Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Hasonlóság Hasonlósági transzformáció ismétlése

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Hasonlóság Hasonlósági transzformáció ismétlése"— Előadás másolata:

1 Hasonlóság Hasonlósági transzformáció ismétlése

2 Középpontos hasonlósági transzformáció Adott a síkon egy O pont (középpont) és egy k pozitív szám. Rendeljük O-hoz önmagát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P’ pontját, hogy OP’ = k · OP legyen.

3 Középpontos hasonlósági transzformáció Pont transzformálása Síkidomok transzformálása

4 A középpontos hasonlóság tulajdonságai aránytartó, szögtartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedés tartó, körüljárási irány tartó, nem távolságtartó (kivéve a |k|=1 esetet). A középpontos hasonlóság fix pontja: a középpont, fix egyenese nincs, invariáns egyenesei a középponton áthaladó egyenesek.

5 Hasonlóság Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek középpontos hasonlóság és egybevágóság véges sokszor történő egymás utáni végrehajtásával keletkeznek. Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABC  ~ PQR  ).

6 Az ábrán az ABC háromszöget P pontból nagyítottuk. Megmértük a táblázatban szereplő adatokat és meghatároztuk a megfelelő arányokat. Ezt az arányt nevezzük a hasonlóság arányának (k vagy : ún arányossági tényező) a=3,1 cmb=3,8 cmK=9,3 cmm a =2,35 cmT=3,6 cm 2 a’=6,2 cmb’=7,6 cmK’=18,6 cmm a ’=4,7 cmT’=14,4 cm 2 = 2 =k = 4 =k 2 a’ a b’ b K’ K ma’mama’ma T’ T Ha egy síkidomot k-szorosára nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor ▪ minden távolságadata k-szorosára változik, ▪ területe k 2 -szeresére változik.

7 Tudjuk, hogy hasonló síkidomok megfelelő szakaszainak aránya egyenlő. A háromszögek esetén ez megfordítható állítás. És a sokszögeknél? A definíció szerint két síkidom akkor hasonló, ha van olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. Sokszögek hasonlósága Megfelelő oldalak aránya egyenlő Megfelelő szögek egyenlők Nem!!!

8 Hasonló síkidomok területe, hasonló testek térfogata A sokszögeket mindig felbonthatjuk háromszögekre, így elég vizsgálni, hogy hasonlóság alkalmazásakor a háromszögek területével mi történik. k-szoros hasonlóság esetén a távolságadatok mindegyike, így az oldal és a hozzá tartozó magasság is k-szorosra változik. A háromszög területe k 2 - szeresére változik. Ez általában igaz a síkidomokra is. Ha a kocka éleit k-szorosára nagyítjuk vagy kicsinyítjük, térfogata így alakul: Nem csak a kockákra igaz, hanem az összes testre: k-szoros hasonlóság esetén a térfogat k 3 - szorosra változik.

9 k-arányú hasonlóság T T ’ = k 2 · T A A ’ = k 2 · A V V ’ = k 3 · V ebtn=1

10 Tudjuk, hogy hasonló síkidomok megfelelő szakaszainak aránya egyenlő. A háromszögek esetén ez megfordítható állítás: ha a háromszögek megfelelő oldalainak aránya egyenlő, akkor hasonlók. Két háromszög hasonló, ha  megfelelő oldalainak aránya megegyezik;  két-két szögük páronként egyenlő;  két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik;  két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik. Két háromszög hasonló, ha  megfelelő oldalainak aránya megegyezik;  két-két szögük páronként egyenlő;  két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik;  két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik. Háromszögek hasonlóságának alapesetei

11 Mintapélda Egy trapéz két alapja 16 és 10 cm. Milyen arányban osztják egymást az átlók? Megoldás: Az átlók metszéspontjánál keletkezik két olyan háromszög, amelyeknek egyik oldala a trapéz alapja. Ezek a háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők (P-nél csúcsszögek, váltószögek): APB  ~ CPD .. x és y éppen egy átló két darabja, és az arány mindkét átlóra fennáll. Egyszerűsítve a törtet a keresett arány tehát 8 : 5. A hasonlóság miatt a megfelelő oldalak aránya egyenlő:

12 Mintapélda Egy kocka minden élét a kétszeresére változtatjuk. 1.Hogyan változik az alaplapjának területe? 2.Hogyan változik a kocka felszíne? 3.Hogyan változik a kocka térfogata? Megoldás: 1. A nagyított kocka hasonló lesz az eredetihez. A hasonlóság aránya: k=2 Tehát az alaplap területe a k 2 -szeresére, azaz a négyszeresére változik. 2. A felszín k 2 -szeresére, azaz a négyszeresére nő. 3. A térfogat a k 3 -szorosára, azaz a nyolcszorosára nő.

13 Mintapélda Egy kocka élei 3 centiméteresek. Egy nagyobb kocka térfogata 216cm 3. 1.Mekkora a hasonlóság aránya? 2.Milyen arány van a kockák felszíne közt? 3.Milyen arány van a kockák tértogata közt? Megoldás: 1. V=3 3 =27 cm 3 V’= 216 cm 3 A hasonlóság aránya: k = V’/V =216/27 = 8 2. A felszínek aránya: A’/A = k 2 = A térfogatok aránya: V’/V = k 3 = 512

14 Mintapélda Osszál fel egy tetszőleges szakaszt 5 egyenlő részre szerkesztéssel! Megoldás: Megoldás: (a 15.)

15 Mintapélda Határozd meg az ábrán szereplő háromszög BC oldalának hosszát, ha BC párhuzamos ED-vel! Megoldás: Megoldás: (11.)

16 Mintapélda Határozza meg a satírozott ponthalmaz területét, ha tudjuk, hogy k  l.


Letölteni ppt "Hasonlóság Hasonlósági transzformáció ismétlése"

Hasonló előadás


Google Hirdetések