. Magszerkezeti modellek

Az előadások a következő témára: ". Magszerkezeti modellek"— Előadás másolata:

1 . Magszerkezeti modellek

2 A nukleáris kölcsönhatás
Nukleáris kölcsönhatás: Van der Waals típusú, effektív kh. A kvarkok közötti erős kölcsönhatás „maradéka”. Jó közelítéssel -mezonok cseréje. Rövid hatótávolságú vonzás Taszító törzs Spin függő Töltés szimmetrikus Majdnem töltés-független Nem-centrális tag Spin-pálya tag Taszító törzs Rövid hatótótávol-ságú vonzás

3 Kötött kvantummechanikai rendszer
Állapot jellemzése hullámfüggvénnyel: Y(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn) Kötött rendszer hullámfüggvénye és energiája eleget tesz a időtől független Schrődinger-egyenletnek. A lehetséges kötött állapotok diszkrét sorozatot alkotnak meghatározott energiával, impulzusmomentummal és paritással.

4 Az atommag hullámfüggvénye
A Schrödinger egyenlet nem oldható meg az atommagra, mert: túl sok a részecske bonyolult, és nem pontosan ismert a kölcsönhatás Az egzakt megoldás helyett egyszerűbb modelleket vizsgálunk

5 Folyadékcsepp modell Rövid hatótávolságú vonzás Taszító törzs R=r0A1/3
Töltés szimmetrikus Majdnem töltésfüggetlen R=r0A1/3 összenyomhatatlan folyadék  1014 g/cm3 A kötési energia A -val arányos, nem A(A-1) -el Csökkenti egy felülettel (A2/3-al) arányos tag A Z elektromos töltés miatt csökkenti egy Z2/R –el, vagyis Z2/A1/3 –al arányos tag

6 Kötési energia (emlékeztető)

7 Pauli elv és spin

8 Kis felületi rezgések: vibrációs állapotok

9 Realisztikus vibrációs állapotok

10 Izovektor dipólus óriásrezonancia Goldhaber – Teller modell
Óriásrezonanciák Óriásrezonanciák: az atommag kollektív rezgései, amelyekben a nukleonok több mint 50 %-a részt vesz. Hatáskeresztmetszet (mb) Izovektor dipólus óriásrezonancia Goldhaber – Teller modell Energia (MeV)

11 Az óriásrezonanciák osztályozása
Izoskalár Izovektor Monopólus Dipólus Kvadrupólus

12 A folyadékcsepp modell hiányosságai 1.
A kötési energia függvény finomszerkezete az atomhoz hasonlóan héjszerkezetre utal. Különösen stabilak a 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 protont vagy neutront tartalmazó atommagok: mágikus számok. A legtöbb atommag gerjesztési energiaspektruma nem vibrációs

13 A folyadékcsepp modell hiányosságai 2.
gömbszerű deformált −𝐸 𝛿,𝐴,𝑍 ==− 𝑎 𝑉 𝐴+ 𝑎 𝑆 𝐴 𝛿 2 + 𝑎 𝐶 𝑍 2 𝐴 − − 1 5 𝛿 2 _ Léteznek deformált magok A töltött folyadékcsepp energiaminimuma a gömb alaknál van.

14 A Fermi-gáz modell Cseppmodell: csak potenciális energia. Véges térbe zárt rész  mozgási energia is kell! Felt: ½ħ spínű részecskék, szabad mozgás, a többi nukleon hatása csak a mag határát adja. Számításból  a mag teljes kinetikus energiája:  A kísérleti a, b, g értékeknek nemcsak potenciális, hanem kinetikus járuléka is van!

15 → A magpotenciál völgy mélysége: V  32 + 8 = 40 MeV
A Fermi-gáz modell (folyt.) A legnagyobb nukleon-energia: Emax = 32 MeV Leválasztási energia Kinetikus energia → A magpotenciál völgy mélysége: V  = 40 MeV Igazolás: nukleon-szórás kiértékelése az Optikai Modellel.

16 Gerjesztett állapotban a Fermi-gáz modell még fontosabb!
→ Kifejezések az átlagos nívósűrűségre

17 Héjszerkezet a hidrogén atomban: Bohr modell
Ionizációs szint Első gerjesztett állapot Hidrogén Alap állapot 𝐸 𝑛 = − 𝑚 𝑒 𝑞 𝑒 4 8 ℎ 2 𝜀 𝑛 2 Végtelen sok kötött állapot egyre csökkenő energia-közökkel

18 Héjszerkezet a hidrogén atomban (Sommerfeld modell)
l az impulzusmomentum értékei: 0, …,(n-1); m az impulzusmomentum vetülete a z tengelyre, értékei: -l,…,0,…,l A Schrödinger egyenlet egzakt megoldása is ugyanezt adja! Az energia ugyanaz mint a Bohr-modellben. Csak az n-től függ.

19 Több-elektronos atom Az egyes elektronokra hat
az atommag Coulomb-tere, + a többi elektron Coulomb-tere Feltesszük: A többi elektron hatása egy átlagos térrel közelíthető Kisebb mint a mag tere Nem rontja el nagyon a héjszerkezetet Az állapotok betöltődésénél a Pauli-elv érvényesül.

20 Az atommagok gömbi héjmodellje
Nincs centrális Coulomb-tér mint az atomban. A nukleon erősen kölcsönhat a környezetében levő nukleonokkal. A többi nukleon hatását mégis egy gömb-szimmetrikus átlagtérrel közelíthetjük, amelyben a nukleon független mozgást végez. Oka: a Pauli-elv miatt megnő a szabad úthossz Az átlagtérre kell meghatározni a lehetséges állapotokat, amelyek a Pauli-elv érvényesülésével töltődnek be ugyanúgy, mint az atomi elektronok esetén.

21 Az átlagtér megválasztása
Kísérleti maganyag sűrűség: Realisztikus átlagpotenciál arányos a nukleon sűrűséggel: Woods-Saxon A Woods-Saxon potenciállal nem oldható meg analitikusan a Schrödinger-egyenlet. A harmonikus oszcillátor és a derék-szögű potenciál jó közelítésnek látszik.

22 Oszcillátor potenciál állapotok „Bohr-típusú” megoldása
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 E Bohr–féle kvantálást alkalmazva Véges számú állapot egyenlő energiaközökkel

23 Oszcillátor potenciál egzakt megoldása
A Schrödinger-egyenlet radiális része: Az első három kísérleti héjlezáródást jól adja, de a többit nem, ld. a következő lapon:

24 Oszcillátor potenciál egzakt megoldása
𝐸=ℏ𝜔 𝑁 − 𝑈 0 2 𝑛−1 +𝑙=𝑁, 𝑁≥0, 𝑛≥1, 0≤𝑙≤𝑁

25 Woods-Saxon potenciál
-U n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 E W-S 40 20 Ugyanazokat a héjlezáródásokat adja, mint az oszcillátor potenciál Nem egyezik a kísérlettel! 8 2

26 Spin-pálya kölcsönhatás
𝑒 𝑐 2 𝑚 2 𝑟 𝑑𝑈 𝑑𝑟 𝐿𝑆 Elektron esetén a Dirac- egyenlet következménye 𝑉 𝑊𝑆 𝑟 = 𝑈 0 𝑡 + 𝑈 𝑙𝑠 𝑟 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 1 𝑡 𝑙 ∙ 𝑠 𝑡=1+ 𝑒 𝑟− 𝑅 0 𝑎 Az atommag esetén a spin-pálya kölcsönhatás nem vezethető le az elméletből. Az erősségét a kísérleti eredményekhez illesztjük. A nagy l-ű állapotoknál erős a hatása!

27 Energiaspektrum spin-pálya kölcsönhatással
W-S + LS 𝑙∙𝑠= ℏ 𝑗 𝑗+1 −𝑙 𝑙+1 − 3 4 −𝛼𝑙 𝒉𝒂 𝑗=𝑙+ 1 2 𝛼 𝑙+1 𝒉𝒂 𝑗=𝑙− 1 2 Reprodukálja a kísérleti héjlezáródásokat. 50 28 A stabilitási sávtól távol mások lehetnek a mágikus számok. Pl. nagyon neutrondús magokban 8 és 20 helyett 6 és 16 20 8 2

28 Zárt héj + egy nukleon (energia)
Z=8, N=9 Z=20, N=21 1 𝑓 5/2 1 𝑔 9/2 2 𝑝 1/2 2 𝑝 3/2 1 𝑓 7/2 1 𝑑 3/2 2 𝑠 1/2 1 𝑑 5/2 1 𝑝 1/2 1 𝑝 3/2 1 𝑠 1/2 2 8 20 28 50 Z=28, N=29

29 Zárt héj + egy nukleon (mágneses dipól momentum)
j = l+1/2 Schmidt görbék: m(j) m j = l-1/2 j = l-1/2 j = l+1/2 j j

30 Zárt héj + több nukleon A Pauli elv figyelembevételével a legkisebb energiájú állapotok töltődnek be. Figyelembe kell venni a maradék-kölcsönhatást! J1 J2 J Két nukleon különböző héjmodell pályán: pl. proton-neutron J lehetséges értékei: J = J2-J1, … ,J2+J1 A különböző J értékekhez tartozó energiák a kölcsönhatás miatt különbözőek lesznek Multiplett állapotok

31 Párkölcsönhatás: két egyforma nukleon ugyanazon a héjmodell pályán
J lehetséges értékei: J = 0, 2, 4, …,(2J-1) 0+ 2+ 4+ Páros-páros magok alapállapota mindig 0+ Ha sok valencianukleon-pár van a zárt héjon kívül, akkor deformálja az átlagpotenciált. Eltér a gömb alaktól.

32 Mag deformáció jellemzése
Általános alak További egyszerűsítések: 𝑎 21 = 𝑎 2−1 =0 𝑎 22 = 𝑎 2−2 𝑎 20 =𝛽 sin 𝛾 𝑎 20 = 𝛽 sin 𝛾 Legyen csak kvadrupólus deformáció! 𝑅= 𝑅 𝜇=−2 2 𝑎 2𝜇 𝑌 2𝜇 (𝜃,𝜑) 𝛿 𝑅 𝐾 = 𝑅 𝐾 − 𝑅 0 = 5 4𝜋 𝑅 0 𝛽 cos 𝛾−𝐾 2𝜋 3

33 A héjmodell általánosítása deformált átlagtérrel
𝑽 𝒓 = 𝟏 𝟐 𝒎 𝝎 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝝎 𝟐 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝝎 𝟑 𝟐 𝒛 𝟐 −𝑪∙𝒍∙𝒔−𝑫 𝒍 𝟐 Nilsson modell: deformált oszcillátor potenciál Tengely-szimmetria esetén Az állapotok energiái az impulzusmomentum z komponensének abszolút értéke K szerint szétválnak.

34 Tengelyek aránya c/a Nagy deformációk Héjlezáródások, új mágikus számok a 2:1 és 3:1 tengelyarányoknál Energia ћω egységben 2:1 – tengelyarány Szuperdeformáció γ-spektroszkópia 3:1 – tengelyarány hiperdeformáció Hasadási rezonanciák Deformáció (ε)

35 Elmélet által számított deformációk 1.
Alap állapoti kvadrupólus deformációk Protonok száma, Z Neutronok száma, N

36 Elmélet által számított deformációk 2.
Alap állapoti magalakok Hasadási izomer állapot Maghasadás előtti (nyereg ponti) magalak

37 Deformált atommagok forgása
Gömb-alakú atommag a kvantummechanika szerint nem foroghat, de a deformált már igen: a szimmetria tengelyére merőleges tengely körül. 𝐸 𝑟𝑜𝑡 = ℏ 2Θ 𝐼 𝐼+1 +𝐽 𝐽+1 −2 𝐾 2 𝐼=𝐾, 𝐾+1, 𝐾+2,… Páros-páros magok esetén: J=0 és K=0 Forgási sáv J a valencia nukleonok impulzusmomentuma, K ennek z irányú vetülete

38 Deformált atommagok forgása 2. (g-spektroszkópia)
108Pd(48Ca,4n)152Dy Egyenlőközű, kerítés spektrum Θ meghatározása.

39 Forgó atommag energiaállapotai (egyesített magmodell)
A Nilsson modellel kiszámítjuk a valencia nukleon energiáját és K-értékét. Hozzáadjuk a forgási energia-spektrumot. A deformált páratlan atommagok forgási állapotai így azonosíthatók.

40 A forgás és a rezgés kölcsönhatása
A deformált mag egyszerre végezhet rezgő és forgó mozgást. A vibrációhoz tartozó forgási sáv lehetséges spin és paritás értékei a rezgés formájától függnek. a b c d