Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Szimmetriák, egyenletek és csoportok - avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Szimmetriák, egyenletek és csoportok - avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet."— Előadás másolata:

1 Szimmetriák, egyenletek és csoportok - avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet

2

3 1. Bevezetés Az alakzatok szimmetriájától a geometriai transzformációkig

4 Szimmetria a természetben

5

6

7 Szimmetria a népművészetben

8

9 Szimmetria az építészetben

10

11 2. A geometriai transzformációk áttekintése

12 A geometriai transzformációk csoportelméleti megközelítése  Egy M halmaz önmagára való bijektív leképezését az M halmaz transzformá- ciójának vagy permutációjának nevezzük.  A sík pontjai  A tér pontjai  Egy alakzat pontjai

13 Transzformációk egymás utáni alkalmazása  Tükrözzünk végig egy tetszőleges P 0 pontot egy ötszög oldalfelező pontjaira, jelöljük a végeredményt P 5 -tel. Mutassuk meg, hogy az ötszög egyik csúcsa felezi a P 0 P 5 szakaszt! Geometriai feladatok gyűjteménye 432

14 Transzformációk egymás utáni alkalmazása  Bizonyítsuk be, hogy az olyan négyszög kerülete, amelynek csúcsai az egységnyi oldalú négyzet különböző oldalain vannak, legalább 2√2! Matematika B fakultáció IV. 379.o. 16

15 A geometriai transzformációk csoportelméleti megközelítése  Két transzformáció egymás utáni alkalmazása (f○g)(P)=f(g(P)) P f○g =(P f ) g  Identikus transzformáció  Inverz transzformáció

16 A csoport fogalma Egy G nem üres halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy ● művelet a következő tulajdonságokkal.  A ● művelet asszociatív.  Van neutrális eleme - egységeleme.  G minden elemének van inverze.

17 Az euklideszi sík és tér egybevágósági transzformációi  A sík bármely egybevágósági transzformációja legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzata.  A tér bármely egybevágósági transzformációja legfeljebb négy síktükrözés szorzata

18 3. Találtunk egy négylevelű lóherét

19 Az ideális lóhere aranyból

20 …és ezüstből

21 A lóherét (a négyzetet) fixen hagyó transzformációk

22 A csoport szorzástáblája Iff2f2 f3f3 IIff2f2 f3f3 fff2f2 f3f3 I f2f2 f2f2 f3f3 If f3f3 f3f3 Iff2f2

23 Iff2f2 f3f3 ttftf 2 tf 3 IIff2f2 f3f3 ttftf 2 tf 3 fff2f2 f3f3 I ttftf 2 f2f2 f2f2 f3f3 If tf 3 ttf f3f3 f3f3 Iff2f2 tf 2 ttf 3 t tttftf 2 tf 3 Iff2f2 f3f3 tf tf 2 tf 3 tff2f2 f3f3 I tf 2 tf 3 ttff2f2 f3f3 If tf 3 ttftf 2 f3f3 Iff2f2

24 4. Geometriai transzformációk alkalmazása egy versenyfeladatban OKTV

25  Az ABC háromszöget betűzzük pozitív körüljárás szerint. A háromszög szögei az A, B illetve C csúcsnál rendre  A B csúcsot az A pont körül negatív irányban elforgatjuk  szöggel, majd az így kapott B 1 pontot a B pont körül negatív irányban elforgatjuk  szöggel, és végül az így nyert B 2 pontot a C pont körül negatív irányban  szöggel elfor- gatva a B 3 pontba jutunk. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adottak a B, B 3 pontok és az ABC háromszög beírt körének O középpontja!

26 1. megoldás

27 Évariste Galois ( )

28 Niels Henrik Abel ( )

29 Robert Griess  1973-ban megjósolta az „Óriást”  1980-ban igazolta a létezését

30 Robert Giess

31 Bernd Fischer

32 A Monster elemszáma  2 46  3 20  5 9  7 6  11 2  13 3  17  19   23  29  31  41  47  59  71   8  10 53

33 Irodalom 1) Általános- és középiskolai tankönyvek 2) Hargittai Magdolna – Hargitai István: Fedezzük fel a szimmetriát Tankönyvkiadó,1989 3) Hargittai Magdolna – Hargitai István: Képes Szimmetria Galenus, 2005

34 Irodalom 4) Dr. Gazsó István : Transzformációk Általános iskolai szakköri füzet Tankönyvkiadó, ) Vigassy Lajos: Egybevágósági transzformációk a síkban és a térben Tankönyvkiadó,1979 Középiskolai szakköri füzet

35 Irodalom 6) Pataki Tíbor: Papírcsodák Ságvári Endre Könyvszerkesztőség, ) Imrecze Zoltáné, Reiman István,Urbán János: Fejtörő feladatok felsősöknek Szalay Könyvkiadó és KereskedőházKft. 1999

36 Irodalom 8) Michele Emmer: M.C. Escher, Simmetria e spazio ART and MATHEMETICS (video) 9) Michele Emmer: Geometries and impossible worldsM.C. ART and MATHEMETICS (video)

37 Irodalom 10) Bácsó,S.;Hoffmann, M.: Fejezetek a geometriából, EKF Líceum Kiadó, ) Baziljev, V. T.; Dunyicsev, K. I.; Ivanyickaja; V.P.: Geometria I-II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.

38 Irodalom 12) Bódi, B.:Algebra I. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, ) Coxeter, H. S. M.; A geometriák alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973.

39 Irodalom 14) Folex, J. D.; van Dam, A.; Feiner,S.K.; Hughes, J.F.: Computer Graphics: Principles and Practice. Addison- Wesley, ) Freud, R.: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2004.

40 Irodalom 16) Hajós, Gy.: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, ) Kiss, E.: Bevezetés az algebrába. Typotex Kiadó, Budapest, 2007.

41 Irodalom 18) Kovács, Z.: Geometria. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, ) Martin, G. M.: Transformation Geometry. Springer Verlag, New York- Heidelberg-Berlin, 1982.

42 Irodalom 20) Molnár, E.: Elemi matematika II. (Geometriai transzformációk). Tankönyvkiadó, Budapest, ) Nyisztor, K.: Grafika és játék- programozás DirectX-szel. Szak Kiadó, Budapest, 2005.

43 Irodalom 22) Reiman, I.: A geometria és határterületei. Gondolat, Budapest, 1986.

44 Irodalom 23) Bachmann,F: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer 1959, ) Ahrens, J: Begründung der absoluten Geometrie des Raumes aus Spiegelungsbegriff, Math.Zeitschrift 71.(1959)

45 Irodalom 25) Molnár Emil: A tükrözésgometriáról, ELTE TTK Szakmódszertani Közleményei VII. (1974) ) Molnár Emil: Tükrözésgeometria Térben, ELTE TTK Szakmódszertani Közleményei VIII. (1975)

46 Irodalom 27) Bourbaki, N: Groups et Algebres de Lie Chap. IV-VI. Hermann, Paris, 1968 English translation Springer, ) Brown,H; Bülow, R; Neubüser, J; Wondratschek, H; Zassenhaus, H: Crystallographic Groups of Four- dimensional Space. Wiley-Interscience, 1978

47 Irodalom 29) Coxeter, H.S.M; Moser, W.O.J.: Generators and Relations for Discrete Groups. 4th ed.,Ergebnisse der Math. Und ihrer Grenzgebiete, Bd.14, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg- New-York, ) Dade, E.C.:The maximal finite groups of 4  4 integral matrices. Illinois J. Math. 9(1965)

48 Irodalom 31) Maxwell, G.M,: The crystallography of Coxeter groups. J. Algebra. 35(1975) ) Ryshkov, S.S: Maximal finite groups of integral n  n matrices and full groups of integral authomorphisms of positive quadratic forms (Bravais models). Trudz Mat, Inst.Steklov. 128(1972) (in Russian), Proc. Steklov Inst. Math. 128(1972) (in English)

49 Irodalom 33) Ryshkov, S.S.: On complete groups of integral automorphisms os quadratic forms. Soviet. Math. Dokl. 13(1972)

50 Publikáció  Horváth Eszter: Gondolatok a geometriai transzformációk tanításáról az általános iskola felső tagozatán Matematikatanár-képzés – matematikatanár-továbbképzés 3-4 (2007) Nyitott Könyvműhely, Budapest

51 Publikáció  Horváth Eszter: On a fundamental theorem of reflection geometry. Annales Univ. Sci. Budapest. 46 (2003)

52 Publikáció  Horváth Eszter: On a four-dimensional crystallographic groups Teaching Mathematics and Computer Sciencs 4/2 (2006)

53 Disszertáció  Horváth Eszter Goemetriai transzformációk 2007


Letölteni ppt "Szimmetriák, egyenletek és csoportok - avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet."

Hasonló előadás


Google Hirdetések