Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Gazdasági matematika előadások, konzultációk Halmazelmélet, Függvénytani alapfogalmak, Pénzügyi számítások.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Gazdasági matematika előadások, konzultációk Halmazelmélet, Függvénytani alapfogalmak, Pénzügyi számítások."— Előadás másolata:

1 Gazdasági matematika előadások, konzultációk Halmazelmélet, Függvénytani alapfogalmak, Pénzügyi számítások

2 2 HALMAZELMÉLET

3 3 Halmaz és elem: alapfogalmak. Egy halmazt adottnak tekintünk, ha minden objektumról egyértelműen eldönthető, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem. Halmaz megadása:  felsorolással, pl. A={Mátyás király, Lúdas Matyi}  leírással B={100 és 200 közé eső prímszámok} Jelölések: ;  ; de {  } Alaphalmaz: H Fogalmak, jelölések

4 4 Fogalmak Definíció: Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Definíció: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jelölése: A  B. Megjegyzés: Valódi és nem valódi részhalmazok, . Definíció: A és B diszjunkt, ha nincs közös elemük. Definíció: Az A halmaz hatványhalmaza az összes részhalmazainak halmaza. Jelölése: P(A). Megjegyzés: |A|=n esetén |P(A)|=2 n.

5 5 Halmazok szemléltetése Véges halmazok esetén Venn-diagram: H A B C

6 6 Műveletek halmazokkal Unió: A  B={x|x  A vagy x  B} Metszet: A  B={x|x  A és x  B} Különbség: A\B={x|x  A és x  B} Komplementer: ={x  H|x  A}

7 7 Műveletek tulajdonságai Idempotencia:A  A=A és A  A=A Kommutativitás:A  B=B  A és A  B=B  A Asszociativitás:(A  B)  C=A  (B  C) és (A  B)  C=A  (B  C) Disztributivitás:A  (B  C)=(A  B)  (A  C) és A  (B  C)=(A  B)  (A  C) A  B eseténA  B=A és A  B=B A  =  és A  =H A\B=A  =A, =H és =  De-Morgan:

8 8 Feladat Legyen H={x  Z|-10

9 9 Számhalmazok Természetes számok: N Egész számok: Z, Z +, Z - Racionális számok: Q (tizedes tört alak, sűrűség) Irracionális számok: I=Q* (tizedes tört alak, sűrűség) Valós számok: R (számegyenes, axiómák, abszolút érték, intervallumok, sugarú környezet) Halmazok számossága: Megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálhatóan végtelen számosság

10 10 Halmazok Descartes szorzata Definíció: A és B nem üres halmazok esetén A és B Descartes szorzata A×B={(a,b)|a  A és b  B} Megjegyzés: |A×B|=|A|. |B| Kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető az R×R halmaz és a sík pontjai között.

11 11 Feladat Legyen A=[-6,5), B=(0,7) és C=[-2,2]. Szemléltessük ezeket a halmazokat számegyenesen, majd határozzuk meg a következő halmazokat: A\B, A\C,, C\(A  B).

12 12 FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAK

13 13 Definíció: Legyen A és B nem üres halmaz. Függvénynek nevezzük az A minden eleméhez B valamelyik elemét rendelő kapcsolatot. Ekkor A elemei az értelmezési tartományt, B elemei a képhalmazt, B-nek azon elemei, melyeket A valamelyik eleméhez hozzárendeltük, az értékkészletet alkotják. Jelölések: Függvény: f, g, h, stb. Értelmezési tartomány: D f Értékkészlet: R f A függvény definíciója

14 14 Fogalmak Definíció: Az f és g függvények egyenlők, ha D f =D g és  x  D f esetén f(x)=g(x). Definíció: Az f függvény valós-valós, ha D f =R és R f =R. Jelölés: R  R. Definíció: Az f valós-valós függvény grafikonján a graf f={(x,y)  R 2 |x  D f és y=f(x)} halmazt értjük. Függvény grafikon és síkgörbe közötti különbség. Elemi függvények: Hatvány, hiperbola, gyök, exponenciális, logaritmus, abszolút érték, trigonometrikus, előjel, egészrész, törtrész.

15 15 Hatvány függvények ° x0x0 x1x1 x2x2 x3x3

16 16 Hiperbola

17 17 Gyökfüggvények

18 18 Exponenciális függvények 2x2x 3x3x

19 19 Logaritmus függvények log 2 x log 3 x

20 20 Függvény transzformációk A változóhoz adunk egy a  R számot. A függvényértékhez adunk egy a  R számot. A változót szorozzuk egy a  R, a>0 számmal (a>1 és 00 számmal (a>1 és 0

21 21 Műveletek függvényekkel Definíció: Legyenek f és g valós függvények. Ekkor: Az f és g függvény összege (különbsége): h=f  g, amelyre: Az f és g függvény szorzata: h=f·g, amelyre: Az f és g függvény hányadosa:, amelyre

22 22 Függvények tulajdonságai Legyen f  R  R. Definíció: Az f függvény alulról korlátos, ha  k  R, melyre  x  D f esetén k  f(x). Az f függvény felülről korlátos, ha  K  R, melyre  x  D f esetén f(x)  K. Az f függvény korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. Definíció: Az f függvény az A  D f halmazon monoton növekvő, ha  x 1,x 2  A és x 1  x 2 esetén f(x 1 )  f(x 2 ). Ugyanitt monoton csökkenő, ha  x 1,x 2  A és x 1  x 2 esetén f(x 1 )  f(x 2 ). (Szigorú monotonitás). Definíció: Az f függvény páros, ha  x  D f esetén -x  D f és f(-x)=f(x). Az f függvény páratlan, ha  x  D f esetén - x  D f és f(-x)=-f(x).

23 23 Függvények tulajdonságai Definíció: Legyen (a,b)  D f. Az f függvény konvex (a,b)- n, ha  x 1,x 2  (a.b) esetén a függvény grafikonja az (x 1,f(x 1 ), (x 1,f(x 2 ) pontokat összekötő szakasz alatt helyezkedik el. Ugyanitt a függvény konkáv, ha függvény grafikonja a szakasz felett helyezkedik el. Definíció: Az f függvény periodikus, ha  p  R, melyre  x  D f esetén x+p  D f és f(x+p)=f(x). p a függvény periódusa. Definíció: Az f függvénynek az a  D f helyen globális minimuma van, ha  x  D f esetén f(x)  f(a). Az f függvénynek az a  D f helyen globális maximuma van, ha  x  D f esetén f(x)  f(a).

24 24 Függvények tulajdonságai Definíció: Az f függvénynek az a  D f helyen lokális (helyi) minimuma van, ha   R +, melyre  x  D f  (a- , a+  ) esetén f(x)  f(a). Az f függvénynek az a  D f helyen lokális (helyi) maximuma van, ha  előbbi  és x esetén f(x)  f(a). Definíció: Az f függvény a  D f helye zérushely, ha f(a)=0.

25 25 Összetett függvény Legyen f,g  R  R és R g  D f . f g fgfg x g(x)f(g(x)) A DgDg RgRg DfDf RgRg A={x|x  D g, g(x)  D f } esetén definiálható egy új h függvény, melyre D h =A és h(x)=(f(g(x)). Ekkor h összetett függvény, ahol g belső, f külső függvény. Pl.

26 26 Inverz függvény Definíció: Az f függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést valósít meg, ha x 1  x 2 esetén f(x 1 )  f(x 2 ) és R f a teljes képhalmaz. Definíció: Ha az f függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést valósít meg, akkor f invertálható. Az f függvény inverz függvénye f -1 : R f  D f és f -1 (y)=x, ahol f(x)=y. Feladat: Határozza meg az f: D f =[2,5], f(x)=x 2 -4x-1 függvény inverz függvényét és ábrázolja közös koordináta rendszerben.

27 27 PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

28 28 Betét, vagy kölcsön értéke: T 0. Kamat: K. Betét esetén a bank, kölcsön esetén az adós által fizetett használati díj. Arányos a betét, illetve a kölcsön értékével és az idővel. Kamatidő: Egységnyi idő a kamat kiszámításakor (általában egy év). Kamatláb: P. 100 pénzegységnek a kamatidőre vonatkozó kamata. Segédváltozók: Alapfogalmak, jelölések

29 29 Banki betét Ha a banki betét ideje:  Egy év (vagyis a kamatidő, jan. 1-től jan. 1-ig):  n év (jan. 1-től jan. 1-ig):  Éven belüli:

30 30 Feladat március 1-én beteszünk a bankba Ft-ot. A kamatláb 8,2%. Mennyi a követelésünk: a)2000. augusztus 1-én? b)2001. március 1-én? c)2005. október 1-én?

31 31 Diszkontálás Diszkontált érték kiszámítása: Diszkonttényező: Diszkontláb: D Összegezve:

32 32 Feladat Mennyi pénzzel kell most rendelkeznem, hogy 10 év múlva P=7,3%-os banki kamatozás mellett Ft- om legyen? Tehát =0,9320, így d=1-0,9320=0,068 és D=6,8%

33 33 Infláció szerepe P%-os banki kamatláb és I%-os infláció esetén T 0 tőkénk vásárlóértéke szeresére nő n év alatt.

34 34 Feladat 8,1%-os banki kamat és 6%-os infláció mellett 3 év alatt hányszorosára nő a pénzünk vásárlóértéke? 1,061-szeresére, vagyis 6,1%-al nő.

35 35 Gyűjtőjáradékok Azonos időközönként, ugyanakkora összegeket fizetünk be. A) Éves gyűjtőjáradék: A Ft befizetés minden év január 1- én, P%-os kamatláb mellett, n éven át: B) Havi gyűjtőjáradék: H Ft befizetés minden hónap elején, P%-os kamatláb mellett, n éven át:

36 36 Feladat Hány évig kell évente Ft-ot elhelyezni a bankban ahhoz, hogy 7,2%-os kamatozás mellett Ft összegyűljön?

37 37 Feladat Mekkora összeget vehetünk ki a bankból a 8. év végén, ha minden hó elején 5000 Ft-ot elhelyezünk és a kamatláb az első 5 évben 6%, majd 7%?

38 38 Kölcsön felvétel Azonos időközönként, ugyanakkora összegeket törlesztünk. A) Éves törlesztés: T 0 kölcsön felvétele január 1-én, P%-os kamatra, majd törlesztés a következő év január 1-től. A tartozásunk az n. év.végén: B) Havi törlesztés: T 0 kölcsön felvétele január 1-én, P%-os kamatra, majd törlesztés február 1-től. A tartozásunk az n. év.végén:

39 39 Feladat Mekkora lesz a havi törlesztő részlet, ha Ft kölcsönt vettünk fel 6%-os kamatra és 10 évre?

40 40 Feladat Március 1-én felveszünk Ft kölcsönt 14%-os kamatra, amit augusztus 1-től 4 havi egyenlő részletben szeretnénk visszafizetni. Mekkora legyen ez a havi törlesztő részlet?


Letölteni ppt "Gazdasági matematika előadások, konzultációk Halmazelmélet, Függvénytani alapfogalmak, Pénzügyi számítások."

Hasonló előadás


Google Hirdetések