Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Variációs elvek (extremális = min-max elvek) a fizikában A fizika törvényei megfogalmazhatók DIFFERENCIÁLEGYENLETEKKÉNT, megfogalmazhatók VARIÁCIÓS ELVEKKÉNT.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Variációs elvek (extremális = min-max elvek) a fizikában A fizika törvényei megfogalmazhatók DIFFERENCIÁLEGYENLETEKKÉNT, megfogalmazhatók VARIÁCIÓS ELVEKKÉNT."— Előadás másolata:

1 Variációs elvek (extremális = min-max elvek) a fizikában A fizika törvényei megfogalmazhatók DIFFERENCIÁLEGYENLETEKKÉNT, megfogalmazhatók VARIÁCIÓS ELVEKKÉNT (szélsőérték, min-max elvek). Geometriai optika Fermat elve: Legyen adott a térben tetszés szerinti folytonos vagy ugrásszerűen változó törésmutatójú, optikailag átlátszó közeg. A fény a közeg P1 pontjából indulva, valamilyen pályát leírva a P2 pontba jut ds/v kifejezés azt az időt jelenti, amely alatt a fény a ds utat befutja Fermat-elv: a fény a tér egyik pontjából a másikba a legrövidebb idő alatt jut. A mechanika törvényei is megadhatók extremalis (min-max) illetve variációs elvként.

2 A variációszámítás alapjai Keresendő azon függvény, amely az kifejezést („funkcionált”) szélső értékké teszi. Vagyis keresendő az = extrémum követelményeknek eleget tevő függvény Tegyük fel, hogy ismerjük a fenti követelményeknek eleget tevő, és a pontokon átmenőgörbét. „Variáljuk” az függvényt. egy tetszés szerinti paraméter, egy folytonosan differenciálható, egyébként tetszés szerinti függvény, azzal a megszorítással, hogy Ez annyit jelent, hogy az görbesereg minden egyes tagja átmegy a pontokon.

3 Hogy az integrál valóban extremális értéket adjon az megoldásnál szükséges, hogy bármely  (x) függvény esetén az értéknél kapjunk szélsőértéket, = 0 Érvényesítsük most az =0 feltételt: Alakítsuk át parciális integrálás segítségével az integrandusz második tagját:

4 A variációszámítás alap-lemmája szerint ha egy adott függvénynek egy tetszés szerinti függvénnyel való szorzata egy megadott tartományban integrálva nullát ad, akkor maga a függvény is nulla. A variációszámítás Euler – Lagrange-egyenlete : = extremum Az extremum követelményt kielégítő megoldást az Euler–Lagrange- differenciálegyenlet azon megoldásai között kell keresnünk, amelyek keresztülmennek a megadott pontokon.

5 Példa: Síkban két pontot összekötő vonalak közül melyik a legkisebb ívhosszúságú.

6 Extremizálandó kifejezés Euler-egyenletek

7 A mechanika elvei Az n számú tömegpontból álló rendszer helyzetét n számú vektor, azaz 3n számú helykoordináta határozza meg. Ha a tömegpontok mozgását k számú holonom kényszer korlátozza, akkor a rendszer független koordinátáinak száma f =3n–k amit a rendszer szabadsági fokának nevezünk. Az f szabadsági fokú rendszer általános helykoordinátái q 1, q 2,..., q f, és segítségükkel a tömegpontok helykoordinátái Mivel a potenciális energia az helykoordináták függvénye, ezért az általános koordinátákkal a potenciális energia mindig kifejezhető.

8 Az általános koordináták idő szerinti differenciálhányadosait, ahol i =1, 2,..., f) általános sebességeknek nevezzük. Ha az r i Descartes-koordinátái x i, y i, z i, akkor a pontrendszer kinetikus energiája A kinetikus energia az általános koordináták és az általános sebességek függvénye. A potenciális energia csak az általános koordinátáktól függ Fontos definiciók: Lagrange-függvény Általános impulzus Hamilton-függvény

9 A Newton-törvényekkel egyenértékű a Hamilton-elv, amelyet a legkisebb hatás elvének is szokás nevezni. Egy tömegpont esetén a P 1 pontból induló és a P 2 pontba tartó részecske a két pontot összekötő pályák közül azon halad, amelyre a Lagrange-függvény időintegrálja extremum, azaz az időintegrál variációja zérus. Ez a több tömegpontból álló rendszer esetén is érvényes. Euler–Lagrange-egyenletek A Newton mozgásegyenletekkel egyenértékűek a Hamilton-egyenletek :

10 A pontmechanika alaptörvényeit három különböző formában adhatjuk meg. A Newton-féle mozgásegyenletek, a Lagrange-féle mozgásegyenletek és a Hamilton-egyenletek a fentiek szerint egyenértékű alaptörvények. Egyetlen tömegpont általános koordinátái legyenek q 1 =x, q 2 =y és q 3 =z, potenciális energiája W p (x, y, z), kinetikus energiája pedig A Lagrange-függvény A Lagrange-féle mozgásegyenletek a Newton-mozgásegyenleteket kaptuk vissza.

11 Hamilton elvLagrange-egyenletek Hamilton egyenletek Newton mozgásegyenletek

12 Lineáris és nemlineáris rezgések. Ingamozgás, rugók, harmonikus oszcillátorok, rezgő húr, stb. 1. Egydimenziós, szabad és „kis” rezgések Stabil egyensúlyi állapot, amelyben apotenciális energiának minimuma van : Az egyensúlyi helyzetből való kitérés esetén erő lép fel. (A Taylor sor első el nem tűmő tagja) A továbbiakbanA kinetikus energia A Lagrange függvény: A mozgásegyenlet: AmplitúdóFázis

13 A kis rezgést végző rendszer összenergiája Az általános impulzus „Fázistér” : a hely és impulzuskoordináták által kifeszitett tér Egydimenziós térbeli mozgás esetén Phase space (fázistér) Mozgás szabadságfoka f Phase space (fázistér) q p „Fázisgörbe” p = p(q)

14


Letölteni ppt "Variációs elvek (extremális = min-max elvek) a fizikában A fizika törvényei megfogalmazhatók DIFFERENCIÁLEGYENLETEKKÉNT, megfogalmazhatók VARIÁCIÓS ELVEKKÉNT."

Hasonló előadás


Google Hirdetések