Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Többdimenziós valószínűségi eloszlások. Valamely kísérlettel kapcsolatban két valószínűségi változót tekintünk: Avalószínűségi vektorváltozó lehetséges.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Többdimenziós valószínűségi eloszlások. Valamely kísérlettel kapcsolatban két valószínűségi változót tekintünk: Avalószínűségi vektorváltozó lehetséges."— Előadás másolata:

1 Többdimenziós valószínűségi eloszlások

2 Valamely kísérlettel kapcsolatban két valószínűségi változót tekintünk: Avalószínűségi vektorváltozó lehetséges megvalósulásai az alakú számpárok. Hadiszkrét valószínűségi változók, akkor a vektorváltozóis diszkrét. A lehetséges értékeket számpárral jelöljük.

3 Annak valószínűsége, hogyazértékpárt veszi fel Avalószínűségek összességét akétdimenziós valószínűségi vektor valószínűségeloszlásának nevezzük. – Együttes eloszlás események teljes eseményrendszert alkotnak, így

4 Ha csak véges sok értéket vehet fel, akkor azt az alábbi táblázatba foglaljuk

5 Feladat: Egy kísérletben 1….10-ig választunk ki egy számot véletlenszerűen. legyen a parítás indikátora, azaz ha a kiválasztott szám páros,ha páratlan, pedig jellemezze a szám oszthatósági tulajdonságait,azaz ha a kihúzott szám prímszám,ha összetett és ha a kihúzott szám nem prím és nem összetett. Adja meg a valószínűségi változók együttes eloszlását.

6 Megoldás: Az eloszlás táblázata:

7 Az együttes eloszlás ismeretében meghatározhatók külön- külön a egyes valószínűségi változók eloszlásai. Ekkor beszélünk peremeloszlásról. Például ismeretében meghatározzuk a eloszlásokat. azt mutatja meg, hogy amilyen valószínűséggel veszi fel azértékettól függetlenül. Rögtön látható, hogy hasonlóan

8 Feladatunkban:

9 Valószínűségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye Definíció: kétváltozós függvényegyüttes eloszlásfüggvénye.

10 Feladatunk együttes eloszlása: Határozza meg az együttes eloszlásfüggvényt!

11 Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: 1. A függvény mindkét változójában monoton nő legalább egyik változójában balról folytonos.

12 Peremeloszlás: Tekintsük az alábbi függvényeket: diszkrét valószínűségi vektor hez tartozó, hoz tartozó peremeloszlásfüggvények.

13 Feladatunkban:

14 Valószínűségi változók függetlenége Definíció: függetlenek, ha minden valósra fennáll, hogy azaz

15 Tétel: Ha valószínűségi változók függetlenek, akkor bárhogyan is választjuk ki azésintervallumokat, az és események szorzatának valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségének szorzatával.

16 Tétel: Ha diszkrét valószínűségi vektor, akkor függetlenségéhez szükséges és elégséges legyen, ahol végigfutnak ésösszes lehetséges értékén.

17 Tétel: Hadiszkrét valószínűségi vektor és tetszőleges függvény (pl. összegzés), akkor a valószínűségi változó eloszlását a alakú összegek adják, ahol az összegzést minden olyan számpárra el kell végezni, amelyre (Azértékpárok lehetséges értékei.)

18 Valószínűségi változók összege Legye diszkrét valószínűségi változó, melynek lehetséges értékei x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2 p 1 =0,5; p 2 =0,2; p 3 =0,3 valószínűségekkel. Legyen a második valószínűségi változó is diszkrét és teljesen független -től. Lehetséges értékei y 1 =0 és y 2 =2 q 1 = 0,4 és q 2 = 0,6 valószínűségekkel. Határozza megeloszlását. Legyen

19 A valószínűségi változó tehát a következő értékeket veheti fel: Tudjuk, hogy a valószínűségi változó eseményei függetlenek a valószínűségi változó eseményeitől, így

20 A valószínűségi változó lehetséges értékei a megfelelő valószínűségekkel Az összeg eloszlása

21 Várható érték és szórás Hadiszkrét valószínűségi változók és tetszőleges függvény, akkor avárható értéke (Azszámpároklehetséges értékeit jelentik. Tétel:

22 Feladatunkban: Világos, hogy:

23 Tétel: Független valószínűségi változók esetén Feladatunkban: Fordítva nem igaz az állítás, azaz, ha teljesül az egyenlőség nem biztos, hogy függetlenek a valószínűségi változók. Erre mutatunk példát a következőkben.

24 Példa: Legyenekdiszkrét valószínűségi változók lehetséges értékei Tegyük fel, hogy egyenlő valószínűséggel veheti fel ezek bármelyikét. Határozza meg értékeket és vizsgálja a változók függetlenségét. Eloszlástábla:

25 Tétel: Független valószínűségi változók esetén Feladatunkban:

26 Korrelációs együttható A valószínűségi változók között többnyire sztochasztikus kapcsolat van. Definíció: Legyenekvalószínűségi változók, melyeknek létezik szorzat várható értékét, ha ez létezik, nevezzük a szóban forgó valószínűségi változók kovarianciájának. A kovariancia képet ad a változók átlagos együttes változásáról. várható értéke. A

27 A kovariancia tulajdonságai: Eloszlások összehasonlíthatósága miatt nem a kovarianciával, hanem a korrelációs együtthatóval mérjük a kapcsolatok erősségét.

28 Definíció: és korrelációs együtthatója: A korrelációs együttható tulajdonságai: 1. Az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a változók között lineáris kapcsolat van. 2.Haés valószínűségi változók A korrelációs együttható a linearitástól való eltérés mértékét adja meg, azaz hogy a valószínűségi változók közötti kapcsolat milyen erősen lineáris jellegű. függetlenek, akkor

29 Feladatok: 25 db 40 W-os és 75 db 60 W-os Philips, valamint 60 db. 40 W-os és 140 db 60 W-os Tungsram márkájú villanykörte összekeveredett. Véletlenszerűen kiválasztunk közülük egy darab villanykörtét. Valószínűségi változó értéke legyen 0, ha 40 W-os izzót választunk és legyen 1, ha 60 W-osat.! Valószínűségi változó értéke legyen 0, ha a kiválasztott izzó Philips és legyen 1, ha Tungsram márkájú! a. Adja megésegyüttes és peremeloszlásait b. Adja meg a perem és együttes eloszlások eloszlásfüggvényét! c. Fogalmazza meg, mit jelentenek a következő kifejezések és meg adja értéküket! d. Függetlenek-e a valószínűségi változók? Számítsa ki kovarianciájukat és korrelációs együtthatójukat!

30


Letölteni ppt "Többdimenziós valószínűségi eloszlások. Valamely kísérlettel kapcsolatban két valószínűségi változót tekintünk: Avalószínűségi vektorváltozó lehetséges."

Hasonló előadás


Google Hirdetések