Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A FIZIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK SZÁRMAZTATÁSÁNAK ALAPJAI dr. Majár János.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A FIZIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK SZÁRMAZTATÁSÁNAK ALAPJAI dr. Majár János."— Előadás másolata:

1 A FIZIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK SZÁRMAZTATÁSÁNAK ALAPJAI dr. Majár János

2 CÉLOK, MEGJEGYZÉSEK - A fizikai összefüggések helyes felírásához szükséges tudások átadása - Minta-gyakorlatok kidolgozása, melyek segítségével ezek használata fejleszthető - Ezek segítségével a feladatmegoldás során a részeredmények és a formális végeredmény is ellenőrizhető (ellenőrizendő) - Az érintett területek rövid, összefoglaló bemutatása - Az egyes diák elkészítésénél igyekeztem csak olyan funkciókat használni, amelyek csak az alapprogramra építenek.

3 TARTALOM - Vektorok, azok felírása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben - Vektorokkal végzett műveletek (koordinátarendszerben is) - Vektorok és skalárok között végzett helyes műveletek kiválasztása - Mértékegységek, azok helyes használata a számolások során - Prefixumok, mértékegységek átváltása - Példaként alapvető fizikai mennyiségek, azok mértékegységei, meghatározásuk a Mechanika területéről - Gyakorlatok – ezek tényleg csak mintául szolgálnak, ezek alapján hasonlóak könnyedén kidolgozhatóak, a mennyiségek felírása után más tudományterület esetében is.

4 A VEKTOR FOGALMA Vektor: - Hossz + Irány - Félkövér betűvel jelölve - Számok (skalárok) dőlt betűvel jelölve a Megjegyzés: ezen vektorok mindegyike ugyanaz a vektor, mivel hosszuk és irányuk azonos Egységvektorok derékszögű Descartes-koordinátarendszerben: x i y z j k A választott koordinátarendszerben: i: az x tengely irányába mutató egységvektor j: az y tengely irányába mutató egységvektor k: a z tengely irányába mutató egységvektor Megjegyzés: egységvektor: 1 (egységnyi) hosszúságú vektor

5 VEKTOROK DERÉKSZÖGŰ DESCARTES-KOORDINÁTA- RENDSZERBEN x i y z j k Jól láthatóan a=5i+2j+3k, ezzel egyenértékű, hogy a=(5, 2, 3). Általában, ha a=a x i+a y j+a z k, akkor ehelyett a koordinátarendszerben úgy írjuk fel, mint a=(a x, a y, a z ). Megjegyzés: bár később lesz részletezve, az itt látható számolásokhoz szükségesek a vektorok összeadására és számmal való szorzására vonatkozó ismeretek (lásd később) a

6 VEKTOROK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA Összeadás: Vektor + Vektor = Vektor a vagy b c=a+bc=a+b Kivonás: Vektor - Vektor = Vektor a vagy d=a+(-b) b d=a-bd=a-b Derékszögű Descartes- rendszerben c=a+b=(c x, c y, c z ), ahol c x = a x + b x, c y = a y + b y, c z = a z + b z. d=a-b=(d x, d y, d z ), ahol d x = a x - b x, d y = a y - b y, d z = a z - b z.

7 VEKTOR SZORZÁSA SZÁMMAL Skalár * Vektor = Vektor Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jelét elhagytuk, így c=μa Derékszögű Descartes- rendszerben c= μa =(c x, c y, c z ), ahol c x = μ a x, c y = μ a y, c z = μ a z. a μ > 1: irány azonos hossz nő c μ > 1 μ = 1: irány azonos hossz azonos c μ = 1 1 > μ > 0: irány azonos hossz csökken c 1> μ > 0 μ = 0: Az eredmény nullvektor c μ = 0 0 > μ > -1: irány ellentétes hossz csökken c 0 > μ > -1 μ = -1: irány ellentétes hossz azonos c μ = > μ: irány ellentétes hossz nő c -1 > μ

8 VEKTOR SZORZÁSA VEKTORRAL – A SKALÁRIS SZORZÁS Vektor * Vektor = Skalár Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘·’, így a·b = μ = |a||b|cosγ, Derékszögű Descartes- rendszerben μ = a·b = a x b x + a y b y + a z b z, vagyis így |a| 2 = a·a= a x 2 + a y 2 + a z 2, a b γ ahol |a| az a vektor hossza, és kiszámolható, mint (b-re hasonló): |a| 2 = a·a, illetve cosγ = a·b / (|a||b|).

9 VEKTOR SZORZÁSA VEKTORRAL – A VEKTORIÁLIS SZORZÁS Vektor * Vektor = Vektor Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘×’, így a×b = c, ahol - |c| = |a||b|sinγ Derékszögű Descartes- rendszerben a b γ - c merőleges a-ra és b-re · · - a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály c c=a×b=(c x, c y, c z ), ahol c x = a y b z - a z b y, c y = a z b x - a x b z, c z = a x b y - a y b x.

10 MEGJEGYZÉSEK Skaláris szorzás szélsőhelyzetei 1. a azonos irányú b-vel: γ = 0 -> a·b = μ = |a||b| 2. a merőleges b-re: γ = 90° -> a·b = μ = 0 3. a ellentétes irányú b-vel: γ = 180° -> a·b = μ = - |a||b| Derékszögű Descartes- rendszerben Ha a skaláris szorzat értéke 0, a két vektor merőleges (egyik sem nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk. Vektoriális szorzás szélsőhelyzetei 1. a párhuzamos b-vel: γ = 0 -> |c| = 0, c nullvektor 2. a merőleges b-re: γ = 90° -> |c| = |a||b| Ha a vektoriális szorzat vektor mindegyik komponense 0, a két vektor párhuzamos (egyik sem nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk. Vektoriális szorzás fordított sorrendben Mivel a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály szerint kell működjön, ha megfordítjuk a sorrendet: a×b = - b×a. Ha a vektoriális szorzatot komponensenként felírjuk, ez a szabály jól láthatóan teljesül a két vektor szerepének felcserélésekor.

11 MŰVELETEK VEKTOROK ÉS SKALÁROK KÖZÖTT Vektor ± Vektor = Vektor Skalár * Vektor = Vektor Vektor · Vektor = Skalár Vektor × Vektor = Vektor Vektor ± Vektor = Skalár Vektor ± Skalár = Bármi Skalár * Vektor = Skalár Skalár ± Skalár = Skalár Skalár ± Skalár = Vektor Skalár * Skalár = Skalár Vektor · Vektor = Vektor Vektor × Vektor = Skalár Vektor × Skalár = Bármi Skalár · Vektor = Bármi Approved Bármi / Vektor = Bármi

12 FIZIKAI MENNYISÉGEK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEIK (MECHANIKA) MennyiségJele és vektor/skalár jellemzőMértékegység Elmozdulásrm (méter) Időts (másodperc) Sebességvm/s Gyorsulásam/s 2 Szögelfordulás*φ (kis phi)radián, számolásokban ‘1’ Szögsebesség*ω (kis omega)1/s Szöggyorsulás*β (kis beta)1/s 2 Tömegmkg (kilogramm) Lendület (impulzus)I (vagy p)kg m/s ErőFN (Newton) PerdületLkg m 2 /s ForgatónyomatékMNm EnergiaEJ (Joule) MunkaWJ TeljesítményPW (Watt) Tehetetlenségi nyomaték*Θ (nagy theta)kg m 2 Sűrűségρ (kis rho)kg/m 3 NyomáspPa (Pascal) * Ezek a mennyiségek bevezethetőek vektorként, illetve tenzorként (tehetetlenségi nyomaték), de jelen anyagban ezeket skalárként kezeljük.

13 MÉRTÉKEGYSÉGEK HELYES KEZELÉSE - A mértékegységek szorzás során összeszorzódnak - A mértékegységek osztás során ugyanúgy osztandóak egymással, mint a mennyiségek - Differenciálás során a derivált mennyiség mértékegységét osztjuk a változó mértékegységével - Integrálás során az integrált mennyiség mértékegységét szorozzuk a változó mértékegységével - Csak azonos mértékegységű mennyiségek adhatóak össze, vagy vonhatóak ki egymásból! - Egy egyenlet két oldalán azonos mértékegységű mennyiségek állhatnak! - Egy-egy mennyiség mértékegysége kikövetkeztethető a meghatározásából. - Egy adott fizikai mennyiség mértékegysége jelölhető úgy is, hogy a mennyiség jelét [ ] rázójelek közé írjuk, például a sebesség mértékegysége m/s, vagy [v].

14 GEOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEK MennyiségJele, meghatározásaMértékegység Hosszúság, Kerület…, Km Terület, FelszínT, Am2m2 TérfogatVm3m3 Kör (r sugár) kerülete2r πm Kör (r sugár) átmérőjed = 2rm Kör (r sugár) területer 2 πm2m2 Téglalap (a,b oldalhosszak) kerülete2(a+b)m Téglalap (a,b oldalhosszak) területeabm2m2 Háromszög (a oldal, m a magasság) területeam a /2m2m2 Téglatest (a, b, c oldalhosszak) felszíne2(ab + bc + ac)m2m2 Téglatest (a, b, c oldalhosszak) térfogataabcm3m3 Henger (r sugár, m magasság) felszíne2r 2 π+m2r πm2m2 Henger (r sugár, m magasság) térfogatar 2 π mm3m3 Gömb (r sugár) felszíne4r 2 πm2m2 Gömb (r sugár) térfogata4r 3 π/3m3m3

15 MEGHATÁROZÁSOK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEK MennyiségMeghatározásaMértékegység Sebességv = dr/dtm/s Gyorsulása = dv/dt, illetve g a gravitációs gyorsulásm/s 2 Szögsebességω = dφ/dt1/s Szöggyorsulásβ = dω/dt1/s 2 Lendület (impulzus)I = mvkg m/s ErőF = ma1N = 1kg m/s 2 PerdületL = r × Ikg m 2 /s ForgatónyomatékM = r × FNm Energia (példaként mozgási energia)E = ½ mv 2 1J = 1kg m 2 /s 2 MunkaW = ∫Fdr1J = 1Nm TeljesítményP = dE/dt1W = 1J/s = 1kg m 2 /s 3 Tehetetlenségi nyomatékΘ = ∫ρr 2 dV, egyszerűbben Θ = mr 2 kg m 2 Sűrűség és tömegm = ∫ρdV, egyszerűbben m = ρVkg Nyomásp = F / A1Pa = 1N/m 2 Megjegyzés: a fenti meghatározásokban szerepel néhány olyan mennyiség, amely alaphelyzetben vektor, itt mégis skalárként van feltűntetve (például sebesség a mozgási energiában, vagy erő a nyomásban). Ekkor a skalár nem más, mint a vektor hosszát jellemző szám, vagyis ezekben az esetekben csak a vektorok hosszára van szükségünk.

16 PREFIXUMOK, ÁTVÁLTÁSOK PrefixumJeleSzorzó10 hatvány deka-d(a)tíz10 1 hekto-hszáz10 2 kilo-kezer10 3 mega-Mmillió10 6 giga-Gmilliárd10 9 tera-Tbillió10 12 peta-Pbilliárd10 15 exa-Etrillió10 18 PrefixumJeleSzorzó10 hatvány deci-dtized10 -1 centi-cszázad10 -2 milli-mezred10 -3 mikro-μmilliomod10 -6 nano-nmilliárdod10 -9 piko-pbilliomod femto-fbilliárdod atto-atrilliomod Fontos ezeken felül az idő mérték átváltásánál: 1 h (óra) = 60 min (perc) 1 min (perc) = 60 s (másodperc) Illetve a szögek átváltásánál fok és radián között: 1 fok = π/180 radián, vagyis 1° = π/180 1 radián = 180/π fok, vagyis 1 = 180°/π A térfogatmérték átváltásánál: 1 l (liter) = 1 dm 3

17 GYAKORLAT I. Az alábbi vektorösszefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a vektor, illetve skalár tulajdonságok alapján? g + k = p g + k = μ g + k = p g · k = x d * k = p g × k = p g - k = μ g × k = a g · k = μ g × k = μ g * k = p g - k = p

18 GYAKORLAT II. Az alábbi mértékegység-átváltások közül melyek helyesek, és melyek nem? 1 kg = 1000 g 1 m/s = 3600 km/h 3,6 m/s = 1 km/h 1 m/s = 3600 m/h1 μg = kg 1000 kg/m 3 = 1 kg/dm kg/m 3 = 1 g/cm 3 1 kg/l = 1000 g/cm 3 1 kg/m 3 = 1 g/cm 3 3,6 m/s = 1000 km/h 1 kg/dm 3 = 1000 kg/cm 3

19 GYAKORLAT III. Mely mértékegységek tartoznak össze? Az összetartozók összekötendők. Megjegyzés: a szögletes zárójelben lévő kifejezéseknek a mértékegységét kell használni, vagyis például [E] helyére J (joule) írandó, vagy [s/t] helyére m/s mértékegység. [ρ][ρ] [m/V][m/V] kg/m 3 g/cm 3 [Θ ] [ρ V r 2 ] kg m 2 [ρ] m 5 [β][β] 1/s 2 [φ/(2t 2 )] [a] / [r] [L][L] kg[r] 2 [ω] [mvr]kgm 2 /s

20 GYAKORLAT IV. Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek egyeztetése alapján? E = Θ ω 2 /2 M = m g 2 r 2 L = Θ v 2 t / A W = m v 2 /2 + ρ V g h M = E β t 2 P = W / t 2 E = m v 2 /2 + m/r p = ρ g V ω = β t 2 + φ t V = a t p = ma/A v = m V / (Θt) + at

21 GYAKORLAT V. Az adott fizikai összefüggéshez tartozik egy vektortulajdonságokat, és egy mértékegységeket egyeztető elem. Ezeket kellene összekötni! p = ρVg /A m = m*1/s 2 *s 2 +1/s *m*s skalár = skalár 4 + skalár 3 |M| = Θβ N*m = kg*m 2 /s 2 = kg*m/s 2 *m skalár = skalár 2 L = m r × v kg*m 2 /s = kg*m*m/s = [Θ]*[ω] P = F · v vektor = skalár*vektor × vektor W = N*m/s = kg*m 2 /s 3 skalár = vektor · vektor Pa = N/m 2 = kg/m 3 *m 3 *m/s 2 /m 2 skalár = skalár 4 W = m * r · d 2 r/dt 2 Θ = ∫ρr 2 dV J = kg*m*m*1/s 2 = kg*m 2 /s 2 skalár = skalár * vektor · vektor kg*m 2 = kg/m 3 *m 2 *m 3 skalár = skalár 3 /skalár s = β r t 2 /2 + ω 0 r t

22 GYAKORLAT VI. Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor- tulajdonságok egyeztetése alapján? E = Θ ω 2 /2 |L| = Θ ω r = g t 2 / 2 + v 0 t P = W / t E = m v 2 /2 + ρ |g| h p = F / A ω = L / Θ F = W / r I = m*dr/dt p = ρ V |g| / A I = m · v

23 GYAKORLAT VII. Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor- tulajdonságok egyeztetése alapján? F · r - m |g| h = m v 2 /2 |m r × v| = Θ ω r / t 2 = F/(2m) + I 0 /(mt) dW/dt = F · v Θ / m = a 2 /t 4 + It/m ρ g · h = F / A p 1 + ρ 1 g h 1 = p 2 + ρ 2 g h 2 dF/dt = M × r I 2 /(2m) = mr 2 ω 2 /2 |F| r = ρ r 2 V β dI/dt = dm/dt v + ma

24 KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!


Letölteni ppt "A FIZIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK SZÁRMAZTATÁSÁNAK ALAPJAI dr. Majár János."

Hasonló előadás


Google Hirdetések