tételezzük fel, hogy az uránszurokércben csak ennek a két elemnek ( 238 U 92 és 226 Ra 88 ) az atommagjai vannak. A végtermék tömege 1 g rádium, azaz a végterméknek N Ra = (1/226) ·6·10 23 = 2,65· rádium atommagot kell tartalmaznia. Az urán atommagok száma: N U = T U /T Ra ·N Ra = 7,46· Ennyi urán atommagnak mol-ban (individuális tömegegységben) mért tömege: m U = 7,46·10 27 /6·10 23 mol = 12,4 kmol, ami 12,4·10 3 · 238 g = 2960 kg tömegnek felel meg. Finomabb közelítésben az urán bomlási sorának további tagjait is figyelembe vehetjük, de a hatásuk elenyésző: a fent kiszámított értéket csak a negyedik értékes jegyben módosítja. Az első közelítés tehát értelmes feltételezés volt. A Curie házaspárnak azonban sokkal több uránszurokércet kellett feldolgoznia, mert a nyersanyag más, nem csupán a bomlási sorba tartozó elemeket is tartalmazott. Ezeket a számításokban figyelmen kívül hagytuk.

Házi- és szemináriumi feladatok 1.Az 51 Cr 24 felezési ideje T H = 27,7 nap. Mennyi az A (radio)aktivitása m = 1 g nuklidnak? 2.A 42 K 19 radionuklid felezési ideje T H = 12,36 óra. Mennyi idő elteltével csökken az eredetileg A 0 = 1·10 8 1/s (Bq) aktivitású preparátum aktivitása A t = 1·10 5 Bq értékre? 3.Eredeti aktivitásának hányad részére csökken az 5 év felezési idejű radioaktív preparátum 25 év múlva? 4.A 137 Cs 55 nuklid T H = 30,17 év felezési idővel bomlik. Mekkora az az időtartam, amely alatt az aktivitása a kezdő aktivitásának 10%-ra csökken? 5. Mekkora rétegvastagságú ólomlemez csökkenti a rajta áthaladó gamma sugárzás intenzitását 5%-ra? Az ólom felezési rétegvastagsága 5 mm.