Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Bevezetés a számítógépi grafikába 1.Bevezetés: A Számítógépi grafika tárgya 2.Képek raszteres kódolása 3.Képek geometrikus kódolása, a geometrikus grafika.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Bevezetés a számítógépi grafikába 1.Bevezetés: A Számítógépi grafika tárgya 2.Képek raszteres kódolása 3.Képek geometrikus kódolása, a geometrikus grafika."— Előadás másolata:

1 Bevezetés a számítógépi grafikába 1.Bevezetés: A Számítógépi grafika tárgya 2.Képek raszteres kódolása 3.Képek geometrikus kódolása, a geometrikus grafika alapjai 4.Koordináta-rendszerek és transzformációk 5.Vetületi ábrázolások 6.A 3D grafikai alapjai: térbeli alakzatok és színterek képének előállítása 7.Valószerű képek előállítása 8.Egyebek

2 4. Koordináta-rendszerek és transzformációk 4.1. Koordináta-rendszerek az euklideszi térben 4.2. Homogén koordináták 4.3. Az egyenes és a sík egyenlete 4.4. Affin és projektív transzformációk Affin transzformációk Projektív transzformációk

3 4.4. Affin és projektív transzformációk Miért kellenek az affin- és projektív transzformációk? A grafika transzformációi: - a geometriai modell valószerű átalakításai, és - „valószerű képek” előállítása, vagy - szándékos torzítás (pl. „morphing”) Valószerű képek: a valóságra emlékeztető képek. Geometriai szempontok: pontból pontot, egyenesből egyenest, síkból síkot kapjunk és ha egy pont rajta van egy síkon, a képen is így legyen!

4 Kollineációk Kollineációk: a tér önmagára való, egy-egyértelmű leképezései, amelyek pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartók. E n kollineációi: az affin transzformációk csoportja (a kibővített térben ideális elemeket ideálisakra). P n ( H n ) kollineációi: a projektív transzformációk csoportja. A tér egy közönséges síkját az ideális síkra képezi le, az ideális síkot egy közönséges síkra. Affinitások a projekivitások alcsoportja.

5 Affin transzformációk Affin transzformációk: geometria és lineáris algebra Az affin transzformációk mátrix alakja Egyszerű affinitások: eltolás, forgatás, léptékezés, nyírás, báziscsere és tükrözések Az affin transzformációk geometriai tulajdonságai és osztályozása

6 Affin transzformációk Geometria: Az euklideszi tér (-sík) egyenest tartó, egy- egyértelmű transzformációi, pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartó. Lineáris algebra: az n-dimenziós affin tér lineáris leképezései: x’ = a 11 x+a 12 y+a 13 z+a 14 ; P’ = A · P [+d?] y’ = a 21 x+a 22 y+a 23 z+a 24 z’ = a 31 x+a 32 y+a 33 z+a 34 Az euklideszi tér analitikus geometriája, koordináta-geometriája Affin transzformációk számolása lineáris transzformációval

7 Affin transzformációk (2)  Például: eltolás, forgatás, tükrözés, stb.  Szóhasználat: affin transzformáció – affinitás  Reguláris affinitások (det A  0) E n  E n ; a térben: E 3  E 3, a síkban: E 2  E 2  Nem reguláris: leképezés (vetítés) egy síkra, vagy egyenesre  Szóhasználat: transzformáció, leképezés  Pont-transzformáció: alakzatok (pontjainak) transzformációja  Koordináta-rendszer transzformációja: áttérés új KR-re  A tér leképezése egy másik térre (pl. VKR  KKR, VKR  SZKR)

8 Affin transzformáció mátrix-szorzással (1) Adott: egy lineáris transzformáció mátrixa: A 33 és egy d eltolás-vektor X’ = A 33  X + d = (a 11 a 12 a 13 )  (x) + (d 1 ) = (x’) = X’ |a 21 a 22 a 23 | |y| |d 2 | |y’| (a 31 a 32 a 33 ) (z) (d 3 ) (z’) Az eltolás „nem fér bele” a 3x3-as mátrixba

9 Affin transzformáció mátrix-szorzással (2) Adott: téglalap mátrix: A 34 ; a * 4 az eltolás-vektor (az utolsó oszlop) X’ = A 33  X + a * 4 = (a 11 a 12 a 13 )  (x) + (a 14 ) = (x’) = X’ |a 21 a 22 a 23 | |y| |a 24 | |y’| (a 31 a 32 a 33 ) (z) (a 34 ) (z’) A téglalap mátrix-al kényelmetlen dolgozni.

10 Affin transzformáció mátrix-szorzással (3) Adott: homogén mátrix alak: A 44, X = [x,y,z,1] T X ’ = A 44  X = (a 11 a 12 a 13 a 14 )  (x) = (x’) = X’ |a 21 a 22 a 23 a 24 | |y| |y’| |a 31 a 32 a 33 a 34 | |z| |z’| ( ) (1) (1) A 44 utolsó oszlopa az eltolás-vektor, utolsó sora: (0,0,0,1) Közönséges pontot közönséges pontba visz át, ideális pontot ideálispontba visz át: a tér ideális síkjának képe önmaga.

11 Egyszerű affinitások: 1. Eltolás x’= x + d 1 y’= y + d 2 z’ = z + d 3 Az eltolások kommutatív csoportja: T (dx,dy,dz) -1 = T (-dx,-dy,-dz) T 1 (a,b,c)  T 2 (d,e,f) = T (a+d,b+e,c+f) T 1 (a,b,c)  T 2 (d,e,f) = T 2 (d,e,f)  T 1 (a,b,c) T 1 (0,0,0) = E A koordináta-rendszer (dx,dy,dz) eltolása = a pontok eltolása (-dx,-dy,-dz )-vel az eredeti KR-ben X’ = T 44  X (1 0 0 d 1 ) · (x) = (x’) |0 1 0 d 2 | |y| |y’| |0 0 1 d 3 | |z| |z’| ( ) (h) (h)

12 Pont-tr. – KR-tr. KR -> KR’ a koordináta-rendszer transzformációja: eltolás (dx,dy)-nal X’ = (x-dx, y) Mintha a pontokat tolnánk el (-dx, -dy) -nal KR dx x x’ P KR’ X(x,y)

13 Egyszerű affinitások: 2. Forgatás a Z tengely körül x’ = x cos  - y sin  y’ = x sin  + y  cos  z’ = z; A síkban: f. a kezdőpont (origó) körül: R z a 3. sor és oszlop nélkül A Z tengely körüli forgatások kommutatív csoportja: R z1 (  )  R z2 (  ) = R z (  ) = R z2  R z1 a forgatás inverze: R z (  ) -1 = R z (-  ) Ortonormált transzformáció, determinánsa 1. R z = (co –si 0 0) | si co 0 0| | | ( ) co = cos  si = sin 

14 Forgatás az X és az Y tengely körül x’ = x y’ = y cos  - z sin  z’ = y sin  + z  cos  illetve: x’= x cos  – z sin  y’= y z’ = x sin  + z  cos  Az ugyanazon tengely körüli forgatások kommutatív csoportot alkotnak R x = ( ) |0 co –si 0| |0 si co 0| ( ) R y = (co 0 –si 0) | | |si 0 co 0| ( )

15 Forgatások Origón átmenő, ferde tengely körüli forgatás öt forgatás szorzataként: X’ = ( ( R z -1  R x -1 )  R y  ( R x  R z ) )  X a Z tengely körül beforgatjuk a ZY síkba, ebben a síkban, az X tengely körül, az Y tengelybe, ekörül végrehajtjuk a kívánt forgatást, végül az első két forgatás fordítottját, fordított sorrendben. Elvileg fölírható hárommal is; de melyik hárommal? Transzformációk megadása geometria jelentésük alapján !!! A tér tetszőleges egyenese körüli forgatás ( T -1  R  T ) : az egyenes eltolása a kezdőpontba, ekörül forgatás, majd az eltolás fordítottja.

16 Forgatás és eltolás egymásutánja Forgatás: R (90 0 ) Eltolás: T (dx,dy) Áthelyezés: X’ = ( R  T )  X R  T ≠ T  R

17 Áttérés új KR-re: báziscsere  A koordináta-rendszer transzformációja.  Adottak egy új koordináta-rendszer U, V, W tengelyirányai: u, v, w egységvektorok.  X’ = B  X B = (u x u y u z 0) x’ = u x  x + u y  y + u z  z |v x v y v z 0| y’ = v x  x + v y  y + v z  z |w x w y w z 0| z’ = w x  x + w y  y + w z  z ( ) Ha az origót el is toljuk a C pontba: X’ = ( T (-c x,-c y,-c z )  B )  X

18 Egyszerű affinitások: 3. Léptékezés (skálázás) Léptékezés (skálázás) az origóból kiindulva: X’ = S  X. S = (s x 0 0 0) x’ = s x  x |0 s y 0 0| y’ = s y  y |0 0 s z 0| z’ = s z  z ( ) Determinánsának értéke: s x  s y  s z ; (egyik sem nulla). Egyenletes (izotrop) léptékezés, ha s x = s y = s z Egyenlőtlen (anizotrop), ha van köztük különböző. A tér C pontjára vonatkozó léptékezés: T (c x,c y,c z )  S  T (-c x,-c y,-c z ) A léptékezések az affinitások kommutatív alcsoportja.

19 Tükrözés: léptékezés negatív együtthatókkal x’ = -1·x, y’= y, z’ = z : tükrözés az YZ síkra. Tükrözések: S (  1,  1,  1) Ha 1 tényező negatív: tükrözés koordináta-síkra, (det = -1) 2 tényező negatív: tükrözés koordináta tengelyre, (det = +1) 3 tényező negatív: tükrözés a kezdőpontra. (det = -1) Ha a determináns = -1, a tér irányítása megfordul Tükrözés általános helyzetű síkra, tengelyre vagy pontra: X’ = ( M -1  TÜKRÖZÉS  M )  X M = mozgatás: eltolások és forgatások

20 Egyszerű affinitások: 4. Nyírás  Egy merev test alakjának változása terhelés hatására.  Az „elcsúszó kártyacsomag”  Az XZ síkkal párhuzamosan, X irányban, az y összetevővel arányos nyírás: x’ = x+a  y; X’ = N xy  X; N xy = (1 a 0 0) y’ = y | | z’ = z | | ( )  Nyírás a tengelyek más szereposztásával: más alsó, vagy felső háromszög mátrix

21 Az affin transzformációk néhány geometriai tulajdonsága A pontok baricentrikus koordinátái affin-invariánsak: ha valamely t-vel R = (1-t)  P + t  Q, akkor ugyanazzal a t-vel: R’= (1-t)  P’ + t  Q’ Az egyenesek pontjainak osztóviszonya affin invariáns: (PQR) = PR / RQ; R  Q, (P’Q’R’) = (PQR);  Egy egyenesen lévő szakaszok hossza ugyanolyan arányban változik: P’Q’/PQ = R’S’/RS. (k ülönböző irányokban a változás aránya különböző lehet)  Tetszőleges affin transzformáció mátrixa előállítható: A  P = ( N  S  R  T )  P alakban

22 Az affin transzformációk osztályozása  Az affin transzformációk csoportot alkotnak  Alcsoportja: hasonlósági transzformációk : T  R  S (s,s,s)  Alcsoportja a mozgás transzformációk : T  R Mozgások - egybevágósági transzformációk „Másodfajú” egybevágóság: irányítást váltó tükrözések is.  Ha det A =0, a tér párhuzamos vetítése egy síkra, vagy egyenesre pl.: egy pont összetevői a tengelyekre való vetítéssel.  Az n-dimenziós tér egy affinitását meghatározza n+1 „független” pont és képének megadása, (a térben 4, a síkban 3). „Független”: semelyik 3 sem esik egy egyenesbe.

23 Affin transzformáció megadása: 4-4  A tér egy affinitását meghatározza 4 független pont és képe. (Az n-dimenziós térben: n+1.)  „Független”: semelyik 3 sem esik egy egyenesbe.  A 44  ( O E x E z E z ) = ( P Q R S ) (a 11 a 12 a 13 a 14 )  ( ) = ( p x q x r x s x ) |a 21 a 22 a 23 a 24 | | | | p y q y r y s y | |a 31 a 32 a 33 a 34 | | | | p z q z r z s z | ( ) ( ) ( )  12 egyenlet, 12 ismeretlen: a ik  a 14 = p x, a 24 = p y, a 34 = p z a 11 +a 14 = q x, a 12 +a 14 = q y, a 13 +a 14 = q z...

24 Projektív transzformációk

25 Projektív transzformációk - Bevezetés  A projektív tér kölcsönösen egyértelmű, egyenest tartó leképezései, amelyek „pont-, egyenes-, sík-, és illeszkedést tartók”.  Az affin transzformációk a homogén tér közönséges, euklideszi alterét önmagára képezik le.  ? Mit művelnek az affin transzformációk az ideális pontokkal? Válasz: ideális pontot ideális pontba visznek át.  ? Milyenek a „valódi projektív transzformációk”, amelyek némelyik közönséges pontból ideális pontot állítanak elő?

26 Homogén mátrix alakjuk X’ = M 44  X = = (m 11 m 12 m 13 m 14 )  (x 1 ) = (m 11 x 1 +m 12 x 2 +m 13 x 3 +m 14 h) = (x1’) |m 21 m 22 m 23 m 24 | |x 2 | |m 21 x 1 +m 22 x 2 +m 23 x 3 +m 24 h| |x2’| |m 31 m 32 m 33 m 34 | |x 3 | |m 31 x 1 +m 32 x 2 +m 33 x 3 +m 34 h| |x3’| (m 41 m 42 m 43 m 44 ) (h ) (m 41 x 1 +m 42 x 2 +m 43 x 3 +m 44 h) ( h’ ) X’  (x 1 ’/h’, x 2 ’/h’, x 3 ’/h’,1), ha h’  0 = ideális pont, ha h’ = 0 h’ = m 41 x 1 +m 42 x 2 +m 43 x 3 +m 44 h =0 [m 41, m 42, m 43, m 44 ] a transzformáció eltűnő síkja. a pontok homogén alakja: X’  h  X ; h  0 a transzformációk homogén alakja: M 44  h  M 44 ; h  0

27 Egy 2D projektív transzformáció A’= M· A = = ( ) · (-1) | | |-1| ( ) ( 1) = ( -1 ) ~ ( 1 ) | 1 | | -1 | ( -1 ) ( 1 ) A transzformáció eltűnő egyenese: [0,1,0]; az X tengely

28 Nota bene … Ha M 44 utolsó sora nem (0,0,0,c), akkor „valódi” projektív transzformáció s = [m 41, m 42, m 43, m 44 ] a transzformáció „eltűnő síkja” s’ = [ 0,0,0,c] : az ideális sík (!) A többi pont képe közönséges pont. Az eltűnő sík mentén M „fölvágja” a teret és „kifordítja”; az egyik féltérnek megfordul az irányítása! Ezért: képek előállításánál az ábrázolt tárgyak mind egy féltérben legyenek!

29 A projektív transzformáció megadása  A tér egy projektív transzformációját meghatározza 5 független pont és képe. („Független”: semelyik 3 sem esik egy egyenesbe.)  M 44  ( O, X, Y, Z, E ) -> ( P, Q, R, S, T ) egy m ik „szabadon” választható, a többi meghatározható

30 A sínpár perspektívája X = [1,0,0,0]; X’ = X Y = [0,1,0,0]; Y’ = Y Z = [ 0,0,1,0]; Z’ = [0,0,1,1] C = [0,1,0,1]; C’ = [0,0,1,0] F = [1,1,1,1]; F’ = [1,1,0,1]

31 A sínpár perspektívája  M 44 · [ X Y Z C F ] = [X’ Y’ Z’ C’ F’ ] (m 11 m 12 m 13 m 14 ) · ( ) = ( p t ) | m 21 m 22 m 23 m 24 | | | | 0 q 0 0 t | | m 31 m 32 m 33 m 34 | | | | 0 0 r s 0 | (m 41 m 42 m 43 m 44 ) ( ) ( 0 0 r 0 t )  20 egyenlet, 20 ismeretlen: 5 : p, q, r, s, t 15 (!) : m ik ; (egy megválasztható)  A „nézetmező:”

32 Egy iránypontos perspektíva X’ = X, Y’ = Y Z’ = [½, h, 0, 1]; h: a horizont vonal

33 Két iránypontos perspektíva Y’ = Y X’ = [ 0.1, h, 0, 1], Z’ = [ 0.9, h, 0, 1 ]

34 Egy hosszú ház perspektívája

35 Egy egyszerű projektív transzformáció Prototípusunk: P z = ( ) ( r miatt nem affin!) | | | | ( 0 0 r 1 ) X’ = P z  X = ( )  (x) ; h=0 v. 1 | | |y| | | |z| (0 0 r 1) (h) = [x', y', z', h'] = = [x, y, z, r  z+h] = [x/h',y/h',z/h',1], ha h'=r  z+h  0 = [x, y, z, 0 ], ideális pont, ha h'=r  z+h=0;

36 A tér átrendeződése

37 Z Y 1/r

38 Egy síkbeli projektív transzformáció A’= M ·A = (1 0 0) · (-1) = (-1)  ( 1) |0 0 1| |-1| ( 1) |-1| (0 1 0) ( 1) (-1) ( 1)

39 Sakk-kocka egy projektív transzformációja (távlatban az osztások valójában sűrűsödnek)

40 Összefoglalás X’= M ·X kollineációk Affin transzformációk: M utolsó sora: [0,0,0,1] különben: Projektív transzformációk Affin transzformációk: E n -> E n és I n -> I n Eltolás, forgatás, léptékezés, nyírás van bennük Projektív transzformációk: az eltűnő sík közönséges pontjainak képe ideálispont Középpontos vetítés számolása: 3D => 3D projektív transzformáció, a nézetmező levetítése az alapsíkra, előtte: láthatóság-takarás

41 Jegyzet A 4. Fejezethez: G4E*.rtf, Gi4E*.ppt (ez az előadás) Gi4E*-Pz-matrix.ppt (a P z mátrix vizsgálata)

42 Vége


Letölteni ppt "Bevezetés a számítógépi grafikába 1.Bevezetés: A Számítógépi grafika tárgya 2.Képek raszteres kódolása 3.Képek geometrikus kódolása, a geometrikus grafika."

Hasonló előadás


Google Hirdetések