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導線測量的誤差傳播 導線測量中各種誤差估值的推導 導線測量閉合差之計算與分析. 前言 在測量計畫中可能會有不同等級的精度規範,但卻不 允許有錯誤觀測量存在。 若有錯誤觀測量,要如何處理? 本章將考慮這個問題,特別著重在導線測量的分析。 此概念在第 19 章會有較詳細的討論 第 5 章已討論函數中各觀測量的誤差傳播,即函數的誤.

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1 導線測量的誤差傳播 導線測量中各種誤差估值的推導 導線測量閉合差之計算與分析

2 前言 在測量計畫中可能會有不同等級的精度規範,但卻不 允許有錯誤觀測量存在。 若有錯誤觀測量,要如何處理? 本章將考慮這個問題,特別著重在導線測量的分析。 此概念在第 19 章會有較詳細的討論 第 5 章已討論函數中各觀測量的誤差傳播,即函數的誤 差估值與各觀測量有關 一般平面控制測量 ( 如導線測量 ) 的觀測量,是獨立不相 關的 如距離觀測與方位角觀測是獨立不相關的 但根據距離與方位角所計算而得的縱、橫距坐標,卻是相關 而非獨立的

3 前言 圖 7.1 顯示距離與方位角誤差對縱橫距坐標計算之影響 若據以計算縱橫距坐標的觀測量獨立不相關,則可利 用式 (5.15) 來計算它們的誤差估值;若觀測量為相關, 則必須利用式 (5.12) 其差別在觀測量的協 變方矩陣的元素,若 觀測量獨立不相關, 則協變方為對角矩陣, 否則為全矩陣。

4 縱橫距誤差估值的推導 縱橫距的計算公式如下 Lat = D cos(Az) Dep= D sin(Az) 由誤差傳播定律知,應先對此公式取偏微分,再利用 式 (5.15) 計算即可求得縱橫距誤差估值

5 縱橫距誤差估值的推導 例 7.1 假設導線邊長  0.006m ,方位角為 23°35´26   9  ,縱橫距與其誤差估值各若干? 由式 (5.15) 得

6 縱橫距誤差估值的推導 (7.4) 式中,  2 11 為縱距之變方,  2 22 為橫距之變方,  12 與  21 為縱距與橫距之協變方,故縱距之標準偏差:  Lat = (  2 11 ) ½ =±0.006m ,橫距之標準偏差:  Dep = (  2 22 ) ½ =±0.006m 由 (7.4) 式可見:協變方矩陣之非對角線上元素非為 0 , 故縱橫距之計算值為互相相關,如圖 7.1 所示

7 邉方位角標準誤差估值的推導 (7.1) 式係由邊方位角來計算縱橫距,實際上, 邊方位角常由觀測角度計算而得,而非由直接 觀測。由角度值計算而得的方位角存在另一層 次的誤差傳播 若導線觀測其內角,且以逆時針方向推算各邉方位 角,則其計算公式為 Az c =Az p +180 º +  i 由誤差傳播定律得 目前推算邊 的方位角 前一邊的方 位角 觀測內角 觀測內角的誤差

8 閉合導線閉合差之計算與分析 閉合導線的存在下列幾何約制條件  內角 =(n-2)×180 º  Lats = 縱距和 = 0  Deps= 橫距和 = 0 不滿足這些條件就稱為閉合差 (misclosures) 閉合差的統計分析可決定閉合差是否合理,或 是否有錯誤存在 錯誤的觀測量必須去除,重新觀測 利用下列例子說明閉合差的計算

9 閉合導線閉合差之計算與分析 例 7.2 計算圖 7.2 所示導線之角度與線性閉合差 ( 位置閉合差 ) ,導線觀測資料如表 7.1 所列,距 離單位為 ft ,在 95 %之信心水準下,閉合差估 值為若干?是否有任何可能之大錯存在? 測站覘標距離 (ft) S(ft) 後視測站前視角度 S ABCDEABCDE BCDEABCDEA EABCDEABCD ABCDEABCDE BCDEABCDEA 110  2440  87  3614  125  4727  99  5702  116  1456  3.5  3.1  3.6  3.1  3.9  表 7.1 圖 7.2 中距離與角度觀測值

10 閉合導線閉合差之計算與分析 解: 角度檢核:利用誤差傳播定率計算導線閉合差是否 在容許誤差規範內 角度和誤差須位於下列公式所計算值之 68.3 %內 因角度重複觀測 4 次,每個觀測平均值的自由度為 3 ;其 95% 信心水準相 應的 t 0.025,3 值為 3.183( 查 D.3 表 ) ,故其相應的估值為 根據表 7.1 知,實際的角度閉合差為 19   ±24.6  ,故在 95 %之信 心水準下,沒理由相信存有角度大誤差

11 閉合導線閉合差之計算與分析 方位角計算:本題並無任何已知方位角,為解決這 個問題,可假設第一邊之方位角為 0  00  ,且無誤 差,可以這麼假設,因為問題僅在檢核導線之幾何 閉合條件,而非檢核導線的方位,即使觀測了第一 個邊方位角,也是如此

12 閉合導線閉合差之計算與分析 線性閉合差計算:由於縱橫距坐標具有相關性,在 計算時應採一般誤差傳播定律式 (5.12) 因縱橫距坐標之計算式是非線性函數,應先與以線性化 ( 即 取一階導數 ) ,其結果為 A 矩陣稱為 Jacobian matrix

13 閉合導線閉合差之計算與分析 因距離與角度觀測為獨立不相關,故其協變方矩陣中非對 角元素均為 0 由誤差傳播定律知, 縱橫距坐標的協變方矩陣為  lat,dep =A  A T

14 閉合導線閉合差之計算與分析 各對角線元素的平方根,即可得每一邊縱橫距之誤差估值,如 BC 邊之縱距 誤差估值為協方差矩陣中第 (3,3) 元素 之平方根, BC 邊之橫距誤差估 值為第 (4,4) 元素 之平方根 其餘各邊縱橫距的誤差估值可同理類推

15 閉合導線閉合差之計算與分析 閉合導線之線性閉合差 ( 即為位置閉合差 ) 如下 LC=[(Lat AB +Lat BC +  +Lat EA ) 2 +(Dep AB +Dep BC +  +Dep EA ) 2 ] ½ 為了求得該誤差估值,同樣必須利用誤差傳播定律,因位 置誤差公式為非線性,故需線性化,如對 AB 的一階偏導數 為 由上式可發現,這些偏導數均與邊無關,且其他邊之偏導數都 相同。故一般誤差傳播定律的係數矩陣為

16 閉合導線閉合差之計算與分析 縱橫距計算如表 7.3 所示,由表可見:縱距和 為 ft ,橫距和為 0.022ft ,線性閉合差為 0.085ft 。 將這些值代入誤差傳播定律公式中即可求得位 置閉合差的誤差估值 邊縱距 (ft) 橫距 (ft) AB BC CD DE EA  =  =0.022 LC=  (-0.082) 2 +(0.022) 2 =0.085ft 表 7.3 例 7.2 的縱橫距 因導線的位置閉合差為 0.085ft ,而其容許誤差為  0.15ft ,故在 95% 信心水 準下,導線並無錯誤觀測 量存在。

17 附合導線閉合差之計算與分析 圖 7.3 所示為兩端各附合於已知點之附合導線,類此通 常為求解如圖中之 A 、 B 、 C 、 D 等點之位置,另求解角 度與線性閉合差,以評估觀測值之接受與否。 例 7.3 計算圖 7.3 所示導線之角度與線性 ( 位置 ) 閉合差, 導線觀測數據如表 7.4 所列,距離單位為 m ,在 95 %之 信心水準下,預估閉合差為若干?評估是否有任何可 能之大錯存在?

18 附合導線閉合差之計算與分析 解 角度閉合差:附合導線角度閉合差之計算,是先按照方位角推算公 式計算各邊之方位角,最後邊的方位角再與已知方位角相減,其結 果如表 7.4 所示。 由表發現,最後邊計算值與其已知值之差為 +9  (=84 º 19´22  -(264 º 19´13  º )) ,而利用誤差傳播定律,得其預估誤差為 ( ) 1/2 =±11.7  , 實際值小於未乘以 t 之預估值,沒理由假設角度存有大錯

19 附合導線閉合差之計算與分析 位置閉合差:先按照縱橫距公式推算各邊導線點的縱橫距, 接著計算縱橫距的總和,並與已知控制點的縱橫距相減即可 求得 ( 或推算各導線點坐標,最後推算的控制點坐標與已知坐 標相減 ) 。 已知控制點 1 、 2 兩點之縱橫距差各為: m 與 m , 而由表 7.6 得知: 1 、 2 兩點實際之縱橫距差各為: m 與 m ,故根據觀測求得之縱橫距閉合差分別為: m 與 m ,位置閉合差為此兩者平方和之平方根 =0.040m

20 附合導線閉合差之計算與分析 導線的預估閉合差:其計算類似前述閉合導 線,先求縱橫距之 A 係數矩陣、 Σ 觀測值協 方差矩陣,再求縱橫距誤差之協方差矩陣, 最後求位置閉合差誤差之協方差矩陣

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22 將相應的數值代入式 (7.19) 與 (7.20) ,再由誤差傳播定律 可得縱橫距的協方差矩陣 為了求導線閉合差的誤差估值,由閉合差公式知,應先求 Jacobian matrix A ,再利用誤差傳播定率計算之  LC =A  Lat,Dep A T =[ ]

23 附合導線閉合差之計算與分析 同例 7.2 ,查表 D.3 ,得 α=0.05, 自由度 =3 之 t 0.025,3 =3.183 ;在 95 %之信心水準下,位置閉合差的 誤差估值為 ±3.183 × ½ m = ±0.087m ,比實 際閉合差 0.040m 高很多,因此,在 95 %之信心水準 下,沒理由相信導線存有錯誤 利用傳統方式,如羅盤儀法則平差計算附合導 線時,常假設控制無誤差;實際上,控制坐標 也是由觀測值所推算的,自然包含誤差,對應 用式 (7.21) 時,也假設控制點坐標沒誤差,嚴 謹計算時,應修正相關計算式。 最小自乘法平差的主要優點即因平差計算時可 包含控制,詳如第十八章所述

24 結論 本旨在討論導線測量計算觀測量的誤差 傳播。 誤差傳播定律為一非常有用的工具,它 可回答: 可接受的導線閉合差為何?

25 作業 7.8 、 7.11


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