Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

MÁTRIX ALGEBRA u Definició  Műveletek, függvények és tulajdonságaik  Mátrix struktúrák:  vektortér (n x m)  gyűrű (n x n)

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "MÁTRIX ALGEBRA u Definició  Műveletek, függvények és tulajdonságaik  Mátrix struktúrák:  vektortér (n x m)  gyűrű (n x n)"— Előadás másolata:

1 MÁTRIX ALGEBRA u Definició  Műveletek, függvények és tulajdonságaik  Mátrix struktúrák:  vektortér (n x m)  gyűrű (n x n)

2 MIÉRT FONTOS? uLegtöbb adatot mátrixokban (tömbökben) tárolnak u Ezen adatokkal végzett műveletek a statisztikai elemzések alapjai uFizikában többféle mátrix/tenzor ismeretes uMozgások leírás – számítógépes grafika uMátrixok hiányában bonyolult szummajeles műveletsorokkal kellene számolnunk

3 DEFINÍCIÓK u számokat skalároknak hívjuk (2018, 2014) u mátrix: n x m (= méret, típus) táblázat u spec.: négyzetes: n=m u spec.: sorvektor: 1 x n, oszlopvektor: n x 1

4 MÁTRIXOK - JELÖLÉS

5 MÁTRIXOK EGYENLŐSÉGE u Két mátrix egyenlő, ha -méretük/típusuk azonos (ugyanannyi sora és oszlopa van mindegyiknek -- az azonos pozíciójú elemek egyenlők: A = B, acsa ha a ik =b ik

6 6/61 Diagonális mátrix (n x n): Trace-nyom: SPECIÁLIS MÁTRIXOK

7 MÁTRIX MŰVELETEK uTranszponálás uÖsszeadás uSzorzás

8 TRANSZPONÁLÁS A → A T uFőátlóra tükrözzük a mátrix elemeit u vagyis az i. sorból i. oszlop lesz ua ik → a ki

9 TRANSZPONÁLT TULAJDONSÁGAI

10 A = A T Példa: szimmetrikus, adja meg az a, b, c értékékeket! Ferdén szimmetrikus mátrix: MO: Szimmetrikus mátrix: A = - A T

11 MO: Példa: ferdén szimmetrikus, adja meg az a, b, c értékékeket!

12 ÖSSZEADÁS u Akkor végezhető el, ha a két mátrix mérete egyenlő uEgyszerűen össze kell adni a megfelelő pozíción áll elemeket: A + B = C

13 ÖSSZEADÁS: uAhol: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? Van null elem? Van inverz?

14 MÁTRIX SZÁMSZOROSA u Az adott számmal a mátrix minden elemét megszorozzuk: u Kérdések: u1A=?  Igaz-e hogy ( αµ ) A= α ( µ A)?  Igaz-e, hogy ( α + µ )A= α A+ µ A?  Igaz-e, hogy α (A+B)= α A+ α B?

15 Kérdések és válaszok az összeadás tulajdonságaira: Kommutatív? Igen, igaz: A + B = B + A Asszociatív? Igen, igaz: (A + B) + C= A + (B + C) Van null elem? Igen, A + O = A Van inverz? Igen, A + (-A)=O –A elemei az A elemeinek ellentettjei (másképpen –A= (-1)A) A 3-ra KOMMUTATÍV CSOPORT Az n x m méretű mátrixok a 3 műveletre és a számszorosra nézve VEKTORTERET alkotnak. n x m típusú MÁTRIXOK STRUKTÚRÁJA Kérdések és válaszok a számszoros (FÜGGVÉNY!) tulajdonságaira: Igazak az alábbiak: 1A=A Vegyes asszociativitás: ( α µ) A= α (µA) Vegyes disztributivitás: ( α +µ)A= α A+µA Vegyes disztributivitás: α (A+B)= α A+ α A

16 AB mérete MÁTRIXOK SZORZÁSA

17 Ahhoz, hogy össze lehessen szorozni két mátrixot, az ELSŐ mátrixnak annyi oszlopa kell hogy legyen, ahény sora a MÁSODIKNAK! A. B = C (m  n)  (n  p) = (m  p) MÁTRIXOK SZORZÁSA AB mérete

18 MÁTRIXOK SZORZÁSA

19 MÁTRIXOK SZORZÁSA-PÉLDA

20 EGY NÉPSZERŰ MÁTRIX:

21 Megjegyzés: Mátrix mindig szimmetrikus

22 MÁTRIX SZORZÁS TULAJDONSÁGAI uAB ÁLTALÁBAN nem egyenlő BA uElképzelhető, hogy BA –t nem is lehet végrehajtani: uAz is lehet, hogy „fordítva” is végrehajtható, de mérete más lesz: A  B = C (2  3)  (3  2) = (2  2) B  A = D (3  2)  (2  3) = (3  3)

23 Példa:

24 Mátrixoknál: Ha C INVERTÁLHATÓ (később erre visszatérünk), akkor A = B Egyenletrendezés valós számok esetében:

25 DE: Példa:

26 uHa végrehajtható, akkor a mátrix szorzás ASSZOCIATÍV A(BC) = (AB)C uÉrvényes a disztributív szabály: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC MÁTRIXOK SZORZÁSÁNAK TULAJDONSÁGAI

27 DM: definíció: Az R gyűrű olyan halmaz, amin két művelet van értelmezve. A + és *, amelyek a követlező tulajdonságokat teljesítik: 1. (R,+) kommutatív csoport 2. * asszociatív 3. A disztributív szabály igaz : (a + b) * c = (a * c) + (b * c) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

28 NÉGYZETES MÁTRIXOK STRUKTÚRÁJA Mivel a mátrixok a fent definiált összeadásra nézve kommutatív csoportot alkotnak, továbbá a szorzás asszociatív, és a szorzás disztributív az összeadásra nézve ezért a négyzetes mátrixok a szokásos + és * műveletekre nézve GYŰRŰT alkotnak.

29 uAB ≠ BA nem érvényes uHa végrehajtható, akkor a mátrix szorzás ASSZOCIATÍV A(BC) = (AB)C uÉrvényes a disztributív szabály: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC uNégyzetes mátrixokra van egység, EA=AE, uVannak olyan négyzetes mátrixok, melyeknek van inverze MÁTRIXOK SZORZÁSÁNAK TULAJDONSÁGAI

30 MÁTRIXOK INVERZE Ha egy műveletre vonatkozóan létezik egység, értelmes kérdés, van- e inverz? Definíció: Az A négyzetes mátrix inverzének nevezzük azt a - gyel jelölt (n x n-es) mátrixot, amelyre: A = A=E Volt (DM): Ha egy művelet asszociatív, akkor az inverz egyértelmű: = E= (AA*)=( A)A*=EA*=A*

31 ELNEVEZÉSEK Elnevezés: A mátrix SZORZÁSRA vonatkozó egységét EGYSÉGMÁTRIXNAK, inverzét (ekkor A négyzetes) INVERZ mátrixnak, ÖSSZEADÁSRA vonatkozó egységét NULLMÁTRIXNAK inverzét ELLENTETT mátrixnak nevezzük.

32 HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT?

33 Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak. Ezért egyszerre is meg lehet megoldani ezeket az egyenleteket.

34 HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT? Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval:

35 Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak: Ezért egyszerre lehet megoldani ezeket az egyenleteket.

36 INVERZ MÁTRIX SZÁMÍTÁSA GAUSS-JORDAN ELIMINÁCIÓVAL Folytatás az előző oldalról: Például a 3. sor első elemének nullázása: Csak az utolsó oszlopban van eltérés. Ezért egyszerre is megoldhatjuk:,,,,

37 .

38 . Ez eddig a GAUSS elimináció, most a főátló feletti elemeket is nullázzzuk – Gauss-Jordan

39 INVERZ MÁTRIX TULAJDONSÁGAI 4. Ha C invertálható (nem szinguláris), akkor a mátrix egyenletet lehet a szokásos módon rendezni: BIZ.: szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát jobbról C -1 -gyel. BIZ.: szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát balról C -1 -gyel

40 Tétel: Ha A és B invertálható mátrixok, akkor szorzatuk is az, és: Következmény:

41 Négyzetes mátrixok hatványai: Fentiek miatt van értelme mátrix polinomoknak is (később)


Letölteni ppt "MÁTRIX ALGEBRA u Definició  Műveletek, függvények és tulajdonságaik  Mátrix struktúrák:  vektortér (n x m)  gyűrű (n x n)"

Hasonló előadás


Google Hirdetések