Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 1. Projektmenedzsment gráf  súlyozott  irányított  összefüggő (de ritkán erősen összefüggő)  nincs izolált csomópontja.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 1. Projektmenedzsment gráf  súlyozott  irányított  összefüggő (de ritkán erősen összefüggő)  nincs izolált csomópontja."— Előadás másolata:

1 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 1. Projektmenedzsment gráf  súlyozott  irányított  összefüggő (de ritkán erősen összefüggő)  nincs izolált csomópontja  egy forrás, egy nyelő általában  körmentes (aciklikus)  nincsenek többszörös élek  ►egyszerű

2 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 2. Gráf, absztrakt gráf, digráf N és A két diszjunkt halmaz, ahol ζ olyan függvény, amely A minden eleméhez egy N- beli elempárt rendel hozzá: a (N,A, ζ) rendszer absztrakt gráf (digráf); (N,A) vagy G N elemeit a gráf csomópontjainak, A elemeit a gráf éleinek (ívek vagy ágak) nevezzük ponthoz nem illeszkedik él: izolált csomópont

3 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 3. Fokszám A G egy p pontjához illeszkedő élek számát p fokszámának (fokának) nevezzük: φ (p); irányított esetben: φ be (p), φ ki (p)  A fokszámok összege az élek számának kétszerese.  Páratlan fokú pontok száma mindig páros.

4 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 4. Izomorf, hurok, kör egy gráf élei és pontjai kölcsönösen egyértelműen és illeszkedéstartó módon megfeleltethetők egy másik éleinek és pontjainak: a két gráf izomorf két pontot több él is összeköt: G tartalmaz többszörös éleket él a kiinduló csomópontba tér vissza: hurokél élsorozat (v. pontsorozat), amely egy csomópontból induló összefüggő éleken (v. szomszédos csomópontokon) keresztül ugyanabba a csomópontba jut vissza: kör ac dbdcb a

5 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 5. Teljes és egyszerű gráf G bármely két különböző pontját él köti össze: teljes gráf (n-gráf)  a teljes gráf éleinek száma: G nem tartalmaz hurokélt és többszörös élt: egyszerű gráf  legalább két pontot tartalmazó egyszerű gráfnak van két azonos fokú pontja.  skatulya-elv bármelyik pont elérhető úttal: összefüggő

6 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 6. Részek egy egyszerű G gráfot kiegészítünk teljes gráffá, akkor a G nélküli rész: komplementere tartalmazza G-t: részgráf nem önmaga: valódi részgráf összefüggő részgráf, amely nem bővíthető új ponttal az összefüggő jelleg megtartásával: komponens csúcsok és komponensek számának különbsége: rang élek és komponensek száma mínusz csúcsok száma: nullitás

7 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 7. Euler königsbergi hidak (1735., Pregel folyó) G folytonos élsorozatában minden él szerepel, de csak egyetlen egyszer: Euler- vonal  Ha van G-nek zárt Euler-vonala, akkor minden pont foka páros.  Ha van G-nek nyitott Euler-vonala, akkor két pont foka páratlan, de minden többi ponté páros. Euler, L., "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis", Comment. Academiae Sci. I. Petropolitanae 8 (1736),

8 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 8. Közlekedés, híd bármely pontból G bármely pontjába el lehet jutni szabályok megsértése nélkül: közlekedési feltétel irányított gráf, melyre teljesül a közlekedési feltétel: erősen összefüggő levelek, híd  összefüggő gráf élét töröljük és megszűnik összefüggő lenni

9 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 9. Hamilton dodekaéder-játék (1859) gráf minden pontját tartalmazó köre: Hamilton-kör gráf minden pontját tartalmazó útja: Hamilton- út

10 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 10. Fa, minimális kifeszítő fa összefüggő, körmentes: fa, fagráf, kifeszítő fa  Az n pontú, n-1 élű gráfok körmentesek (fák). minimális kifeszítő fa (gazdaságos faváz); MST - később

11 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 11. Súlyok, irányítás élekhez hozzárendelt értékek (súlyok): kapacitások, potenciálok, áramok (nemnegatív mennyiség, végtelen, nulla) kapacitás a súlyozott élen az egyik irányban nulla: irányítottnak; (i,j) esetén τ i,j csomóponthoz csatlakozó összes él irányítása olyan, hogy az áram az adott csomópontból kifelé halad: forrás csomóponthoz csatlakozó az összes él a csomópont felé irányul: nyelő

12 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 12. Út, irányított út két pont közötti pontsorozat; csak szomszédos pontokon haladunk; csak egyszer: út  Legyen az {s≡0,1,…i…m≡t} egy olyan pontsorozat, amelyre minden (i-1,i), i=1...m esetén. Ekkor a (0,1,...i,...m) halmaz: s pontból a t pontba vezető út; P(s,t), P haladás irányát is megadjuk: irányított út útban szereplő élek τ súlyainak össze: út hossza; τ(P) VAGY éleinek a száma két pont közötti út csak egy élt tartalmaz: szomszédos csúcs

13 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 13. Szintekre bontás irányított körmentes (aciklikus) gráfban N 1,N 2  N és (N 1,N 2 )  A, akkor N 1 N 2 -t megelőzi: topologikus rendezés  1) forrásokat a következő (első) szintbe  2) töröljük a kimenő éleket, majd 1)  3) addig, amíg mind nincsen szintbe sorolva  4) összekötjük a csúcsokat kisebb mélységből nagyobb mélységbe mutat: előre él (faél) nagyobb mélységből kisebb mélységbe mutat: visszaél azonos szintre mutat: keresztél

14 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 14. Szintekre bontás a c bd

15 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 15. Szintekre bontás a cb d ef

16 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 16. Alapvető algoritmusok szélességi keresés - bejárás (BFS) mélységi keresés - bejárás (DFS)

17 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 17. Park körülzárt nemzeti park keskeny kanyargós úthálózat  erdőőrök által vezetett elektromos járművek  terepjáró gépkocsik modellezhető egy irányítatlan hálóval  park bejárata (O)  fontosabb látnivalók  bejárattól legtávolabb színpadi látványosság (T) súlyszámok az utak hossza  illetve irányított kapacitások

18 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 18. Park A O BDT EC BDT A BDT

19 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 19. Problémák telefonvonalakat kell lefektetni az utak alatt úgy, hogy minden csomópontot elérjenek, és az a lehető legevesebb munkával járjon meg kell határozni egy, a park bejáratától (O) a színpadig (T), majd onnan vissza vezető olyan útvonalat, amelynek a legkisebb a hosszúsága maximalizálni kell a naponta megtehető utak számát a korlátos útszakaszokon (irány!)

20 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 20. Minimális kifeszítő fa Borůvka (Sollin)  1) Vizsgáljuk a súlyokat. Ha többször is előfordul valamelyik, hozzáadjuk az egység egy hányadát, rendre q, 2q, 3q stb. k(q+2q+3q+…+(m-1)q)<1, ahol k számú ktg. fordul elő többször, egy ktg. max. m- szer szerepel  2) Kijelöljük minden egyes csomópont (fa) legközelebbi szomszédjába vezető élt (közben kör ne alakuljon ki).  3) A fát alkotó csomópontokat egyetlen csomópontnak tekintjük.  4) Ismét 2) addig, amíg minimális kifeszítő fát nem kapunk.

21 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 21. Minimális kifeszítő fa

22 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 22. Minimális kifeszítő fa A O BDT EC BDT A BDT

23 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 23. Minimális kifeszítő fa Kruskal  1) Kijelöljük a gráf kijelöletlen legkisebb költségű élét (közben kör ne alakuljon ki).  2) Ismét 1) addig, amíg minimális kifeszítő fát nem kapunk.

24 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 24. Minimális kifeszítő fa

25 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 25. Minimális kifeszítő fa A O BDT EC BDT A BDT

26 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 26. Minimális kifeszítő fa Prim  1) Kiválasztjuk a gráf bármelyik csomópontját.  2) A fához hozzáadjuk a legközelebbi csomópontot (közben kör ne alakuljon ki).  3) Ismét 2) addig, amíg minimális kifeszítő fát nem kapunk.

27 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 27. Minimális kifeszítő fa

28 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 28. Minimális kifeszítő fa A O BDT EC BDT A BDT

29 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 29. Legrövidebb út Táblázatos megoldás  1) Minden irányban kiindulunk a vizsgált csomópontból, egymás után kiválasztjuk a hálózat minden egyes csomópontjához vezető legrövidebb útvonalat a kezdőponttól mért legrövidebb távolságuk növekvő sorrendjében.  2) Ismét 1) addig, amíg el nem jutunk a végső csomóponthoz.

30 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 30. Legrövidebb út …

31 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 31. … Legrövidebb út

32 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 32. Legrövidebb út A O BDT EC BDT A BDT

33 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 33. Gráfelméleti alkalmazások Közösségi Kerékpáros Közlekedési Rendszer  pesti: Dunától kb. Dózsa György útig  budai: Duna part, a Víziváros egy része, BME és környéke  12,75 km2-t  74 automata gyűjtőállomás  több, mint 1000 kerékpár  két nagyobb és négy kisebb kapacitású szállítójármű  kb. 90% Európai Uniós támogatás Hány szállító jármű tud áthaladni adott útvonalon? Egységnyi idő alatt melyek a legrövidebb utak bizonyos gyűjtőpontok között? Beck Viktória

34 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 34. Gráfelméleti alkalmazások forgalom alapján (kategóriák):  1. több mint 2000 (egységjármű/óra)  – 2000 (egységjármű/óra)  – 1000 (egységjármű/óra) legnagyobb kockázat:  Deák Ferenc tér és az Astoria közötti  reggelente a Petőfi-hídon Buda felé, Nagykörúton a Nyugati-pályaudvartól a Petőfi-híd felé, a Szabadság-hídon Pest felé, délután fordítva Petőfi-híd csúcsforgalomban:  Beck Viktória

35 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 35. Beck Viktória

36 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 36. Megoldás: 36 csomópontú gráf Beck Viktória

37 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 37. Gogol utca - BME Beck Viktória

38 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 38. Hősök tere - Kossuth tér Beck Viktória

39 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 39. Problémák telefonvonalakat kell lefektetni az utak alatt úgy, hogy minden csomópontot elérjenek, és az a lehető legevesebb munkával járjon meg kell határozni egy, a park bejáratától (O) a színpadig (T), majd onnan vissza vezető olyan útvonalat, amelynek a legkisebb a hosszúsága maximalizálni kell a naponta megtehető utak számát a korlátos útszakaszokon (irány!)

40 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 40. Legrövidebb út Dijkstra –grafikus eljárás kisméretű gráfokra  1) Hozzárendelünk a kiinduló csomóponthoz 0-t, minden további csomóponthoz ∞ értéket.  2) Kezdjük az algoritmust a kiinduló ponttal. Vizsgáljuk meg minden egyes szomszédos csomópontját a kiinduló pontnak és számítsuk ki a távolságukat. Ha minden egyes szomszéd távolságát kiszámítottunk, akkor jelöljük meg a kiindulópontot.  3) A már megjelölt csomópont összes szomszédját megvizsgáljuk, először a kisebb távolságú csomópontok következnek. Amennyiben a kiszámított távolság kisebb, mint a csomóponton szereplő, az előzőekben számított érték, akkor írjuk be a kisebbet.  4) Ismét 3) addig, amíg minden csomópontot meg nem vizsgáltunk.

41 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 41. Legrövidebb út Dijkstra  1) Hozzárendelünk a kiinduló csomóponthoz 0-t, minden további csomóponthoz ∞ értéket. Kezdjük az algoritmust a kiinduló csomóponttal.  2) Vizsgáljuk meg minden egyes szomszédos csomópontját a vizsgálandó csomópontnak és számítsuk ki a távolságukat. Ha minden egyes szomszéd távolságát kiszámítottunk, akkor jelöljük meg a vizsgált pontot.  3) A megjelöletlen csomópontok halmazából azon csomóponttal haladunk tovább, melyiknek a kezdőponttól számított távolsága a legkisebb.  4) Ismét 2) addig, amíg minden csomópontot meg nem vizsgáltunk.

42 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 42. Legrövidebb út ∞ ∞ ∞∞ 0

43 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 43. Legrövidebb út B A D EC

44 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 44. Legrövidebb út A O BDT EC BDT A BDT ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞

45 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 45. Legrövidebb út Bellman-Ford  1) Hozzárendelünk a kiinduló csomóponthoz 0-t, minden további csomóponthoz ∞ értéket.  2) Az élekre felveszünk önkényesen egy feldolgozási sorrendet.  3) Az élek feldolgozási sorrendjének megfelelően kiszámítjuk minden él végződésénél lévő csomópont távolságát a kezdőpont adatainak alapján.  4) Ismét 3) addig, amíg nem konvergál az algoritmus megoldáshoz.

46 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 46. Legrövidebb út B A CD E

47 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 47. Legrövidebb út z u xy v

48 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 48. Szomszédsági mátrix és lista irányítatlan

49 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 49. Szomszédsági mátrix és lista irányított 21 43

50 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 50. Súlymátrix irányított

51 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 51. Legrövidebb út Floyd-Warshall (Bernard Roy) –  1) A hálózat súlymátrixában legyen minden a i,j =∞ ha a i,j =0. kivéve, ha a i,i =0, ekkor tartsa meg értékét (alternatív mo.)  2) Hajtsuk végre az alábbi műveletet:  3) Ismét 2) n alkalommal (k=1…n).

52 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 52. Legrövidebb út R(1)U(4) T(3)S(2)

53 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 53. Legrövidebb út A(1) B(2) C(3) D(4)E(5)

54 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 54. Vágás, üres vágás Legyen N két diszjunkt halmazra particionálva, S és T-re úgy, hogy és s  S és t  T. Jelöljük (S,T)-vel azon élek összességét, melyek S-ből indulnak és T-be érkeznek. Ezt az (S,T) élhalmazt az (N,A) gráf s és t pontjait elválasztó vágásának nevezzük. Ha ez a vágás nem tartalmaz élt, akkor a vágás üres. A vágás mindig irányított.  A vágás a P(s,t) útvonalból tartalmaz legalább egy élt.

55 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 55. Vágás (S,T) t s 10

56 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 56. Maximális folyam-minimális vágás Bármely olyan hálózatra, amelyben egyetlen forrás és nyelő van, a forrástól a nyelőig haladó maximális megengedett áram (folyam) egyenlő a hálózat összes vágása értékének a minimumával. A gráfon létezik út s pontból t pontba, vagy létezik olyan, a két pontot elválasztó vágás, amely üres (Minty).

57 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 57. Létezik-e út? Cimkézési technika  1) S  N halmaz minden pontja elérhető s pontból, T  N halmaz tartalmazza a vizsgálatra váró pontokat.  2) A pontot, amely nem tartozik S halmazba és a pontból vezet él T halmaz pontjaiba, cimkézzük meg. A cimkéje legyen az a pont, amely pontból ide eljutottunk, negatívelőjellel.  3) A cimkézett pontokkal bővítsük az S halmazt és változtassuk a cimkéjét pozitívra.  4) Ismét 2) amíg el nem jutunk a végpontba. Ha nem sikerül, akkor a két halmaz között nincs él, azaz az (S,T) vágás üres.

58 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 58. Létezik-e út? Struktúra táblázat

59 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 59. Létezik-e út? Grafikus megoldás

60 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 60. Maximális folyam Ford-Fulkerson  1) Keressünk egy (szigorúan) pozitív áramlási kapacitású útvonalat a forrástól a nyelőig.  2) Keressük meg ebben az útvonalban a legkisebb áramlási kapacitást és növeljük meg ezzel az értékkel az útvonalon az áramot.  3) Csökkentsük a fenti értékkel az útvonal minden élén a megmaradó áramlási kapacitást és növeljük meg az útvonal minden élén a megmaradó áramlási kapacitást az ellenkező irányban.  4) Ismét 1) addig, amíg már nem található pozitív áramlási kapacitású útvonal.

61 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 61. Maximális folyam A O BDT EC BDT A BDT

62 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 62. Maximális folyam

63 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 63. Primál-duál feladatpár CPM/time primál: mi az a potenciálrendszer és időpolitika, amely lehetséges, és kedvező?  π j -π i ≥τ i,j,  π t -π s → minimális CPM/time duál: mennyi idő alatt lehet végrehajtani a projektet?  P={s≡0,1,…i…m≡t} → maximális

64 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 64. Leghosszabb út Primál-duál algoritmus I.  1) Osszuk N halmazt két diszjunkt S, T halmazra.  2) S: π j -π i ≥τ i,j, legyen olyan P(s,i) út, amely mentén π j -π i =τ i,j, minden (i,j)  P, (i,j)  S; nincs olyan (i,j)  A, hogy j  S és i  T.  3) Bővítjük S halmazt olyan ponttal, amelybe csak S-ből vezet út: π j =max(π i +τ i,j ).  4) Ismét 3), amíg S≡N.

65 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 65. Leghosszabb út Primál-duál algoritmus II.  1) Osszuk N halmazt két diszjunkt S, T halmazra.  2) T: π j -π i ≥τ i,j, legyen olyan P(j,t) út, amely mentén π j -π i =τ i,j, minden (i,j)  P, (i,j)  T; nincs olyan (i,j)  A, hogy j  S és i  T.  3) Bővítjük T halmazt olyan ponttal, amelyből csak T-be vezet út: π i =max(π j -τ i,j ).  4) Ismét 3), amíg T≡N.

66 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 66. Leghosszabb út Állítsa elő az alábbi háló súlymátrixát (W)!

67 2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 67. Leghosszabb út (I. algoritmussal)


Letölteni ppt "2010. ősz Dr. Sebestyén Zoltán 1. Projektmenedzsment gráf  súlyozott  irányított  összefüggő (de ritkán erősen összefüggő)  nincs izolált csomópontja."

Hasonló előadás


Google Hirdetések