Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2005. Információelmélet Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2005. Információelmélet Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás."— Előadás másolata:

1 2005. Információelmélet Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás

2 Széchenyi István Egyetem 2 Egy c =( c 0, c 1, …, c n−2, c n−1 ) vektor ciklikus eltoltjá n az vektort értjük. Egy K kód ciklikus, ha minden c  K-ra S c  K: minden kódszó ciklikus eltoltja is kódszó. A ciklikus kódok nem feltétlenül lineárisak: Ha például K={0 0 0, 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1}, a kód ciklikus, de a második és harmadik kódszó összege már nem kódszó, így K nem lineáris tér, a kód nem lineáris kód. Ciklikus eltolás Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

3 Széchenyi István Egyetem 3 Legyen p 0, p 1, p 2, …, p m  GF(N), t  GF(N), ekkor a kifejezés a GF(N) véges számtest feletti m- edfokú polinom. A polinom fokszámára a jelölést használjuk. Egy p(t) polinom akkor és csak akkor egyenlő egy p’(t) polinommal, ha minden együtthatójuk azonos, azaz ha p i = p’ i  i-re. Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

4 Széchenyi István Egyetem 4 Legyen p( t ) és q( t ) a GF(N) véges számtest feletti polinomok, a két polinom r( t )=p( t )+q( t ) összege az a polinom, amelynek az együtthatói az r i = p i + q i szabály szerint állnak elő minden i-re. Az összeadás természetesen a GF(N)-beli mod N összeadás. Ha deg p( t ) = m, deg q( t ) = n, akkor deg r( t ) ≤ max(m,n). Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

5 Széchenyi István Egyetem 5 a két polinom r( t )=p( t )  q( t ) szorzata egy olyan polinom, melynek az együtthatói az formula szerintiek minden i-re. A formula úgy keletkezett, hogy a p( t ) polinom minden tagját összeszorozzuk a q( t ) polinom minden tagjával, s az így kapott kifejezés tagjait fokszámuk szerint csoportosítjuk és összevonjuk. Ha deg p( t ) = m, deg q( t ) = n, akkor deg r( t ) ≤ m+n. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

6 Széchenyi István Egyetem 6 Legyen p( t ) és q( t ) a GF(N) véges szám- test feletti polinomok, deg p( t ) > deg q( t ). Ekkor p( t )-t q( t )-vel a következőképpen kell maradékosan elosztani : 1.Ha deg p( t ) = m és p( t ) m-edfokú tagjának együtthatója p m, ill. deg q( t ) = n és q( t ) n-edfokú tagjának együtthatója q n, szorozzuk meg q( t )-t Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

7 Széchenyi István Egyetem 7 2.Vonjuk ki az így kapott polinomot p( t )- ből, a maradék s (m−1) ( t ) fokszáma legfeljebb m−1. 3.Az 1.—2. lépést ismételjük úgy, hogy az 1. lépésben p( t ) helyére mindig az előző körből származó s (m) ( t )-t írjunk. Ha a 2. lépés végén kapott s (m−1) ( t ) maradék fokszáma kisebb, mint q( t ) fokszáma, n, megállunk. A végeredmény: Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

8 Széchenyi István Egyetem 8 A végeredmény: A számok maradékos osztásának mintájára bevezetjük a jelölést. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

9 Széchenyi István Egyetem 9 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )=3t 4 +t 3 +4t 2 +5 és q( t )=t+3, osszuk el p-t q-val a teljes számegyenes felett: Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

10 Széchenyi István Egyetem 10 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )=3t 4 +t 3 +4t 2 +5 és q( t )=t+3, osszuk el p-t q-val a GF(11) véges számtest felett: Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

11 Széchenyi István Egyetem 11 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )=3t 4 +t 3 +4t 2 +5 és q( t )=2t 2 +t+3, osszuk el p-t q-val a GF(7) véges számtest felett: Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

12 Széchenyi István Egyetem 12 A p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom gyökei, vagy zérushelyei azok a t i  GF(N) számok, amelyekre Egy polinom gyökeinek a száma nem nagyobb, mint a fokszáma. Ha t i gyöke p( t )-nek, akkor Egy p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom gyöktényezős alakja Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

13 Széchenyi István Egyetem 13 Egy p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom irreducíbilis, ha nincsenek olyan q( t ) és r( t ) ugyanazon GF(N) Galois-test feletti polinomok, amelyeknek kisebb a fokszáma, mint p( t )-nek és amelyek teljesítik a feltételt. Megjegyzés: az egységpolinom természetesen minden polinomnak osztója, de ha q(t) vagy r(t) egységelem, akkor a másik a p(t), amelynek nem kisebb a fokszáma, mint p(t)-nek. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

14 Széchenyi István Egyetem 14 Analógia – prímszámok: N prím, ha nincsenek olyan nála kisebb M és K természetes számok, amelyekre N=M  K. N prímszám GF(N) véges test P( t ) irreducíbilis GF(P( t )) véges test polinom (GF(N M ) véges test) Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról

15 Széchenyi István Egyetem 15 Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Legyen P( t ) egy a GF(N) véges számtest feletti M-edfokú irreducíbilis polinom. Értelmezhető egy GF(P( t )) polinom- Galois-test melynek az elemei legfeljebb M  1-edfokú polinomok, és az elemek közötti összeadás és szorzás a következőképpen zajlik: Egy p( t ) és egy q( t ) GF(N) feletti, legfeljebb M  1-edfokú polinomok összege az az r( t ) szintén GF(N) feletti, legfeljebb M  1-edfokú polinom, amelyre Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

16 Széchenyi István Egyetem 16 Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Legyen P( t ) egy a GF(N) véges számtest feletti M-edfokú irreducíbilis polinom. Értelmezhető egy GF(P( t )) polinom- Galois-test melynek az elemei legfeljebb M  1-edfokú polinomok, és az elemek közötti összeadás és szorzás a következőképpen zajlik: Egy p( t ) és egy q( t ) GF(N) feletti, legfeljebb M  1-edfokú polinomok szorzata az az r( t )  GF(P( t )) polinom, amelyre Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

17 Széchenyi István Egyetem 17 A GF(P( t )) polinom-Galois-test elemei között ugyanúgy definiálható nullelem és egységelem, mint a véges számtestekben A nullelem egy olyam polinom, amelynek minden együtthatója 0, azaz olyan z( t )=z 0 + z 1 t +z 2 t 2 +…+z M  1 t M  1, amelyre z i =0 minden i-re. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről

18 Széchenyi István Egyetem 18 Az egységelem egy olyam polinom, amelynek az első (nulladfokú) együtthatója 1, a többi együtthatója 0, azaz olyan e( t )=e 0 + e 1 t +e 2 t 2 +…+e M  1 t M  1, amelyre e 0 =1, és e i =0 minden i ≥ 1-re. A szorzó- és összeadótábla a számtestekkel analóg módon elkészíthető és belőlük az ellentett- és inverz polinompárok leolvashatók. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről

19 Széchenyi István Egyetem 19 Egy c =( c 0, c 1, …, c n−2, c n−1 ) vektor ciklikus eltoltjá n az vektort értjük. Egy K kód ciklikus, ha minden c  K-ra S c  K: minden kódszó ciklikus eltoltja is kódszó. Rendeljünk az egyes kódszavakhoz polinomokat a következő szabály szerint. Ebben a reprezentációban a ciklikus eltolás t-vel való modulo (t n  1) szorzás. Ciklikus kódok – ciklikus eltolás Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

20 Széchenyi István Egyetem 20 Ciklikus eltolás: t-vel való szorzás: A c’( t ) polinom fokszáma n  1, kisebb, mint t n  1 fokszáma, így c”( t )-nek csak a második tagját lehet elosztani ( t n  1)-nel, a maradéka pedig 0, így a ciklikus eltolás polinom reprezentációban valóban t-vel való modulo ( t n  1) szorzásnak felel meg. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Ciklikus kódok – ciklikus eltolás

21 Széchenyi István Egyetem 21 Generátorpolinom Polinomos reprezentációban egy lineáris ciklikus kód kódszavai között van egy minimális fokszámú, de nem nulladrendű, amelynek a legmagasabb fokú kitaevője 1. Ez a polinom a kód generátorpolinom ja, fokszáma n  k. A generátorpolinom jele g( t ) Egy c i ( t ) polinom akkor és csak akkor kódszópolinom, ha a g( t ) maradék nélküli osztója c i ( t )-nek, így Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

22 Széchenyi István Egyetem 22 Generátorpolinom Egy c i ( t ) polinom akkor és csak akkor kódszópolinom, ha a g( t ) maradék nélküli osztója c i ( t )-nek, így Tehát minden kódszó ebből a generátor- polinomból áll elő ciklikus eltolással (t-vel való mod t n  1 szorzással), illetve a ciklikus eltoltak lineáris kombinációjaként. Emlékeztető: a vektoros tárgyalásnál volt, most is  i ( t ) a fenti vektornak megfeleltetett polinom. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

23 Széchenyi István Egyetem 23 Generátormátrix A generátormátrix előáll a generátorpolinom együtthatóiból, minden sora a generá- torpolinom egy-egy ciklikus eltoltja: k db nulla A generátormátrix polinom-megfelelője után megkeressük a paritásellenőrző mátrix polinom párját. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

24 Széchenyi István Egyetem 24 A generátorpolinom mindig osztója t n  1- nek. Bizonyítás: a generátorpolinom n−k-adfokú: k−1-edik és k-adik ciklikus eltoltja: illetve a k-adik: Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Generátorpolinom

25 Széchenyi István Egyetem 25 illetve a k-adik eltolt amely kifejezhető a k−1-edik ciklikus eltolttal: Mivel ciklikus kód, minden kódszó minden ciklikus eltoltja is kódszó, a generátorpolinom k−1-edik és k-adik ciklikus eltoltja is kódszópolinom. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Generátorpolinom

26 Széchenyi István Egyetem 26 Mivel ciklikus kód, minden kódszó minden ciklikus eltoltja is kódszó, a generátor- polinom k−1-edik és k-adik ciklikus eltoltja is kódszópolinom. A kódszópolinomoknak osztója g(t), így g’( t )-nek és g’’( t )-nek is osztója, így az első tagnak, (t n −1)-nek is osztója g(t). A ( t n −1)-nek minden irreducíbilis osztópolinomja egy-egy ciklikus kód generátorpolinomja. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Generátorpolinom

27 Széchenyi István Egyetem 27 Paritásellenőrző polinom A g( t ) generátorpolinomú ciklikus kódok paritásellenőrző polinomja Ezzel a polinommal megszorozva minden érvényes kódszó 0-t ad (moduló t n −1), mivel a kódszavak felírhatók alakban, a generátor- és paritásellenőrző polinom szorzata pedig így Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

28 Széchenyi István Egyetem 28 Paritásellenőrző polinom A szabványokban a ciklikus kódokat generátorpolinomukkal vagy paritásellenőrző polinomukkal szokták megadni. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

29 Széchenyi István Egyetem 29 Példa: Legyen n=7, N=2 (azaz bináris kód), a polinom osztópolinomjai: 1.a t  1 minden t n  1 alakú polinom osztója: és bináris esetben a maradék mindig ilyen alakú lesz Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Paritásellenőrző polinom

30 Széchenyi István Egyetem 30 A második tényező nem osztható t -vel, t +1 -gyel, t 2 + t +1 -gyel (a t 2 +1 a t +1 négyzete, a t 2 + t pedig a t-vel vett szorzata, nem irreducíbilisek), így a harmadfokú polinomok között érdemes keresgélni irreducíbilis osztót a második tényezőhöz. (Negyedfokú osztóval nem kell foglalkozni, mert annak a párja másodfokú lenne ahhoz, hogy a hatodfokú polinomot megkapjuk.) Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Paritásellenőrző polinom

31 Széchenyi István Egyetem 31 A t 3 + t 2 + t +1 nem osztó, próbáljuk a t 3 + t 2 +1-et: 2.Ez a két harmadfokú polinom irreducíbilis, sem t, sem t +1, sem pedig t 2 + t +1 nem osztójuk, más bináris, háromnál kisebb fokú irreducíbilis polinom pedig nincs. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Paritásellenőrző polinom

32 Széchenyi István Egyetem 32 Példa: Legyen n=7, N=2 Legyen ezek közül a generátorpolinomunk a t 3 + t harmadfokú polinom. Ekkor 3 a paritásszegmens hossza, 7  3=4 az üzenetszegmens hossza. A generátormátrix: Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Paritásellenőrző polinom

33 Széchenyi István Egyetem 33 Példa: Legyen n=7, N=2 a generátorpolinom pedig: Legyen a 4 hosszúságú kódolandó üzenetünk b =( ). A generátormátrixszal vett szorzata, azaz a hozzá rendelt kódszó: Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Paritásellenőrző polinom

34 Széchenyi István Egyetem 34 Példa: Legyen n=7, N=2 a generátorpolinom pedig: Legyen a 4 hosszúságú kódolandó üzenetünk b =( ). Az üzenethez rendelt b(t) polinom: b( t ) = t A kapott kódszópolinom: Ebből a kapott kódszó: A két módszer azonos eredményre vezet. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Paritásellenőrző polinom

35 Széchenyi István Egyetem 35 A kapott kódszó: A paritásellenőrző polinom A kódszó szindrómája valóban nulla: Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Paritásellenőrző polinom

36 Széchenyi István Egyetem 36 A nem nulla szindrómájú vektorokat táblázat alapján szokták javítani a legkisebb súlyú, velük azonos szindrómát adó hibapolinomokkal. A táblázat a következőképpen épül fel: Meghatározzák az összes lehetséges hibapolinom szindrómáját Csoportosítják az azonos szindrómájú hibamintázatokat (mellékosztályok). Kiválasztják közülük a minimális súlyút, ezt a szindrómák szerint táblázatba foglalják. Az adott szindróma esetén mindig a szindróma hibamintázatai közül a minimális súlyúval javítanak. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Paritásellenőrző polinom

37 Széchenyi István Egyetem 37 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy tetszőleges q( t ) Q-adfokú polinomnak egy adott p( t ) P-edfokú polinommal vett szorzata, s( t )= p( t )  q( t ) előállítható a következő léptetőregiszteres áramkörrel: Polinomszorzás áramkörökkel: Információelmélet – Ciklikus kódolás

38 Széchenyi István Egyetem 38 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Kiinduláskor minden tároló üres, majd a bementre rábocsátjuk a q( t ) polinom együtthatóit, a nulladfokútól kezdve fokszám szerint növekvő sorrenden Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3, p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 : Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel:

39 Széchenyi István Egyetem 39 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) nulladfokú együtthatója 3 Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3, p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 :

40 Széchenyi István Egyetem 40 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) elsőfokú együtthatója 11: 2t ∙1+3 ∙3t tagokból is 11t jön ki Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3, p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 :

41 Széchenyi István Egyetem 41 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) másodfokú együtthatója 7: t 2 ∙1+2t ∙3t tagokból is 7t 2 jön ki Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3, p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 :

42 Széchenyi István Egyetem 42 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) harmadfokú együtthatója 9 : t 2 ∙3t+3 ∙2t 3 tagokból is 9t 3 jön ki Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3, p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 :

43 Széchenyi István Egyetem 43 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) negyedfokú együtthatója 19: 2t ∙2t 3 +3 ∙5t 4 tagokból is 19t 4 jön ki Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3, p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 :

44 Széchenyi István Egyetem 44 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) ötödfokú együtthatója 12 t 2 ∙2t 3 +2t ∙5t 4 tagokból is 12t 5 jön ki Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3, p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 :

45 Széchenyi István Egyetem 45 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) hatodfokú együtthatója 5. Magasabb fokszámú együtthatója nincs, a következő lépésben minden tároló kiürül, a kimeneten nulla van. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3, p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 :

46 Széchenyi István Egyetem 46 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Ciklikus kódok – polinomszorzóval A kódszavak generálása áramkörökkel: A generártorpolinom segítségével: a b( t ) tömörített együtthatóiból a következő áramkörrel lehet a kódszópolinom együtthatóit megkapni: Információelmélet – Ciklikus kódolás

47 Széchenyi István Egyetem 47 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy tetszőleges s( t ) polinomot egy olyan adott p( t ) P-edfokú polinommal elosztva, melynek a főegyütthatója 1, a hányados és a maradék, az s( t )= p( t )  q( t ) + r( t ) formulát használva elő- állítható a következő visszacsatolt léptetőregiszteres áramkörrel: Polinomosztás áramkörökkel: Információelmélet – Ciklikus kódolás

48 Széchenyi István Egyetem 48 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A bemenetre s(t) együtthatóit fokszám szerint csökkenő sorrendbe kell beadni, az összes együttható beadása után a tárolókban a maradékpolinom együtthatói lesznek. Polinomosztás áramkörökkel: Információelmélet – Ciklikus kódolás

49 Széchenyi István Egyetem 49 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Megjegyzés: Egy tetszőleges s( t ) polinomot egy olyan adott p( t ) P-edfokú polinommal elosztva, melynek a főegyütthatója p P, az s( t )= p( t )  q( t ) + r( t ) formulát használva a következő léptetőregiszteres áramkörrel állítható elő: A bemenetre s(t) együtthatóit fokszám szerint csök- kenő sorrendben; végül a tárolókban a maradék. Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel:

50 Széchenyi István Egyetem 50 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2, p( t )= t 3 +2t 2 + t +3 Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel:

51 Széchenyi István Egyetem 51 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2, p( t )= t 3 +2t 2 + t +3

52 Széchenyi István Egyetem 52 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2, p( t )= t 3 +2t 2 + t +3

53 Széchenyi István Egyetem 53 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás q( t ) másodfokú együtthatója 3 : 3t 2 ∙p( t ) = 3t 5 +6t 4 +3t 3 +9t 2 levonva s( t )-ből a maradék: s (3) ( t ) =  3t 4  2t 3  5t 2 +2 Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2, p( t )= t 3 +2t 2 + t +3

54 Széchenyi István Egyetem 54 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás q( t ) elsőfokú együtthatója  3 :  3t ∙p( t ) =  3t 4  6t 3  3t 2  9t levonva s (4) (t) =  3t 4  2t 3  5t ből: s (3) ( t ) = 4t 3  2t 2 +9t +2 Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2, p( t )= t 3 +2t 2 + t +3

55 Széchenyi István Egyetem 55 Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás q( t ) nulladfokú együtthatója 4 : 4 ∙p( t ) = 4t 3 +8t 2 +4t +12 levonva s (3) ( t ) = 4t 3  2t 2 +9t +2-ből: s (2) ( t ) =  10t 2 +5t  10 Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2, p( t )= t 3 +2t 2 + t +3 ez kerül a regiszterekbe, mint maradék

56 Széchenyi István Egyetem 56 Alkalmazások – CRC-kódok A CRC-kódok (Cyclic Redundancy Check) kódokat hibajelzésre szokták használni a következő módokon: Az egyik eljárás szerint a már csatornakódolt üzenet hosszú szakaszait kódolják még egyszer, néhány paritásbitet tartalmazó ciklikus kóddal. Az üzenetszegmens több tízezer hosszúságú is lehet, a paritásszegmens néhány tíz (tipikusan 16 vagy 32) bitből áll. E kódolás célja az olyan hibák jelzése, amikor a vett szimbólum-sorozat egy az eredetitől eltérő érvényes kódszó, vagy egy ahhoz nagyon közeli szimbólumsorozat, amelyet a vevő hibásan dekódol. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

57 Széchenyi István Egyetem 57 Alkalmazások – CRC-kódok A CRC-kódok (Cyclic Redundancy Check) kódokat hibajelzésre szokták használni a következő módokon: Szintén ciklikus kódokat alkalmaznak visszacsatolt zajos csatornákban az ARQ rendszerekben. Ha a szindróma nem megfelelő, akkor a vevő automatikusan az üzenet megismétlését kéri (Automatic Repeat reQuest, ARQ). Az üzenet megismétlése történhet ugyanazzal a kódolással, vagy más, jobb kóddal. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

58 Széchenyi István Egyetem 58 Általában a következő 16 bites (bináris!) generátorpolinomokat használják (pl. CCITT; SNC 2653; INTEL és 8274; Signetics 2652): 32 bites bináris generátorpolinomok közül terjedt el (pl. INTEL 82586). Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Alkalmazások – CRC-kódok

59 Széchenyi István Egyetem 59 Az első polinomhoz tartozó legrövidebb érvényes kódszóhossz 32767, de ettől eltérő kódszóhossz alkalmazása sem jelent problémát, akkor rövidített ciklikus kódokat kapunk. Egy (n, k ) paraméterű K kód rövidített kódja l

60 Széchenyi István Egyetem 60 Alkalmazások – (23,12) Golay-kód A műholdas műsorszórásban a szolgáltatás azonosító- ját egy szisztematikus kóddal védik, melyről utóbb kiderült, hogy ciklikus kód generátorpolinommal. A generátormátrix (az üres helyeken 0-k vannak): Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

61 Széchenyi István Egyetem 61 Megjegyzés: A ciklikus kódok generálhatók szisztematikusan, azaz minden ciklikus kódhoz létezik egy neki megfelelő szisztematikus kód szisztematikus generátormátrixszal. A szisztematikus generátormátrix előáll egy ciklikus kód nem szisztematikus generátormátrixából úgy, hogy végrehajtjuk rajta a Gauss-elimináció lépéseit (balról jobbra, hogy egységmátrixot kapjunk a bal oldalra) Példa: t 3 +t 2 +1 polinom- ból előállt mátrix: Szisztematikus generálás Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

62 Széchenyi István Egyetem 62 Adott üzenethez természetesen a két kód esetén más és más kódszó fog tartozni, csak a kódszavak halmaza lesz azonos. A szisztematikusan generált ciklikus kódok azonban könnyen dekódolhatók. Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor- polinom, és -mátrix Paritás- ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás


Letölteni ppt "2005. Információelmélet Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás."

Hasonló előadás


Google Hirdetések