Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Integrátorok alkalmazása a számítógépes szimulációban Gräff József.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Integrátorok alkalmazása a számítógépes szimulációban Gräff József."— Előadás másolata:

1 Integrátorok alkalmazása a számítógépes szimulációban Gräff József

2 Integrálás vagy differenciálás Differenciálás: t i+h = jövő  jóslás Integrálás: t i =jelen  tapasztalatok összegzése

3 A differenciahányadosból való „jóslás” stabilitási problémákat okoz Az integrálásnál ritkább az instabilitás Integrálás vagy differenciálás Megoldás: a differenciálegyenletek átalakítása, és integrálás

4 A numerikus integrálási algoritmusok hibafajtái KerekítésiKerekítési hiba CsonkításiCsonkítási hiba KumulatívKumulatív hiba A digitális számítógépek számábrázolási módszeréből adódik.

5 A numerikus integrálási algoritmusok hibafajtái Kerekítési hibaKerekítési hiba Csonkítási hibaCsonkítási hiba Kumulatív hibaKumulatív hiba

6 A numerikus integrálási algoritmusok hibafajtái Kerekítési hibaKerekítési hiba Csonkítási hibaCsonkítási hiba Kumulatív hibaKumulatív hiba A kumulatív (halmozódott) hiba a kerekítési- és a csonkí- tási hiba eredője. Amennyiben ez a hibatípus nem korlátos, akkor az integ- rálási folyamat nem lesz stabil.

7 A numerikus integrálás alapjai Az integrál tulajdonképpen a függvény alatti terület. Meghatározásának nem analitikus módszerei: TéglányTrapéz Az integrál a terület darabok összege.

8 A numerikus integrálás alapjai Folytatva a gondolat menetet, vegyük még t i-2 helyen is a függvény értéket!

9 A numerikus integrálás alapjai   Írjuk fel a három ponton átmenő parabola egyenletét   Integráljuk a másodfokú polinomot t i és t i+1 között Végül nevezzük el 3. rendű Adams-Moulton integrátornak!

10   Írjuk fel a két ponton átmenő egyenes egyenletét   Integráljuk a másodfokú polinomot t i+1 és t i között Fontos: Fontos: csak előző értékekre épít. 2. rendű Adams-Bashfort integrátor. A numerikus integrálás alapjai

11 Egészen más gondolatmenet:   Csak a  t szélességű intervallumot használja, de annak belső pontjaira is szüksége van.   A függvény közelítésére Taylor polinomot használ. Ezek a Runge-Kutta módszerek. A 4. rendű Runge-Kutta formula speciális esete: Simpson formula. A numerikus integrálás alapjai

12 Numerikus integrálási formulák 4. rendű Runge-Kutta: Simpson-formula:

13 Integrál formulák származtatása  Egyenlő hosszúságú intervallumok  A keresett formula alakja: Téglány :

14 Integrál formulák származtatása Trapéz :  Egyenlő hosszúságú intervallumok  A keresett formula alakja:

15 1.Felírjuk a hibát 2.A függvényt Taylor sorával helyettesítjük 3.H rendezése után polinom sort kapunk 4.Az első n+1 elemet 0-nak vesszük  lin.egy.rendszer 5.A lin.egy.rendszer megoldásai a c-k 6.H maradékának felhasználásával hibabecslést készítünk Integrál formulák származtatása

16 Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható. Különbség köztük az f(t i ) pontok választásában van. 1. Szimmetrikus formulák Az intervallum belső pontjai TrapézSimpson

17 Integrál formulák származtatása Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható. Különbség köztük az f(t i ) pontok választásában van. Az intervallum előtti pontok 2. Adams-Bashfort formulák Elsőrendű (téglány) Másodrendű

18 Integrál formulák származtatása 2. Adams-Moulton formulák Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható. Különbség köztük az f(t i ) pontok választásában van. Az intervallum vége és az az előtti pontok Elsőrendű (téglány) Másodrendű (trapéz)

19 Runge-Kutta formulák Az alapelv hasonló, de a pontok mindig egy intervallum előre nem ismert pontjai. Negyedrendű

20 Formulák csoportosítása 1.Egylépéses:  Szimmetrikus  Runge-Kutta 2.Többlépéses:  Adams-Bashfort  Adams-Moulton


Letölteni ppt "Integrátorok alkalmazása a számítógépes szimulációban Gräff József."

Hasonló előadás


Google Hirdetések