Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Információ elmélet Készítette: Venekei Attila

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Információ elmélet Készítette: Venekei Attila"— Előadás másolata:

1 1 Információ elmélet Készítette: Venekei Attila

2 2 Szakirodalom m/html m/html Dr Tóth Mihály SZGTI (ROIK) jegyzetének és előadásának részletei Dr Tóth Mihály SZGTI (ROIK) jegyzetének és előadásának részletei (Internetről letölthető) Fülöp Géza: Az információ (egyetemi tankönyv) ELTE 1996 Fülöp Géza: Az információ (egyetemi tankönyv) ELTE 1996 Dr. Schnell László: Jelek és rendszerek méréstechnikája MK 1983 Dr. Schnell László: Jelek és rendszerek méréstechnikája MK 1983 Denkinger Géza: Valószínűségszámítás TK 1982 Denkinger Géza: Valószínűségszámítás TK 1982 Norbert Hesselmann: Digitális jelfeldolgozás MK 1985 Norbert Hesselmann: Digitális jelfeldolgozás MK 1985 Dr. Fodor György: Jelek, rendszerek és hálózatok I. – II. kötet (egyetemi tankönyv) Műegyetemi Kiadó 1998 Dr. Fodor György: Jelek, rendszerek és hálózatok I. – II. kötet (egyetemi tankönyv) Műegyetemi Kiadó 1998 Dr. Fodor György: Jelek, rendszerek I. – II. kötet (egyetemi tankönyv) Műegyetemi Kiadó 1995 Dr. Fodor György: Jelek, rendszerek I. – II. kötet (egyetemi tankönyv) Műegyetemi Kiadó 1995 …

3 3 Matematikai ismeretek Komplex számok, függvénysorok, komplex függvénysorok, Fourier- és Laplace transzformáció, valószínűség számítás alapjai, ….

4 4 Előadás szerkezete AZ INFORMÁCIÓ FELFEDEZÉSE, SZEREPE JELEK, JELRENDSZEREK JELEK, JELRENDSZEREK

5 5 A társadalmi haladás és az információátvitel ­ kommunikáció ­ fejlődése a történelem folyamán mindig szorosan összefüggött egymással jelentős évszám a tudomány történetében. Egy könyv és egy tanulmány jelent meg abban az esztendőben, két új tudomány születési bizonyítványa. A könyv: Norbert Wiener : Cybernetics or Control and Communication in the Animal and the Machine című könyve (Wiener, 1948), a tanulmány pedig Claude Shannon műve: A Mathematical Theory of Communication (Shannon, 1948). Megszületett a kibernetika és a matematikai információelmélet, a majdani információtudomány első fejezete. Az emberiség "felfedezte" az információt. (Ide kívánkozik egy megjegyzés: Shannon nem az információ, hanem a kommunikáció szót használta). AZ INFORMÁCIÓ FELFEDEZÉSE, SZEREPE

6 6 Hatalom, információ… „ Természetesen a tudás, az információ birtoklása mindig előnyt, sőt hatalmat biztosított azoknak, akik hozzáférhettek” Példák: -Az egyiptomi papok például, annak köszönhették hatalmi pozíciójukat, hogy csak ők rendelkeztek pontos információkkal a Nílus áradásairól. -a londoni Rotschild bankár "különtudósítója" révén elsőnek értesült a waterlooi csata kimeneteléről, s ezt az információt a tőzsdén hatalmas vagyonná alakította át. -…

7 7 XX. század A társadalom a XX. században jutott el a fejlettségének és a bonyolultságának arra a fokára, amelyen az információs kapcsolatok a társadalom "tudatalattijából" a felszínre törtek. Megnőtt és megváltozott az információ szerepe, robbanásszerűen megnőtt az információ termelése és felhasználása, s nyilván ennek következményeként fejlődésnek indult az információtovábbítás, a hírközlés technikája. A föld felszínén, a tengerek mélyén kígyózó, világrészeket összekötő telefon­ és távíróvezetékek, a szikratávíró, majd a rádió ésszerű, gazdaságos kihasználásának igénye napirendre tűzte a hírátvitellel kapcsolatos jelenségek alaposabb tanulmányozását, a műszaki alkalmazások elméleti megalapozását. S azt se felejtsük el, hogy a negyvenes évek elején a világ több pontján kezdetét vette a számítógépek intenzív fejlesztése.

8 8 A legfontosabb kérdés nagyon leegyszerűsítve így hangzott: Hogyan lehet egy üzenetet egy csatornán a leggazdaságosabban és a legmegbízhatóbban továbbítani? Válaszként ­részeredményeket hozó kutatások után ­ megszületett a shannoni információelmélet. S mint nagyon sokszor a tudomány történetében, most is kiderült, hogy az elmélet sokkal átfogóbb, mint ahogy első látásra tűnne, és egymástól távol eső jelenségekre is alkalmazható. XX. század

9 9 Hogy mennyire megérett az emberiség erre a felfedezésre azt bizonyítja, az a mondhatnánk mohóság, amellyel a legkülönbözőbb tudományágak kutatói rávetették magukat az információelméletre. A távközlési szakemberek mellett matematikusok, statisztikusok, nyelvészek, biológusok pszichológusok számoltak be közleményeikben az elmélet továbbfejlesztéséről, újabb és újabb alkalmazásáról ­ben Londonban megrendezték az első szimpóziumot, s alig fél évtized leforgása alatt a közlemények száma elérte az ezres nagyságrendet. A lelkesedésnek ez a fellángolása, amely sokszor a shannoni elmélet félreértéséből fakadt, s kellően meg nem alapozott tételek, elméletek felállításához is vezetett, késztette Shannont arra, hogy The Bandwagon című cikkében (Shannon, 1956) figyelmeztessen: elméletét kezeljék nagyobb körültekintéssel. XX. század

10 10 A nagy lelkesedést, mint ahogy lenni szokott, a kiábrándulás korszaka követte. Amikor kiderült, hogy a matematikai információelmélet (vagy az információ matematikai elmélete) nem az a kaptafa, amelyre rá lehet húzni minden információs­kommunikációs jelenséget, sokan átestek a ló túlsó oldalára, arra a szintén helytelen következtetésre jutottak, hogy Shannon elmélete kizárólag csak a híradástechnikában érvényes, következésképpen méltatlanul viseli az információelmélet címkét. Ma már világos, hogy Shannon munkássága korszakalkotó volt, s hogy elmélete, amelyhez hasonló jelentőségű Abraham Moles szerint minden évszázadban csak néhány születik, egyike lévén azoknak a nagy elméleteknek, amelyek a világ látszólagos sokféleségét néhány alapentitásra akarják redukálni (Moles, 1975), általános érvényű, de csak rész, része a még ki nem dolgozott teljes, átfogó információelméletnek, amely nem mellette, hanem rá alapozva fog kifejlődni. XX. század

11 11 kódoláselmélet, játékelmélet, automaták elmélete, rendszerelmélet Az évek során a matematikai információelmélet döntő befolyást gyakorolt új diszciplínák kialakulására (kódoláselmélet, játékelmélet, automaták elmélete, rendszerelmélet stb.), s ugyanakkor egyre több szaktudomány képviselői tették magukévá az információs szemléletet. Különösen termékenyítően hatott az információelmélet s ez természetes azokra a területekre, amelyek közvetlenül az információ különböző formáival foglalkoznak: a kommunikációelméletre, nyelvészetre, szemiotikára, informatikára. XX. század

12 12 Információ vizsgálata Az információt sok szempontból lehet vizsgálni, sokféleképpen lehet megközelíteni. - a szemiotika[1] mintájára abból a felfogásból, hogy minden információt három aspektusból értékelhetünk, s ezek egyben az általánosítás különböző fokozatait is jelentik:[1] [1][1] A szemiotika a jelek és a jelrendszerek tudománya. Ebbe beletartozik a megértés, a jövőre vonatkozó állítások (predikció) és a jelentés: annak a folyamata, hogy miként jutunk el a jelentéshez, hogyan fogalmazzuk meg a jövőre vonatkozó gondolatainkat, és fogjuk fel, értjük meg a világot. A jelek általános elméleteit is szemiotikának nevezzük. A szemiotikusok felfogása szerint a jelek egy nagyobb rendszerben kapnak jelentést. Egy nyelv szavainak és kifejezéseinek például egy adott nyelvben van jelentése, és csak azért van jelentésük, mert az adott nyelv szerkezetében bizonyos rendeltetésük, használati szabályuk van.

13 13 -szintaktikai szempontból vizsgálva teljesen eltekintünk az információ tartalmától, jelentésétől, s csak, mint továbbítandó illetve feldolgozandó jelsorozatot tanulmányozzuk, a matematika eszközeivel; ( Mi ebből a nézőpontból fogjuk majd vizsgálni, elemezni az információt) -- szemantikai aspektusból vizsgálva az információ tartalmát, valósághoz való viszonyát tesszük a kutatás tárgyává; Információ vizsgálata

14 14 - pragmatikai szempontból pedig azt vizsgálhatjuk, milyen hatással van az információ a befogadóra, hogyan változtatja meg magatartását, viselkedését. Weaver a kommunikáció (= információátvitel) három szintjét különbözteti meg: A technikai szint: hogyan lehet a jeleket a zaj ellenére hibátlanul továbbítani; B szemantikai szint: hogyan lehet biztosítani, hogy a bemenőjelek jelentése megegyezzen a kimenőjelek jelentésével; C pragmatikai szint: hogyan lehet biztosítani az üzenet hatékonyságát. A három szint között szoros összefüggés van. Nemcsak az A szint határozza meg a B-­t és C­-t ( a jelek megfelelő átvitele nélkül a tartalmat sem lehet átvinni, s hatékonyságról sem lehet szó), hanem a B és a C is visszahat az A- ­ra (a tartalom és cél befolyásolja az átvitel eszközeit és módját) (Weaver 1977). Információ vizsgálata

15 15 Egyelőre csak a szintaktikai megközelítés vezetett jól kikristályosodott, egyetemesen elfogadott elméleti konstrukcióhoz, a shannoni alapon kifejlesztett elmélet formájában. Információ vizsgálata

16 16 INFORMÁCIÓ ÉS KOMMUNIKÁCIÓ JELEK, JELRENDSZEREK JELEK, JELRENDSZEREK A jelformák kialakulása A jelformák kialakulása Információ és jel, jel és információ elválaszthatatlan egymástól. Az információ jelekben ölt testet, s valamely tárgy, jelenség, történés, esemény csak akkor és annyiban válik jellé, tölt be jelfunkciót, amikor és amennyiben információt hordoz. Világunkat a jelformák gazdag változatossága jellemzi. („A világ jelentését számunkra a jelek, jelrendszerek hordozzák, közvetítik” [Kulcsár, 1986]). Ezek a formák fokozatosan, egymásra épülve alakultak ki, az élet formáinak gazdagodásával.

17 17 Azt, hogy az élő természet hogyan fedezte fel az információt, illetve a jeleket, amelyek az információt hordozzák, Kardos Lajos (pszichológus, egyetemi tanár) a következőképpen magyarázza : Az élő szervezetet háromféle hatás éri: biológiailag releváns hatások, amelyek a szervezet állapotában lényeges változásokat idéznek elő, s lehetnek kedvezők vagy kedvezőtlenek, szükségesek vagy letálisak; biológiailag irreleváns hatások, amelyek okozhatnak ugyan változásokat, de ezek az optimális határok között maradnak, adiafor (közömbös) hatások, amelyek nem érik el a változások kiváltásához szükséges szintet. Az információ biológiai megközelítése:

18 18 A fejlődés a továbbiakban az egyre bonyolultabb idegrendszer kialakulásához vezet. Az adiafor hatásokhoz, azaz a környezet eseményeihez, amelyek ezeket kiváltják, hozzárendelődik egy meghatározott reprezentatív idegrendszeri történés, majd a közvetlen reakció, cselekvés információfeldolgozássá, információtárolássá, az információn alapuló döntéssé alakul át. A természetes jeleknek ezt a formáját, amely a környezet tárgyaihoz, jelenségeihez kapcsolódik, indexnek nevezzük. Az információ biológiai megközelítése:

19 19 A fejlődés magasabb fokán az élőlények látóterébe – ahogy Balogh László (egyetemi doktor (pszichológia), KLTE, pszichológia tudomány kandidátusa /MTA/, 1980) megfogalmazza - egy másik élőlény kerül, amikor már nem csak élettelen tárgyakról érkeznek jelzések, hanem - ugyancsak a környezet részét alkotó - élőlényekről is, megjelenik az indexformának egy különös alakja, a szimptóma. A jel forrása most már nem valami holt tárgy, hanem tevékenység, egy élőlény tevékenysége. Az egymást érzékelő élőlények tevékenysége a szimptómán keresztül összekapcsolódik. Az ember fellépése a világtörténelem színpadán új jelformák megjelenését hozza magával. Az állatvilágban az index és a szimptóma, illetve ezek kombinációja elegendő az egyed és a faj fennmaradásának biztosításához. Az ember esetében az eszközhasználat általánossá válásával ezek a jelformák már nem bizonyulhatnak elégségesnek. Az információ biológiai megközelíté se:

20 20 Ezek a jelformák (index, szimptóma) nem teszik lehetővé az eszközhasználat általánossá válását, a munkára, a közös, szervezett tevékenységre alapuló emberi társadalom kialakulását. Az emberre - és csakis az emberre - jellemző jelformák, az úgynevezett valódi jelek kialakulása egymással összefonódva, egymással párhuzamosan ment végbe, bár bizonyos sorrendet fel lehet állítani. Ezekkel szoros kölcsönhatásban alakult ki azután az a jelforma, amely úgymond teljessé tette az emberré válást: az emberi beszéd. Az információ biológiai megközelítése:

21 21 A beszédet információelméleti szempontból úgy foghatjuk fel, mint kódot, amellyel a mondanivalónkat a választott csatornán - a levegőben - továbbítható formába ültetjük át. A beszéd azonban nem az egyetlen nyelvi kód. Az írás is nyelvi kód. Az embernek ősrégi törekvése, hogy az információkat az agyánál megbízhatóbb, tartósabb, időálló formába, szervezetén kívül, attól függetlenítve rögzítse. Az információ biológiai megközelítése:

22 22 A társadalom, a kultúra fejlődésével újabb és újabb jelrendszerek alakultak ki. Az információ szerepének növekedésével nyilvánvalóan nőtt a jelek fontossága is. A társadalom szemiotizálódott. [A szemiotika a jelek és a jelrendszerek tudománya. Ebbe beletartozik a megértés, a jövőre vonatkozó állítások (predikció) és a jelentés: annak a folyamata, hogy miként jutunk el a jelentéshez, hogyan fogalmazzuk meg a jövőre vonatkozó gondolatainkat, és fogjuk fel, értjük meg a világot. A jelek általános elméleteit is szemiotikának nevezzük. A szemiotikusok felfogása szerint a jelek egy nagyobb rendszerben kapnak jelentést. Egy nyelv szavainak és kifejezéseinek például egy adott nyelvben van jelentése, és csak azért van jelentésük, mert az adott nyelv szerkezetében bizonyos rendeltetésük, használati szabályuk van.] A biológiai szemlélet tárgyalását itt befejezzük és az informatikai valamint villamosmérnöki szemléletre váltunk át. Az információ biológiai megközelítése:

23 23 A jel és rendszer fogalma Jelen általában egy konkrét jelenség olyan jellemzőjét értjük, mely információt hordoz valamilyen objektumra vonatkozóan. Bármilyen természetű legyen is a jel, végső soron mindig objektumok valamilyen kölcsönhatása révén jön létre. A rendszer kölcsönhatások és kölcsönös összefüggések által összekapcsolt objektumok halmaza. A különféle objektumok közötti kölcsönhatások többféleképpen elemezhetők, alapvető szempont azonban, hogy ezek a kölcsönhatások egyrészt energiaátadással másrészt információátadással járnak.

24 24 Összegezve: a kölcsönhatások egyik oldala az, hogyenergiafolyamatok, egy másik oldala pedig az, hogy információátadással járó folyamatok. Ugyanazon jelenség két oldaláról van szó. Ez azt jelenti, hogy információátadásra csak energiaátadással egyidejűleg, azáltal kísérve kerülhet sor, továbbá, hogy megfelelő mennyiségű a priori ismeret birtokában az energia átadással járó folyamatokhoz információs folyamatot is rendelünk A jel és rendszer fogalma

25 25 Jel és rendszer modellek Az objektumok közötti kölcsönhatások alapvető sajátossága az is, hogy időben zajlanak le, és így a kölcsönhatások megfigyelő szempontjából kitüntetett összetevőinek, az eseményeknek egymásutániságáról, és ennek alapján a rendszer fejlődéséről beszélhetünk. A kölcsönhatások jellege és kimenetele objektív törvényszerűségek által irányított illetve meghatározott. A kölcsönhatásokkal kapcsolatos ismereteink meghatározott formában kerülnek felhasználásra. Kitüntetett szerepet játszik az információk azon csoportja, mely a rendszer állapotát rögzíti.

26 26 Jelmodellek: I.Determinisztikus jelek a. Folytonos jelek b. Diszkrét jelek II.Sztochasztikus jelek I. Determinisztikus jelek Determinisztikus jelmodellt használunk, ha a jelet létrehozó kölcsönhatások kimenetele a megfigyelő számára egyértelműen meghatározottnak tűnik. A determinisztikus jelek is több csoportra oszthatók. a. Folytonos jelmodell alkalmazása: azt akarjuk biztosítani, hogy a jelet létrehozó kölcsönhatás jellemzésére a vizsgált térrész tetszőleges pontjában egy adott időintervallumon belül tetszőleges időpontban lehetőség nyíljon. A folytonos jelmodell leírásához hatékony matematikai apparátus áll a rendelkezésünkre. Lásd később! Jel és rendszer modellek

27 27 b. Diszkrét jelmodellek használata esetén a jelet létrehozó kölcsönhatás információs oldala olyan, hogy a „jellemzésére” közvetlenül csak a vizsgált térrész kitüntetett pontjaiban, kitüntetett időpillanatokban kerül sor Rendszermodellek: A jelmodellben a jeleket az őket létrehozó kölcsönhatás kimenetele és jellemzési módja szerint csoportosítottuk. A rendszereket a kölcsönhatás jellege szerint is csoportosítjuk és ilyenkor a rendszer struktúrájának és paraméterinek alakulását elemezzük. Jel és rendszer modellek

28 28 1.Determinisztikus rendszerekDeterminisztikus rendszerek 2.Sztochasztikus rendszerekSztochasztikus rendszerek 3.Folytonos rendszerekFolytonos rendszerek 4.Diszkrét rendszerekDiszkrét rendszerek 5.Elosztott paraméterű rendszerekElosztott paraméterű rendszerek 6.Idővariáns rendszerekIdővariáns rendszerek 7.Időinvariáns rendszerekIdőinvariáns rendszerek 8.Nemlineáris rendszerekNemlineáris rendszerek 9.Lineáris rendszerekLineáris rendszerek Rendszermodellek csoportosítása és rövid jellemzésük

29 29 1.Determinisztikus rendszerekDeterminisztikus rendszerek Determinisztikus rendszermodell használatára kerül sor, ha a rendszer belső összefüggései (struktúrája és paraméterei) a megfigyelő számára egyértelműen meghatározottnak tűnnek. 2. Sztochasztikus rendszerek Sztochasztikus rendszermodellt alkalmazunk, ha a kölcsönhatások révén a megfigyelő a rendszer belső összefüggéseit (struktúráját és/vagy paramétereit) véletlennek látja. Sztochasztikus rendszermodell esetén a rendszer belső összefüggéseinek valószínűségi jellemzőiből indulunk ki.Sztochasztikus rendszerek 3. Folytonos rendszerekFolytonos rendszerek Folytonos rendszermodell esetén elvileg a vizsgált térrész minden pontjában és minden időpontban jellemezni tudjuk a rendszer belső összefüggéseit. Ezek az összefüggések természetesen matematikai absztrakciók eredményei. Rendszermodellek csoportosítása és rövid jellemzésük

30 30 4. Diszkrét rendszerekDiszkrét rendszerek Diszkrét rendszermodell esetén a rendszer jellemzésére közvetlenül csak a vizsgált térrész kitüntetett pontjaiban és kitüntetett időpontokban nyílik lehetőség. Ezektől eltérő időpontokban sok esetben a rendszer összefüggései nem értelmezhetők. (Átmeneti állapotban van a rendszer) 5. Elosztott paraméterű rendszerek Elosztott paraméterű rendszermodellt használunk, ha a rendszer belső összefüggései a vizsgált térrészben a megfigyelő számára a helykoordináták valamilyenfüggvényeként mutatkoznak, és nem lehetséges olyan modellt alkalmazni, mely csak makroszkopikus méretű, homogénnek zekinthető térrészelemekkölcsönhatásait veszi figyelembe.Elosztott paraméterű rendszerek 6. Idővariáns rendszerek Idővariáns rendszermodellt használunk, ha a rendszer összefüggései az idő függvényében változnak.Idővariáns rendszerek Rendszermodellek csoportosítása és rövid jellemzésük

31 31 7. Időinvariáns rendszerekIdőinvariáns rendszerek Időinvariáns rendszermodellt alkalmazhatunk, ha vizsgálatunk szempontjait nézve a rendszer összefüggései időtől függetlennek tekinthetők. Ez a modell a rendelkezésre álló matematikai eszközök miatt mindenképpen kedvező, így csak ha lehet, törekszünk ilyen modellek használatára. 8. Nemlineáris rendszerek Nemlineáris rendszermodell válik szükségessé, ha a rendszer belső összefüggései a kölcsönhatások intenzitásviszonyaitól függenek. Ez az összefüggés rendkívül sokféle lehet és bonyolult matematikai apparátust igényelnek.Nemlineáris rendszerek 9. Lineáris rendszerekLineáris rendszerek Lineáris rendszermodell alkalmazása esetén azt feltételezzük, hogy vizsgálatunk szempontjait tekintve megengedhető, hogy a rendszer belső összefüggéseit a kölcsönhatások intenzitásviszonyaitól függetlennek tekinthessük. Ekkor alkalmazható a szuperpozíció, ami a matematikai kezelhetőség szempontjából rendkívül kedvező. Rendszermodellek csoportosítása és rövid jellemzésük

32 32 Eddig röviden áttekintettük az előző részekben jelek kialakítását meghatározó kölcsönhatásokat és a rendszer fogalmát Rendszermodellek csoportosítása és rövid jellemzésük

33 33 Szinuszos jelek Nemstacionárius jelek Analóg jelek Determinisztikus jelek Sztochasztikus jelek Periodikus jelek Nemperiodikus jelek Stacionárius jelek Általános periodikus jelek Kvázi periodikus jelek Tranziens jelekErgodikus jelek Nemergodikus jelek Az analóg jelek alapvető leírási módjai Két fő csoportra oszthatjuk a jeleket: determinisztikus és sztochasztikus jelekre Az analóg jelek alapvető leírási módjai

34 34 Jelek alapvető leírási módjai Determinisztikus jelek: Determinisztikus jelek leírására természetes módon kínálkozik a jel – idő függvény melyet egyszerűen lehet grafikusan ábrázolni. A további elemzés, feldolgozás szempontjából azonban sokszor kedvezőtlen, mivel az időfüggvény önmagában végtelen sok adatot jelent.

35 35 Szinuszos jelek Szinuszos jelek Szinuszosnak nevezzük azokat a jeleket, melyek leírására alkalmas a következő jelmodell vagy egyenértékű megfelelője ahol M S a szinuszos jelek modellosztályát jelöli, x a modellosztály egy eleme, t független (idő) változó, f 0 valós konstans, a szinuszos jel frekvenciája, Szinuszos jelek

36 36 Θ valós konstans, a szinuszos jel kezdőfázisa, R a valós számok halmaza, A szinuszos jel időfüggvényét, komplex vektorral való leírását az alábbi ábra mutatja, amelyből jól látszik, hogy a szinuszos jelek leírására három paraméter (A, T p, Θ) elegendő A szinuszos jel időfüggvénye és reprezentációja ellenkező irányban forgó komplex vektorok összegeként Szinuszos jelek

37 37 Megjegyzés az előző ábra így állítható elő komplex vektorokkal: Euler –féle reláció: e jz = cos z + j sin z Szinuszos jelek

38 38 Szinuszos jelek időfüggvénye: (a napi gyakorlatban ezzel találkozunk) Az a fázisszög Megjegyzés: De a spektrumhoz és a spektrális sűrűséghez az előző alak ismerete szükséges Szinuszos jelek

39 39 Általános periodikus jelek A periodikus jelek közös tulajdonságát kifejező modell az alábbi: Ahol M p (T P ) a T P periódusidejű periodikus jelek osztályát jelöli. Ezzel csaknem egyenértékű, de a gyakorlat szempontjából sokkal kedvezőbb a következő megadás, amely a Fourier-sorba fejthető periodikus függvények osztályát (M PF (T P )) jelöli ki: Általános periodikus jelek

40 40 Általános periodikus jelek

41 41 A Fourier-együtthatók számítására alkalmas összefüggések A Fourier-soros leírásban szereplő paraméterek összességét a periodikus jel spektrumának nevezzük. Általános periodikus jelek

42 42 a.) kétoldalas teljesítményspektrum; b.) egyoldalas teljesítmény spektrum; c.) effektívérték-spektrum; d.) effektívérték-spektrum dB-ben ábrázolva Általános periodikus jelek

43 43 Kváziperiodikus jelek A kváziperiodikus jelek tulajdonságát kifejező modell az alábbi: Melynek f n =nf 0, n mellett fellépő speciális esete a Fourier – sorral történő reprezentáció. A kváziperiodikus jelek, ezt az elfajuló esetet kivéve nem rendelkeznek periódusidővel. Spektrumuk vonalas, de a spektrumvonalak nem egy alapfrekvencia egész számú többszöröseinél helyezkednek el. Nem periodikus jelek Nem periodikus jelek Nem periodikus jelek Nem periodikus jelek Kváziperiodikus jelek

44 44 Tranziens jelek Tranziens jeleknek azokat az egyszeri nem periodikus folyamatokat nevezzük, melyek véges energiájúak: A Fourier-transzformációval nyert függvények f szerint folytonosak, ezért ezeket folytonos spektrumoknak nevezzük. A tranziens jel által szállított energia frekvencia-tartománybeli eloszlását a Fourier-transzformációval egyszerűen számíthatjuk, ugyanis az egyenlőség alapján (Parseval-tétele) az energiaspektrumot adja Nem periodikus jelek Nem periodikus jelek Nem periodikus jelek Nem periodikus jelek Tranziens jelek

45 45 Laplace-transzformáció a másik integrál transzformáció amivel az egységimpulzus és az egységugrás jelek hatását vizsgálják.Laplace-transzformáció

46 46 Jelmodellek: Determinisztikus jelek a. Folytonos jelek b. Diszkrét jelek Sztochasztikus jelek Eddig a folytonos jelek leírásával foglalkoztunk. Időben diszkrét jelek leírása Az időben diszkrét jelmodellek időtartománybeli jellemzésére az {x n }, n=0, ±1, ±2,… valós (vagy komplex) számsorozatot használjuk. {x n } az ún. diszkrét jel, n pedig a diszkrét időváltozó. A gyakorlat szempontjából általában annak a speciális esetnek van jelentősége, amikor a diszkrét értékek közötti időkülönbség T s (az ún. mintavételezési idő) állandó. Jelmodellek: Jelmodellek: Időben diszkrét jelek leírása

47 47 Időben diszkrét jelmodellek időtartománybeli bemutatása: Ha a reprezentáció egy időben folytonos x(t) jel leírására vállalkozik, akkor formálisan azt írhatjuk, hogy x n = x(nT S )  n-re. A mintavételezésnek ez a matematikai interpretációja teljes mértékben kielégítő mind elméleti, mind gyakorlati szempontból, mégis nagyon sok helyen a mintavételezés fizikai kivitelezése kapcsán ettől eltérő megfogalmazással találkozunk. Ezek szerint a mintavételezés fizikai folyamatát egy impulzussorozattal történő modulációval modellezzük a következő módon: ahol x(t) a mintavételezésre kerülő folytonos jel, x*(t) a mintavételezést megvalósító egység kimenőjele, tehát a mintavételezett jel. Jelmodellek: Jelmodellek: Időben diszkrét jelmodellek időtartománybeli bemutatása:

48 48 Frekvenciatartománybeli reprezentáció Az időben diszkrét jelek frekvenciatartománybeli reprezentációját három megközelítésben mutatjuk be. Frekvenciatartománybeli reprezentáció a periodikus jelek tulajdonságai alapján: Az időben diszkrét jelek leírásánál fontos szerephez jutnak a frekvenciatartományban periodikus jelek. (A frekvenciatartományban a periodicitást az időtartománybeli T periódusidővel teljes analógiában egy B „periódus frekvenciával” jellemezzük.) Jelmodellek: Jelmodellek: Frekvenciatartománybeli reprezentáció

49 49 Ahol a 41.-ik dián szereplő táblázat segítségével Ezek szerint az X(f) jel leírható egy {D} diszkrét sorozat segítségével, melyet értelmezhetünk az időtengely mentén is, mégpedig úgy, hogy az egyes mintákat egymástól rendre T S = 1/B P távolságra elhelyezkedőknek tekintünk. A gondolatmenetet megfordítva egy {x} diszkrét sorozat frekvenciatartománybeli megfelelője egy olyan periodikus függvény lesz, melynek „periódus frekvenciája” B= 1/T s. Definiáljuk az Fourier-sorát a következőképpen: Jelmodellek: Jelmodellek: Frekvenciatartománybeli reprezentáció

50 50 Ha {x} frekvenciatartománybeli reprezentációja X(f), akkor csak az marad hátra, hogy x és D kapcsolatát megadjuk. A előző dián lévő összefüggéseket elemezve látható, hogy ezt a kapcsolatot egy konstans szorzó erejéig elvben tetszőlegesen rögzíthetjük. A következőkben elsősorban a fizikai mintavételezéshez kötődő szempontok miatt x n =D n B P = D n /T S megfeleltetést használjuk Mindezek alapján az időben diszkrét „tranziens” jel frekvencia- tartománybeli leírásával kapcsolatos összefüggések: Jelmodellek: Jelmodellek: Frekvenciatartománybeli reprezentáció

51 51 Az eddigiekben vázolt gondolatmenet alapján látható, hogy az idő-, ill. frekvenciatartománybeli reprezentációk nagyfokú szimmetriát mutatnak. A szimmetriára alapozva néhány további érdekes következtetésre juthatunk: 1. — a frekvenciatartományban diszkrét és periodikus jelnek az időtartománybeli megfelelője is diszkrét és periodikus; — felhasználva és elemezve következő egyenleteket: Látható az összefüggések szimmetriája: 2. - a frekvenciatartományban nem periodikus, „tranziens” jelek az időtartományban folytonosak; 3. — a frekvenciatartományban kváziperiodikus jelek az időtartományban nem egyenletes mintavételi idejű diszkrét jeleknek felelnek meg. Jelmodellek: Jelmodellek: Frekvenciatartománybeli reprezentáció

52 52 A legelső megállapítás alapvető a digitális jelfeldolgozás szempontjából, ezért ezzel az esettel a továbbiakban részletesebben is foglalkozunk. Induljunk ki abból, hogy az időben diszkrét jel periodikus is. Mint látni fogjuk, a jelek véges időtartamú volta (véges regisztrátumhossz) következtében ez az eset kitüntetett szerephez jut, mivel a véges időtartamú jelet felfoghatjuk egy periodikus jel egyetlen periódusaként. Jelmodellek: Jelmodellek: Frekvenciatartománybeli reprezentáció

53 53 A periodikus jelek felírhatók Fourier-sor alakban. Tételezzük, hogy egy diszkrét jel periódus N mintából áll, (T=NT S ). N legyen páros. (Páratlan N esetére az összefüggések hasonló módon származtathatók.) Mivel N adatból N/2 komplex Fourier-együttható számítható, csak olyan jelek egyértelmű reprezentálására nyílik lehetőség ezzel a modellel, melyek értéknél kisebb frekvenciájú komponensekből állnak. Csak ilyen esetekre szorítkozva a következő táblázatban szereplő összefüggések analógiájára a diszkrét Fourier-sor:következő táblázatban Jelmodellek: Jelmodellek: Frekvenciatartománybeli reprezentáció

54 ik dián lévő táblázat: Jelmodellek: Jelmodellek: Frekvenciatartománybeli reprezentáció

55 55 Diszkrét Fourier-sor: ahol legyen Jelmodellek: Jelmodellek: Frekvenciatartománybeli reprezentáció Diszkrét Fourier-sor:

56 56 Diszkrét Fourier-sor: A trigonometrikus polinompárt nevezzük diszkrét Fourier-transzformációnak DFT-nek Jelmodellek: Jelmodellek: Frekvenciatartománybeli reprezentáció Diszkrét Fourier-sor

57 57 Kapcsolat a diszkrét idejű és a folytonos idejű jelábrázolások között Az időben diszkrét jelek frekvenciatartománybeli reprezentációjának összefüggéseit elemezve felmerül a kérdés, hogy milyen feltételek mellett lehet egy időben folytonos jelet időben diszkrét jellel reprezentálni. Igaz a következő állítás: ha x(t) nem tartalmaz B P /2-nél nagyobb frekvenciájú komponenst, akkor egyértelműen leírható 1/B P intervallumonkénti mintái felhasználásával. felírható egy olyan B P frekvenciaperiódusú periodikus függvény Fourier-soraként, mely intervallumban pontosan a kívánt spektrumot írja le.

58 58 Ez a Fourier-sor ahol Azonban a Fourier-transzformáció értelmében D n a következőképpen írható: (4) (1) (2) (3) Kapcsolat a diszkrét idejű és a folytonos idejű jelábrázolások között

59 59 Ebből következik, hogy x(t) teljes pontossággal reprezentálható a belőle származtatott A folytonos és diszkrét jel kapcsolata (1), a (3) és a (4) összefüggések felhasználásával kapjuk a mintavételi tételeket: időben diszkrét jellel. Kapcsolat a diszkrét idejű és a folytonos idejű jelábrázolások között

60 60 Egy maximum ±B sávszélességű Fourier-spektrumú időfüggvény egyenletes időközű mintavételezésekor például teljesülnie kell a következő egyenlőtlenségnek: f S >2B mintavételezés frekvenciáját Kapcsolat a diszkrét idejű és a folytonos idejű jelábrázolások között

61 61 Fourier-típusú reprezentációk

62 62 Fourier-típusú reprezentációk

63 63 Fourier-típusú reprezentációk

64 64 Fourier-típusú reprezentációk

65 65 Sztochasztikus folyamatok A sztochasztikus jelmodellek (sztochasztikus folyamatok) a kölcsönhatások véletlen jellegét leíró valószínűségi eseménytér minden eleméhez egy-egy időfüggvényt rendelnek hozzá. Ez a modellosztály tehát tömören formában írható, ahol Ω az eseményteret jelöli. Másképpen fogalmazva a sztochasztikus folyamat felfogható időfüggvények egy olyan sokaságaként, melynek elemeit az eseménytér elemei generálják. Ezt illusztrálja a következő dián látható ábra: (1)

66 66 Sztochasztikus folyamatok A sztochasztikus folyamat mint mintafüggvény sokaság Ugyanakkor rögzítve egy időpontot egy valószínűségi változóval állunk szemben. A valószínűségi változót például sűrűségfüggvényével jellemezve a sztochasztikus folyamat úgyis tekinthető, mint időpontról időpontra változó sűrűségfüggvényű valószínűségi változó

67 67 Sztochasztikus folyamatok A sztochasztikus folyamat mint sűrűségfüggvény sokaság

68 68 Sztochasztikus folyamatok Az (1) felírásmódból kiindulva alapvetően négyféle interpretáció lehetséges: — ha t és ξ rögzített, akkor x(t, ξ ) egy szám; — ha t változik és ξ rögzített, akkor x(t, ξ ) egy időfüggvény; — ha t rögzített és ξ változik, akkor x(t, ξ) egy valószínűségi változó; — ha t és ξ is független változók, akkor x(t, ξ) egy sztochasztikus folyamat. A legáltalánosabb eset, a sztochasztikus folyamat teljes leírása meglehetősen öszszetett feladat. A teljes leírás sajátossága, hogy t 1, t 2,...‚ t n, tetszőleges véges halmazára képes megadni az fx t1, x t2, …x tn (x t1, x t2, …x tn ) együttes eloszlásfüggvényt, ahol x(t i, ξ)=x ti egyszerűsített jelölést alkalmaztunk. Az indexben elhelyezett x ti az aktuális valószínűségi változót jelöli, míg az argumentumban a sűrűségfüggvény ehhez a valószínűségi változóhoz rendelt független változóját. Az együttes eloszlás függvények ismeretében előállíthatjuk a folyamat tetszőleges számú (együttes) momentumát.

69 69 Sztochasztikus folyamatok Valamennyi momentum ismerete elegendő kiindulási alap a sztochasztikus folyamattal kapcsolatosan feltett kérdések jelentős részénél. Azonban nehézséget jelent ezeknek az együttes eloszlásfüggvényeknek az előállítása általános esetben. A probléma áthidalására kétféle utat választhatunk. Az egyik út olyan modellek használata, melyek a sztochasztikus folyamatok bizonyos osztályait jelölik ki azáltal, hogy valamilyen struktúrát is rögzítenek. A másik úton megelégszünk a folyamat részleges leírásával: véges számú momentum figyelembevételével. Tipikusan az első és a második momentum felhasználására kerül sor. Az alábbiakban először a sztochasztikus folyamatok valószínűségi jellemzőit, ill. a részleges leírás idő- és frekvenciatartománybeli módszereit tárgyaljuk.

70 70 Sztochasztikus folyamatok A sztochasztikus folyamatok statisztikai jellemzői A bevezetőben említettük, hogy a sztochasztikus folyamatok teljes leírása azt jelenti, hogy tetszőlegesen rögzítve a t 1, t 2,...‚ t n, paramétereket, az így létrehozott x(I)== [x 1,. x 2,...‚ x tn ] T valószínűségi vektorváltozó valamennyi statisztikai jellemzőjét ismerjük, ill. a rendelkezésünkre álló adatokból megtudjuk határozni.

71 71 A valószínűség-elméletből ismert, hogy egy valószínűségi vektorváltozó teljes leírásához elegendő az (1) együttes eloszlásfüggvény, illetve az (2) fx t1, x t2,...xtn(x t1, x t2,...‚ x tn ) (2) fx t1, x t2,...xtn(x t1, x t2,...‚ x tn ) együttes sűrűségfüggvény, vagy a (3) (3) együttes karakterisztikus függvény ismerete. Ezek szerint a sztochasztikus folyamat statisztikai jellemzőit meg tudjuk adni, ha az összes lehetséges I halmazra nézve ismerjük (1), (2), (3) függvények valamelyikét. Sztochasztikus folyamatok

72 72 Sztochasztikus folyamatok Az előző (1), (2), (3)-ban lévő függvények paramétereinek kiszámításához az f xt (x t ), f xt1 xt2 (x t1, x t2 ) t, t 1, t 2  T sűrűségfüggvényeket használjuk a jellemző paraméterek kiszámításához. A folyamat várható érték-idő függvénye: A folyamat várható érték-idő függvénye: Ami azt fejezi ki, hogy a folyamat átlagos szintje hogyan alakul a t paraméter függvényében

73 73 Sztochasztikus folyamatok A folyamat négyzetes középérték— időfüggvénye: Ami a folyamat átlagos teljesítményével arányos. A folyamat varianciája: ami a folyamat átlagos „váltakozóáramú” teljesítményével arányos. Annak alkalmas mérőszáma, hogy a pillanatértékek eltérése az átlagtól milyen mértékű. A folyamat autokorreláció függvénye: Statisztikai jelentését tekintve az időben eltolt mintavételi értékek statisztikai függését kifejező mérőszám.

74 74 Sztochasztikus folyamatok A folyamat autokovariancia függvénye: mely a variancia fogalom általánosítása eltolt mintavételi értékek esetére. Két folyamat keresztkorreláció függvénye: mely két sztochasztikus folyamat különböző időpontokban felvett értékei közötti átlagos, kölcsönös teljesítménnyel arányos, ill. statisztikai értelmezés szerint egy olyan mérőszám, mely két sztochasztikus folyamat időben eltolt mintavételi értékek statisztikai függését fejezi ki.

75 75 Sztochasztikus folyamatok A sztochasztikus folyamatokat két csoportra osztjuk attól függően, hogy statisztikai jellemzőik hogyan függenek a t paramétertől. Az x(t,  ) sztochasztikus folyamatot nemstacionáriusnak nevezzük, ha a rögzített t paraméter esetén értelmezett x(  ) valószínűségi változó statisztikai jellemzői függenek a t paraméter rögzített értékétől, azaz ezek a statisztikai jellemzők függvényei az „abszolút” időnek. Ellenkező esetben a folyamatot stacionárius folyamatnak nevezzük. elegendő, Az x(t,  ) stacionárius folyamat ergodikus, ha tetszőleges g( ) függvényre azaz a sokaság szerinti átlag a teljes időtartományra vonatkozó átlaggal egyezik. Ennek a tulajdonságnak a felfedése konkrét fizikai jelenségeknél általában nehéz feladat.

76 76 Mintavételezés jellemzői, folyamata

77 77 Az A/D átalakítás módszerei Analóg-digitális átalakítók általános jellemzői Az analóg-digitális átalakítás során az amplitúdóban és időben folytonos jelből mind amplitúdóban, mind időben diszkrét jelet (diszkrét értékek sorozatát) állítanak elő. Az amplitúdótartománybeli diszkretizálást kvantálásnak, az időtartománybelit mintavételezésnek nevezzük.

78 78 Az A/D átalakítás módszerei

79 79 Az A/D átalakítás módszerei

80 80 Az A/D átalakítás idődiagramja

81 81 Az A/D átalakítás Lineáris átalakítási karakterisztika Kvantálási hiba

82 82 Az A/D átalakítás hibája A kvantálási hiba a kvantáláából szükségszerűen eredő bizonytalanság, mely a kvan tum-nagyság felével egyenlő. Lineáris A/D átalakító esetében a kvantálási hiba nem függ a bemenőjel amplitúdójától, mert a kvantumnagyság végig 1 LSB nagyságú. Az LSB itt a legkisebb helyi értékű bit változásához tartozó kvantálási szintkülönbséget jelöli. Egy n bites, binárisan kódolt átalakító esetében LSB= FS/2 n. A kvantálási hiba a kvantáláából szükségszerűen eredő bizonytalanság, mely a kvan tum-nagyság felével egyenlő. Lineáris A/D átalakító esetében a kvantálási hiba nem függ a bemenőjel amplitúdójától, mert a kvantumnagyság végig 1 LSB nagyságú. Az LSB itt a legkisebb helyi értékű bit változásához tartozó kvantálási szintkülönbséget jelöli. Egy n bites, binárisan kódolt átalakító esetében LSB= FS/2 n. Felhontóképesség az a legkisebb analóg jelváltozás, amely egy A/D konverterrel megkülönböztethető. Felhontóképesség az a legkisebb analóg jelváltozás, amely egy A/D konverterrel megkülönböztethető. Elvileg a felbontóképesség megegyezik a kvantunmagysággal.

83 83 Az időfüggvény mintavételezett értékeinek bináris adatszavakká való kódolása

84 84 A D/A átalakítás Egy D/A átalakító átalakítási karakterisztikája az ábrán látható. Mivel a bemenőjel diszkrét, az átalakítási karakterisztika is csak diszkrét pontokban van értelmezve. Lineáris D/A átalakító esetében az ideális átalakítási karakterisztikára simuló görbe egy egyenes.

85 85 A D/A átalakítás hibái, beállási idő A felbontóképesség, linearitási hiba, differenciális linearitási hiba, erősítési hiba, nullahiba értelemszerűen ugyanúgy definiálható, mint az A/D átalakítók esetében. Megjegyezendő, hogy ha a differenciális linearitási hiba kisebb, mint ±1 LSB, akkor az átalakítási karakterisztika monoton. A nem monoton karakterisztika különösen a grafikus megjelenítő eszközökben és a szabályozástechnikai alkalmazásokban kellemetlen. A D/A átalakítók működési sebességét a beállási idő (setting time, t,) jellemzi. Ez az az idő, amely alatt egy D/A átalakító kimenőjele az állandósult értéket egy adott hibasávon belül megközelíti A hibasáv célszerűen a felbontóképességgel megegyező, vagy annál kisebb.

86 86 A D/A átalakítás elvei Közvetlen D/A átalakítók Közvetlen D/A átalakítók Szintkiválasztós D/A Közvetett D/A átalakító

87 87 Jelek bináris adatszavakká való kódolása Jelek bináris adatszavakká való kódolása Forráskódolás Forráskódolás Forráskódolás célja, hogy egy hírt lehetőleg kevés számú bittel ábrázoljuk, azaz a leggyakrabban véges információ tartalmú hírt a lehető legkisebb információmennyiséggel írjuk le. A)Csatornakódolás A jó hatásfokkal kódolt hírek általában nagyon zavar érzékenyek. Az optimalizált forráskódok tudatosan beépített redundanciával, a zavarokkal szemben érzéketlenné tehetők. Hibaérzékelő, hibajavító kódok. Feldolgozási-kódolás Feldolgozási-kódolás A számítógépes jelérzékelő és feldolgozási módszerekkel foglalkozók számára fontos a feldolgozási kódolás, amely a jeleket olyan szempontok alapján kódolja, hogy azokat a digitális számítógépes rendszereken lehetőleg egyszerűen lehessen feldolgozni, megjeleníteni és tárolni. Jelforrás Jelátvitel Jelfeldolgozá s A.) forráskódolás B.) csatornakódolás C.) Feldolgozási kódolás

88 88 Köszönöm a türelmet. Viszontlátásra.


Letölteni ppt "1 Információ elmélet Készítette: Venekei Attila"

Hasonló előadás


Google Hirdetések