Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Szimmetriák, egyenletek és csoportok - avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Szimmetriák, egyenletek és csoportok - avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet."— Előadás másolata:

1 Szimmetriák, egyenletek és csoportok - avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet

2

3 1. Bevezetés Az alakzatok szimmetriájától a geometriai transzformációkig

4 Szimmetria a természetben

5

6

7 Szimmetria a népművészetben

8

9 Szimmetria az építészetben

10

11 2. A geometriai transzformációk áttekintése

12 A geometriai transzformációk csoportelméleti megközelítése  Egy M halmaz önmagára való bijektív leképezését az M halmaz transzformá- ciójának vagy permutációjának nevezzük.  A sík pontjai  A tér pontjai  Egy alakzat pontjai

13 Transzformációk egymás utáni alkalmazása  Tükrözzünk végig egy tetszőleges P 0 pontot egy ötszög oldalfelező pontjaira, jelöljük a végeredményt P 5 -tel. Mutassuk meg, hogy az ötszög egyik csúcsa felezi a P 0 P 5 szakaszt! Geometriai feladatok gyűjteménye 432

14 Transzformációk egymás utáni alkalmazása  Bizonyítsuk be, hogy az olyan négyszög kerülete, amelynek csúcsai az egységnyi oldalú négyzet különböző oldalain vannak, legalább 2√2! Matematika B fakultáció IV. 379.o. 16

15 A geometriai transzformációk csoportelméleti megközelítése  Két transzformáció egymás utáni alkalmazása (f○g)(P)=f(g(P)) P f○g =(P f ) g  Identikus transzformáció  Inverz transzformáció

16 A csoport fogalma Egy G nem üres halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy ● művelet a következő tulajdonságokkal.  A ● művelet asszociatív.  Van neutrális eleme - egységeleme.  G minden elemének van inverze.

17 Az euklideszi sík és tér egybevágósági transzformációi  A sík bármely egybevágósági transzformációja legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzata.  A tér bármely egybevágósági transzformációja legfeljebb négy síktükrözés szorzata

18 3. Találtunk egy négylevelű lóherét

19 Az ideális lóhere aranyból

20 …és ezüstből

21 A lóherét (a négyzetet) fixen hagyó transzformációk

22 A csoport szorzástáblája Iff2f2 f3f3 IIff2f2 f3f3 fff2f2 f3f3 I f2f2 f2f2 f3f3 If f3f3 f3f3 Iff2f2

23 Iff2f2 f3f3 ttftf 2 tf 3 IIff2f2 f3f3 ttftf 2 tf 3 fff2f2 f3f3 I ttftf 2 f2f2 f2f2 f3f3 If tf 3 ttf f3f3 f3f3 Iff2f2 tf 2 ttf 3 t tttftf 2 tf 3 Iff2f2 f3f3 tf tf 2 tf 3 tff2f2 f3f3 I tf 2 tf 3 ttff2f2 f3f3 If tf 3 ttftf 2 f3f3 Iff2f2

24 4. Geometriai transzformációk alkalmazása egy versenyfeladatban OKTV 2006-2007

25  Az ABC háromszöget betűzzük pozitív körüljárás szerint. A háromszög szögei az A, B illetve C csúcsnál rendre  A B csúcsot az A pont körül negatív irányban elforgatjuk  szöggel, majd az így kapott B 1 pontot a B pont körül negatív irányban elforgatjuk  szöggel, és végül az így nyert B 2 pontot a C pont körül negatív irányban  szöggel elfor- gatva a B 3 pontba jutunk. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adottak a B, B 3 pontok és az ABC háromszög beírt körének O középpontja!

26 1. megoldás

27 Évariste Galois (1811-1832)

28 Niels Henrik Abel (1802-1829)

29 Robert Griess  1973-ban megjósolta az „Óriást”  1980-ban igazolta a létezését

30 Robert Giess

31 Bernd Fischer

32 A Monster elemszáma  2 46  3 20  5 9  7 6  11 2  13 3  17  19   23  29  31  41  47  59  71  80801742479451287588645990496171 0757005754368000000000  8  10 53

33 Irodalom 1) Általános- és középiskolai tankönyvek 2) Hargittai Magdolna – Hargitai István: Fedezzük fel a szimmetriát Tankönyvkiadó,1989 3) Hargittai Magdolna – Hargitai István: Képes Szimmetria Galenus, 2005

34 Irodalom 4) Dr. Gazsó István : Transzformációk Általános iskolai szakköri füzet Tankönyvkiadó, 1972 5) Vigassy Lajos: Egybevágósági transzformációk a síkban és a térben Tankönyvkiadó,1979 Középiskolai szakköri füzet

35 Irodalom 6) Pataki Tíbor: Papírcsodák Ságvári Endre Könyvszerkesztőség, 1983 7) Imrecze Zoltáné, Reiman István,Urbán János: Fejtörő feladatok felsősöknek Szalay Könyvkiadó és KereskedőházKft. 1999

36 Irodalom 8) Michele Emmer: M.C. Escher, Simmetria e spazio ART and MATHEMETICS (video) 9) Michele Emmer: Geometries and impossible worldsM.C. ART and MATHEMETICS (video)

37 Irodalom 10) Bácsó,S.;Hoffmann, M.: Fejezetek a geometriából, EKF Líceum Kiadó, 2003. 11) Baziljev, V. T.; Dunyicsev, K. I.; Ivanyickaja; V.P.: Geometria I-II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.

38 Irodalom 12) Bódi, B.:Algebra I. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2002. 13) Coxeter, H. S. M.; A geometriák alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973.

39 Irodalom 14) Folex, J. D.; van Dam, A.; Feiner,S.K.; Hughes, J.F.: Computer Graphics: Principles and Practice. Addison- Wesley,1997. 15) Freud, R.: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2004.

40 Irodalom 16) Hajós, Gy.: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. 17) Kiss, E.: Bevezetés az algebrába. Typotex Kiadó, Budapest, 2007.

41 Irodalom 18) Kovács, Z.: Geometria. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2004. 19) Martin, G. M.: Transformation Geometry. Springer Verlag, New York- Heidelberg-Berlin, 1982.

42 Irodalom 20) Molnár, E.: Elemi matematika II. (Geometriai transzformációk). Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. 21) Nyisztor, K.: Grafika és játék- programozás DirectX-szel. Szak Kiadó, Budapest, 2005.

43 Irodalom 22) Reiman, I.: A geometria és határterületei. Gondolat, Budapest, 1986.

44 Irodalom 23) Bachmann,F: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer 1959,1973 24) Ahrens, J: Begründung der absoluten Geometrie des Raumes aus Spiegelungsbegriff, Math.Zeitschrift 71.(1959) 154-185

45 Irodalom 25) Molnár Emil: A tükrözésgometriáról, ELTE TTK Szakmódszertani Közleményei VII. (1974) 86-130 26) Molnár Emil: Tükrözésgeometria Térben, ELTE TTK Szakmódszertani Közleményei VIII. (1975) 76-107

46 Irodalom 27) Bourbaki, N: Groups et Algebres de Lie Chap. IV-VI. Hermann, Paris, 1968 English translation Springer, 2002 28) Brown,H; Bülow, R; Neubüser, J; Wondratschek, H; Zassenhaus, H: Crystallographic Groups of Four- dimensional Space. Wiley-Interscience, 1978

47 Irodalom 29) Coxeter, H.S.M; Moser, W.O.J.: Generators and Relations for Discrete Groups. 4th ed.,Ergebnisse der Math. Und ihrer Grenzgebiete, Bd.14, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg- New-York, 1980. 30) Dade, E.C.:The maximal finite groups of 4  4 integral matrices. Illinois J. Math. 9(1965) 99-122.

48 Irodalom 31) Maxwell, G.M,: The crystallography of Coxeter groups. J. Algebra. 35(1975) 159-178 32) Ryshkov, S.S: Maximal finite groups of integral n  n matrices and full groups of integral authomorphisms of positive quadratic forms (Bravais models). Trudz Mat, Inst.Steklov. 128(1972) 183- 211.(in Russian), Proc. Steklov Inst. Math. 128(1972) 217-250.(in English)

49 Irodalom 33) Ryshkov, S.S.: On complete groups of integral automorphisms os quadratic forms. Soviet. Math. Dokl. 13(1972) 1251-1254.

50 Publikáció  Horváth Eszter: Gondolatok a geometriai transzformációk tanításáról az általános iskola felső tagozatán Matematikatanár-képzés – matematikatanár-továbbképzés 3-4 (2007) 13-18 Nyitott Könyvműhely, Budapest

51 Publikáció  Horváth Eszter: On a fundamental theorem of reflection geometry. Annales Univ. Sci. Budapest. 46 (2003) 133-148

52 Publikáció  Horváth Eszter: On a four-dimensional crystallographic groups Teaching Mathematics and Computer Sciencs 4/2 (2006) 391-404

53 Disszertáció  Horváth Eszter Goemetriai transzformációk 2007


Letölteni ppt "Szimmetriák, egyenletek és csoportok - avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet."

Hasonló előadás


Google Hirdetések