Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok Recski András Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem.

Az előadások a következő témára: "Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok Recski András Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem."— Előadás másolata:

1 Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok Recski András Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

2

3 A végtelen sokféle szabályos sokszög közül csak hárommal lehet a síkot „parkettázni” vagy „csempézni”.

4 http://www.software3d.com/Stella.php

5

6 Paolo Uccello (1397-1475) Mozaikpadló (1425 körül), Szent Márk- székesegyház, Velence

7 M. C. Escher (1898-1972) Zwaartekracht (1952)

8

9 M. C. Escher (1898-1972) Zwaartekracht (1952)

10 Luca Pacioli De Divina Proportione 1509

11 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül – szabályos poliéderek 17. szd. – analítikus geometria 19. szd. eleje – konvex poliéderek 19. szd. közepe – gráfok színezése 19. szd. vége – rúdszerkezetek, villamos hálózatok, Boole-algebrák 20. szd. eleje – 2-izomorfia, matroidok 20. szd. közepe – lineáris programozás

12 Mióta ismerjük a dualitás elvét?

13 I.e. 500 körül – szabályos poliéderek

14 http://www.software3d.com/Stella.php

15 A szokásos bizonyításban

16 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül – szabályos poliéderek 17. szd. – analítikus geometria

17 R. Descartes, 1596-1650

18 Mikor merőleges két egyenes?

19 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül – szabályos poliéderek 17. szd. – analítikus geometria 19. szd. eleje – konvex poliéderek

20 S. A. J. Lhuilier, 1750-1840

21 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül – szabályos poliéderek 17. szd. – analítikus geometria 19. szd. eleje – konvex poliéderek 19. szd. közepe – gráfok színezése

22

23 Robin Wilson, Four Colors Suffice: How the Map Problem was Solved, Princeton University Press, 2002 (Notices of the AMS, February 2004) Heawood példája arra, hogy Kempe bizonyítása hibás volt (1890)

24 Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés A gráf lapja – a duálisban pontnak felel meg. Az él – a duálisban is élnek felel meg. A kör – a duálisban vágásnak felel meg. A feszítő fa – a duálisban egy feszítő fa komplementerének felel meg.

25 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül – szabályos poliéderek 17. szd. – analítikus geometria 19. szd. eleje – konvex poliéderek 19. szd. közepe – gráfok színezése 19. szd. vége – rúdszerkezetek, villamos hálózatok, Boole-algebrák

26 Luigi Cremona (1830 – 1903)

27

28

29 Gustav Kirchhoff, 1824-1887

30 Mióta ismerjük a dualitás elvét? I.e. 500 körül – szabályos poliéderek 17. szd. – analítikus geometria 19. szd. eleje – konvex poliéderek 19. szd. közepe – gráfok színezése 19. szd. vége – rúdszerkezetek, villamos hálózatok, Boole-algebrák 20. szd. eleje – 2-izomorfia, matroidok 20. szd. közepe – lineáris programozás

31 A 2 kivezetésű alkatrészeket (például az ellenállásokat, a feszültségforrásokat) egy gráf éleivel modellezzük.

32 A 2 kivezetésű alkatrészeket (például az ellenállásokat, a feszültségforrásokat) egy gráf éleivel modellezzük, a feszültségeik és áramaik közti kapcsolatokat a gráf köreivel, ill. vágásaival írjuk le.

33 i 3 = (R 4 u 1 +R 2 u 5 ) / (R 2 R 3 +R 2 R 4 +R 3 R 4 )

34 Kirchhoff, 1824-1887 A hálózat gráfjának a körei mentén a feszültségek (előjeles) összege zérus. A hálózat gráfjának a vágásai mentén az áramerősségek (előjeles) összege zérus.

35 Kirchhoff, 1847

36 Kirchhoff, 1824-1887 A hálózat gráfjának a körei mentén a feszültségek (előjeles) összege zérus. A hálózat gráfjának vágásai mentén az áramerősségek (előjeles) összege zérus.

37 A villamos hálózatok dualitási elve A G gráf helyett vegyük a G* duális gráfot A feszültségforrások helyett vegyünk áramforrásokat és megfordítva Az ellenállások helyett vegyük a ‘reciprok’ ellenállásokat A kapacitások helyett vegyünk induktivitásokat és megfordítva

38 Így egy N hálózat helyett egy duális N* hálózatot kapunk N* akkor és csak akkor oldható meg egyértelműen, ha N egyértelműen megoldható. Ha N és N* tartalmaznak kondenzá- torokat és/vagy tekercseket, akkor a két hálózat szabadsági fokainak a száma megegyezik.

39 A villamos hálózatok dualitási elve A G gráf helyett vegyük a G* duális gráfot A feszültségforrások helyett vegyünk áramforrásokat és megfordítva Az ellenállások helyett vegyük a ‘reciprok’ ellenállásokat A kapacitások helyett vegyünk induktivitásokat és megfordítva

40 A villamos hálózatok dualitási elve A G gráf helyett vegyük a G* duális gráfot A feszültségforrások helyett vegyünk áramforrásokat és megfordítva Az ellenállások helyett vegyük a ‘reciprok’ ellenállásokat A kapacitások helyett vegyünk induktivitásokat és megfordítva Minden u betű helyett vegyünk i betűt az egyenletekben és megfordítva

41 Mi a síkbarajzolható irányított gráf duálisa?

42

43 Síkbarajzolható G gráfG* duális gráf FeszültségforrásÁramforrás Feszültségforrás Ellenállás‘Reciprok’ ellenállás TekercsKondenzátor Tekercs

44 A klasszikus eredmény általánosítása Kirchhoff idejében csak 2-lábú alkatrészek voltak. Ha egy hálózat feszültség- és áramforrások, és ellenállások mellett komplexebb alkatrészeket is tartalmaz (pl. ideális transzformátorokat, girátorokat, műveleti erősítőket), akkor mi mondható?

45 Síkbarajzolható G gráfG* duális gráf FeszültségforrásÁramforrás Feszültségforrás Ellenállás‘Reciprok’ ellenállás TekercsKondenzátor Tekercs Lineáris sokkapu ?

46 Lineáris n-kapu A·u + B·i = 0 ahol u = (u 1, u 2,..., u n ) T, i = (i 1, i 2,..., i n ) T és (A | B) egy n X 2n méretű, n rangú mátrix vagyis n darab független egyenlet kapcsolja össze a 2n darab ismeretlent

47 1. példa – Ideális transzformátorok u 2 = k·u 1, i 1 = −k·i 2

48 1. példa – Ideális transzformátorok u 2 = k·u 1, i 1 = −k·i 2 k -1 0 0 0 0 1 k

49 Egy mátrix duálisa (E | A) altér (-A T | E) az altér ortogonális komplementere R. Descartes, 1596-1650

50 Egy mátrix duálisa (E | A) (-A T | E) Vagyis ha az első mátrix kXn –es és a sorai függetlenek, akkor az n-dimenziós térnek egy k-dimenziós alterét határozzák meg; a második mátrix (n-k)Xn –es és a sorai az első altér ortogonális komplementerét határozzák meg.

51 Egy mátrix(-szal reprezentált matroid) duálisa (E | A) (-A T | E) Vagyis ha az első mátrix kXn –es és a sorai függetlenek, akkor az n-dimenziós térnek egy k-dimenziós alterét határozzák meg; a második mátrix (n-k)Xn –es és a sorai az első altér ortogonális komplementerét határozzák meg.

52 1. példa – Ideális transzformátorok u 2 = k·u 1, i 1 = −k·i 2 k -1 0 0 0 0 1 k

53 1. példa – Ideális transzformátorok u 2 = k·u 1, i 1 = −k·i 2 k -1 0 0 0 0 1 k 1 k 0 0 0 0 k -1

54 1. példa – Ideális transzformátorok u 2 = k·u 1, i 1 = −k·i 2 k -1 0 0 0 0 1 k 1 k 0 0 0 0 k -1 u 1 = - k·u 2, i 2 = k·i 1

55 1. példa – Ideális transzformátorok u 2 = k·u 1, i 1 = −k·i 2 u 1 = - k·u 2, i 2 = k·i 1

56 1. példa – Ideális transzformátorok u 2 = k·u 1, i 1 = −k·i 2 u 1 = - k·u 2, i 2 = k·i 1

57 Síkbarajzolható G gráfG* duális gráf FeszültségforrásÁramforrás Feszültségforrás Ellenállás‘Reciprok’ ellenállás TekercsKondenzátor Tekercs Lineáris sokkapu ?

58 Síkbarajzolható G gráfG* duális gráf FeszültségforrásÁramforrás Feszültségforrás Ellenállás‘Reciprok’ ellenállás TekercsKondenzátor Tekercs Lineáris sokkapuCseréljük fel u és i sze- repét, vagy képezzük a matroidelméleti duálist?

59 Síkbarajzolható G gráfG* duális gráf FeszültségforrásÁramforrás Feszültségforrás Ellenállás‘Reciprok’ ellenállás TekercsKondenzátor Tekercs Lineáris sokkapu ?

60 Masao Iri – R., 1980. A kétféle eljárásnak (u és i felcserélése vagy matroidelméleti duális képzése) ugyanaz a hatása?

61 Masao Iri – R., 1980. A kétféle eljárásnak (u és i felcserélése vagy matroidelméleti duális képzése) ugyanaz a hatása reciprok alkatrészek esetén, de általában nem.

62 Reciprok n-kapuk Az Au+Bi=0 (*) egyenletrendszerrel megadott n-kapu teljesíti a reciprocitási feltételt, ha u 1 T i 2 = u 2 T i 1 teljesül bármely két olyan (u 1, i 1 ) és (u 2, i 2 ) vektorra, mely kielégíti a (*) egyenletet

63 2. példa – Feszültségvezérelt feszültségforrás (VCVS) u 2 = k·u 1, i 1 = 0 u és i felcserélése duális matroid képzése i 2 = k·i 1, u 1 = 0 u 1 = –k·u 2, i 2 = 0 CCCS VCVS

64 Masao Iri – R., 1980. A kétféle eljárásnak (u és i felcserélése vagy matroidelméleti duális képzése) ugyanaz a hatása reciprok alkatrészek esetén, de általában nem. Tehát a villamosságtanban kétféle áram- feszültség szimmetria létezik.

65 n-kapukat és (áram- és/vagy feszültségforrásokat össze- kapcsolva kapunk egy áramkört — vagy n-kapukat összekapcsolva kapunk (egyetlen nagy) N-kaput.

66

67 n-kapukat és (áram- és/vagy feszültségforrásokat össze- kapcsolva kapunk egy áramkört — vagy n-kapukat összekapcsolva kapunk (egyetlen nagy) N-kaput. „terminal solvability”

68 Az előzőkhöz hasonlóan itt is kétféle áram- feszültség szimmetria található.

69 Köszönöm a figyelmet recski@cs.bme.hu