Integrátorok alkalmazása a számítógépes szimulációban

Az előadások a következő témára: "Integrátorok alkalmazása a számítógépes szimulációban"— Előadás másolata:

1 Integrátorok alkalmazása a számítógépes szimulációban
Gräff József

2 Integrálás vagy differenciálás
ti+h = jövő jóslás Integrálás: ti=jelentapasztalatok összegzése

3 Integrálás vagy differenciálás
A differenciahányadosból való „jóslás” stabilitási problémákat okoz Az integrálásnál ritkább az instabilitás Megoldás: a differenciálegyenletek átalakítása, és integrálás

4 A numerikus integrálási algoritmusok hibafajtái
Kerekítési hiba Csonkítási hiba Kumulatív hiba A digitális számítógépek számábrázolási módszeréből adódik.

5 A numerikus integrálási algoritmusok hibafajtái
Kerekítési hiba Csonkítási hiba Kumulatív hiba

6 A numerikus integrálási algoritmusok hibafajtái
Kerekítési hiba Csonkítási hiba Kumulatív hiba A kumulatív (halmozódott) hiba a kerekítési- és a csonkí-tási hiba eredője. Amennyiben ez a hibatípus nem korlátos, akkor az integ-rálási folyamat nem lesz stabil.

7 A numerikus integrálás alapjai
Az integrál tulajdonképpen a függvény alatti terület. Meghatározásának nem analitikus módszerei: Az integrál a terület darabok összege.  Téglány Trapéz

8 A numerikus integrálás alapjai
Folytatva a gondolat menetet, vegyük még ti-2 helyen is a függvény értéket!

9 A numerikus integrálás alapjai
Írjuk fel a három ponton átmenő parabola egyenletét Integráljuk a másodfokú polinomot ti és ti+1 között Végül nevezzük el 3. rendű Adams-Moulton integrátornak!

10 A numerikus integrálás alapjai
Írjuk fel a két ponton átmenő egyenes egyenletét Integráljuk a másodfokú polinomot ti+1 és ti között Fontos: csak előző értékekre épít. 2. rendű Adams-Bashfort integrátor.

11 A numerikus integrálás alapjai
Egészen más gondolatmenet: Csak a t szélességű intervallumot használja, de annak belső pontjaira is szüksége van. A függvény közelítésére Taylor polinomot használ. Ezek a Runge-Kutta módszerek. A 4. rendű Runge-Kutta formula speciális esete: Simpson formula.

12 Numerikus integrálási formulák
4. rendű Runge-Kutta: Simpson-formula:

13 Integrál formulák származtatása
Egyenlő hosszúságú intervallumok A keresett formula alakja: Téglány:

14 Integrál formulák származtatása
Egyenlő hosszúságú intervallumok A keresett formula alakja: Trapéz:

15 Integrál formulák származtatása
Felírjuk a hibát A függvényt Taylor sorával helyettesítjük H rendezése után polinom sort kapunk Az első n+1 elemet 0-nak vesszük  lin.egy.rendszer A lin.egy.rendszer megoldásai a c-k H maradékának felhasználásával hibabecslést készítünk

16 Integrál formulák származtatása
Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható. Különbség köztük az f(ti ) pontok választásában van. 1. Szimmetrikus formulák Trapéz Simpson Az intervallum belső pontjai

17 Integrál formulák származtatása
Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható. Különbség köztük az f(ti ) pontok választásában van. 2. Adams-Bashfort formulák Elsőrendű (téglány) Másodrendű Az intervallum előtti pontok

18 Integrál formulák származtatása
Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható. Különbség köztük az f(ti ) pontok választásában van. 2. Adams-Moulton formulák Elsőrendű (téglány) Másodrendű (trapéz) Az intervallum vége és az az előtti pontok

19 Runge-Kutta formulák Negyedrendű
Az alapelv hasonló, de a pontok mindig egy intervallum előre nem ismert pontjai. Negyedrendű

20 Formulák csoportosítása
Egylépéses: Szimmetrikus Runge-Kutta Többlépéses: Adams-Bashfort Adams-Moulton