Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Gazdasági matematika előadások, konzultációk Sorozatok, Függvények határértéke, folytonossága, Differenciálszámítás.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Gazdasági matematika előadások, konzultációk Sorozatok, Függvények határértéke, folytonossága, Differenciálszámítás."— Előadás másolata:

1 Gazdasági matematika előadások, konzultációk Sorozatok, Függvények határértéke, folytonossága, Differenciálszámítás

2 2 SOROZATOK

3 3 Definíció: A sorozat olyan függvény, melynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (N). A számsorozatnak az értékkészlete a valós számok részhalmaza. Jelölések: a: N  R, n  a n. A sorozat n-edik tagja a n, az egész sorozat (a n ). Sorozat megadása: képlettel, leírással, rekurzív módon (pl. Fibonacci). Alapfogalmak

4 4 Tulajdonságok Definíció: Az (a n ) sorozat monoton növekvő, ha  n  N esetén a n  a n+1. (Szigorúan). Definíció: Az (a n ) sorozat monoton csökkenő, ha  n  N esetén a n  a n+1. (Szigorúan). Definíció: Az (a n ) sorozat alulról korlátos, ha  m  R, melyre  n  N esetén a n  m. Ekkor m alsó korlát. Definíció: Az (a n ) sorozat felülről korlátos, ha  M  R, melyre  n  N esetén a n  M. Ekkor m felső korlát. Definíció: Az (a n ) sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.

5 5 Feladat Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából:

6 6 Konvergens sorozatok Definíció: Az (a n ) sorozatnak van határértéke, és az az A  R szám, ha   R + számhoz  n 0 (  )  R küszöbszám, hogy  n>n 0 (  ) és n  N esetén |a n -A|< . Jelölés: lim a n =A, vagy a n  A. Definíció: Egy sorozat konvergens, ha van határértéke, és divergens, ha nincs. Feladat: Vizsgáljuk meg az előbbi sorozatokat határérték szempontjából.

7 7 Tulajdonságok Tétel: Egy sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Tétel: Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is egyben. Tétel: Minden monoton és korlátos sorozat konvergens. Műveletek konvergens sorozatokkal : Számszoros, összeg, különbség, szorzat, hányados, hatvány.

8 8 Divergens sorozatok Definíció: Az a n sorozat a végtelenbe tart, ha  K  R számhoz  M 0  R küszöbszám, hogy  n> M 0 és n  N esetén a n >K. Jelölés: lim a n = , vagy a n . Definíció: Az a n sorozat a mínusz végtelenbe tart, ha  K  R számhoz  m 0  R küszöbszám, hogy  n>m 0 és n  N esetén a n

9 9 Nevezetes sorozatok határértékei Feladat: Vizsgálja meg a következő sorozatokat határérték szempontjából a nevezetes sorozatok és a tételek segítségével:

10 10 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA

11 11 Példák: Végtelenben vett véges határérték

12 12 Végtelenben vett véges határérték Definíció: Az f függvénynek határértéke a  -ben az A valós szám, ha   R + számhoz  M 0  R küszöbszám, hogy  x>M 0 és x  D f esetén |f(x)-A|< . Jelölés: Hasonlóan definiálható a -  -ben vett határérték.

13 13 Végtelenben vett végtelen határérték Példák:

14 14 Végtelenben vett végtelen határérték Definíció: Az f függvénynek határértéke a  -ben a , ha  K  R számhoz  M 0  R küszöbszám, hogy  x>M 0 és x  D f esetén f(x)>K. Jelölés: Hasonlóan definiálható a  -ben vett - , a -  -ben vett  és a -  vett -  határérték.

15 15 Műveletek végtelenben vett határértékkel rendelkező függvényekkel A konvergens sorozatoknál megismert műveletekre vonatkozó tételek (számszoros, összeg, különbség, szorzat, hányados, hatvány) függvények esetében is érvényesek maradnak. Nevezetes függvények határértékei Végtelenben vett határértékek:

16 16 Feladat Határozzuk meg a következő függvény határértékeket:

17 17 Véges helyen vett véges határérték Példa: 

18 18 Véges helyen vett véges határérték Definíció: Az a pont az f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja, ha    R + szám esetén van az értelmezési tartománynak a-nak  sugarú környezetében a-n kívül pontja. (Nem kell, hogy a feltétlenül eleme legyen az értelmezési tartománynak). Definíció: Az f függvény értelmezési tartományának a torlódási pontjában a határértéke az A valós szám, ha   R + számhoz   R + küszöbszám, hogy  |x-a|< , x  D f és x  a esetén |f(x)-A|< . Jelölés:

19 19 Véges helyen vett végtelen határérték Példa:

20 20 Véges helyen vett végtelen határérték Definíció: Az f függvény értelmezési tartományának a torlódási pontjában a határértéke , ha  M 0  R + valós számhoz   R + valós szám, hogy  |x-a| M 0. Jelölés: Hasonlóan definiálható az a-ban vett -  határérték. Bal és jobboldali határértékek

21 21 Függvények folytonossága Definíció: Az f függvény az értelmezési tartományának a pontjában folytonos, ha a-ban a függvénynek létezik véges határértéke és ez megegyezik a függvény a pontjában felvett függvényértékkel. Definíció: Az f függvény folytonos, ha az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Tétel: Ha f és g folytonos az a pontban, akkor is folytonos a-ban. Tétel: Ha g folytonos a-ban és f folytonos g(a)-ban, akkor f(g(x)) is folytonos a-ban. Megjegyzés: Az elemi függvények folytonosak.

22 22 Feladat Határozzuk meg a következő véges helyen vett határértéket: Vizsgáljuk meg a következő függvényt folytonosság szempontjából:

23 23 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

24 24 A differenciahányados, és a differenciahányados függvény Definíció: Az f függvény a  D f és x  D f pontjaihoz tartozó differenciahányadosa az hányados. Definíció: Az f függvény a  D f pontjához tartozó differenciahányados függvénye a függvény. Definíció: Az a  D f pont az értelmezési tartomány belső pontja, ha   R + valós szám, hogy a-nak a  sugarú környezete benne van az értelmezési tartományban.

25 25 A differenciálhányados és a deriváltfüggvény Definíció: Az f függvény az értelmezési tartomány a belső pontjában differenciálható, ha létezik a határérték és ez véges. Ez a határérték az f függvény a pontjához tartozó differenciálhányadosa, vagy deriváltja. Szemléletes jelentése az (a;f(a)) pontba húzott érintő meredeksége. Példa: f(x)=x 2 az a=0,5, majd tetszőleges a helyen. Definíció: Az f függvény derivált függvénye az értelmezési tartomány azon pontjaihoz, ahol a függvény differenciálható, a deriváltak értéket rendeli hozzá. Jelölés: f’(x)

26 26 Elemi függvények derivált függvényei

27 27 Deriválási szabályok Tétel: Legyen f és g differenciálható az a pontban. Ekkor: a) cf is differenciálható a-ban tetszőleges c-re és (cf)’(a)=cf’(a) b) f±g is differenciálható a-ban és (f ±g)’(a)=f’(a)±g’(a) c) fg is differenciálható a-ban és (fg)’(a)=f’(a)g(a)+f(a)g’(a) d) g(a)  0 esetén is differenciálható a-ban és

28 28 Feladat Határozzuk meg a következő függvények derivált függvényét:

29 29 Differenciálható függvények vizsgálata Legyen f(x) [a,b]-n folytonos és (a,b)-n differenciálható. Tétel: f(x) monoton növekvő [a,b]-n   x  (a,b)-re f’(x)  0. Tétel: f(x) monoton csökkenő [a,b]-n   x  (a,b)-re f’(x)  0 Legyen f(x) a egy környezetében differenciálható Tétel: f(x)-nak a-ban helyi szélsőértéke van  f’(a)=0 Tétel: f’(a)=0 és f’(x) előjelet vált a-ban  f(x)-nak a-ban helyi szélsőértéke van (+0- esetén helyi maximum, -0+ esetén helyi minimum)

30 30 Differenciálható függvények vizsgálata Legyen f(x) (a,b)-n kétszer differenciálható Tétel: f(x) konvex (a,b)-n   x  (a,b)-re f’’(x)>0 [  f’(x) monoton növekvő [a,b]-n] Tétel: f(x) konkáv (a,b)-n   x  (a,b)-re f’’(x)<0 [  f’(x) monoton csökkenő [a,b]-n] Legyen f(x) a egy környezetében kétszer differenciálható Tétel: f’’(a)=0 és f’’(x) előjelet vált a-ban  f(x)-nak a-ban inflexiós pontja van

31 31 Teljes függvényvizsgálat Vizsgálja meg az alábbi függvényeket:

32 32 Az f(x) függvény

33 33 A g(x) függvény


Letölteni ppt "Gazdasági matematika előadások, konzultációk Sorozatok, Függvények határértéke, folytonossága, Differenciálszámítás."

Hasonló előadás


Google Hirdetések