Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Regresszió-számítás 2. hét. Regressziószámítás célja Az analitikus regressziószámítás célja, a tényezőváltozónak az eredményváltozóra gyakorolt hatását.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Regresszió-számítás 2. hét. Regressziószámítás célja Az analitikus regressziószámítás célja, a tényezőváltozónak az eredményváltozóra gyakorolt hatását."— Előadás másolata:

1 Regresszió-számítás 2. hét

2 Regressziószámítás célja Az analitikus regressziószámítás célja, a tényezőváltozónak az eredményváltozóra gyakorolt hatását matematikai modell segítségével fejezze ki. A matematikai modellben specifikáljuk az analitikus regressziófüggvényt. A sztochasztikus kapcsolatban megnyilvánuló törvényszerűség kifejezési formája.

3 Regresszió-függvények A statisztikai gyakorlatban leggyakrabban a előforduló függvények:  lineáris regresszió,  hatványkitevős regresszió,  exponenciális regresszió,  parabolikus regresszió,  hiperbolikus regresszió.

4 Az összefüggés–vizsgálatok általános menete  célkitűzések megfogalmazása,  adatbázis megteremtése,  függvény – specifikáció (függvény típusának kiválasztása),  a kiválasztott függvény paramétereinek számítása,  illeszkedésvizsgálat,  szignifikancia-vizsgálatok (a modell és a paraméterek tesztelése),  a regressziós értékek konfidencia határainak a megállapítása,  elaszticitás (rugalmasság) meghatározása,  korrelációszámítás (lineáris esetben a korreláció-számítás megelőzheti a regresszió-analízist),  az eredmények értelmezése.

5 A lineáris regresszió modellje  Legyen X egy tényezőváltozó és Y egy eredményváltozó.  Tételezzük fel, hogy X lineáris törvényszerűség szerint fejti ki hatását Y-ra, illetve közrejátszik egy véletlen mozzanat is. A két változó kapcsolatának a formulája: regressziós együtthatókvéletlen változó

6 Lineáris regressziós modell feltételei  A változók közötti kapcsolat lineáris: Y változó megfelelő X-hez tartozó értéke X lineáris függvénye. Y/X=β 0 + β 1 X+ ε/X  A magyarázó változó(k) nem valószínűségi változó(k).  Sztochasztikus specifikáció (maradékváltozó tulajdonságai):  A maradékváltozók feltételes várható értéke 0: E(ε/X)=0  A maradékváltozók feltételes varianciája legyen állandó (homoszkedaszticitási feltétel): Var(ε/X)=σ 2  A maradékváltozó különböző X-értékekhez tartozó értékei legyenek korrelálatlanok: Cov(ε/X i, ε/X i’ )=0, ha i≠i’  A maradékváltozó feltételes eloszlásai legyenek normálisak.

7 A regressziós együtthatók becslése  A lineáris regresszió ismeretlen  0 és  1 paramétereinek becsléséhez kizárólag az (x i, y i ) adatpárokkal (megfigyelési eredményekkel) rendelkezünk.  Jelöljük a regressziós együtthatók becsléseit rendre b 0 és b 1 szimbólumokkal, a becsült regressziófüggvény pedig legyen:

8 Regressziós együtthatók becslése A  i feltételes várható érték becslése valamely rögzített X = x i helyen ennek megfelelően A becsült regressziós együtthatók kiszámításához a legkisebb négyzetek módszerét fogjuk alkalmazni.

9 A regressziós becslés normálegyenletei A legkisebb négyzetek módszere szerint azzal az egyenessel becsüljük a lineáris regressziófüggvényt, amelyre nézve a négyzetösszeg a legkisebb értékét veszi fel.

10 A regresszió-függvények fontosabb tulajdonságai  A regressziós együtthatók becslése torzítatlan: M(b 0 ) =  0 és M(b 1 ) =  1  A feltételes várható érték torzítatlan becslése M( ŷ i ) =  i  A b 0 és b 1 a regressziós paraméterek legjobb lineáris torzítatlan becslései, abban az értelemben, hogy legkisebb a szórásuk (standard hibájuk). Ez az ún. Gauss-Markov-tétel.  Ha a lineáris regressziós modell feltételeihez még azt is csatoljuk, hogy a véletlen változó normális eloszlást követ, akkor levezethetők a  0 és  1 maximum likelihood becslései is, amelyek azonosak a legkisebb négyzetek módszeréből származó becslő formulákkal.

11 Az eredmények értelmezése  A b 0 regressziós együttható jelentőségét az adja meg, hogy az X = 0 helyen a függvény éppen ezt az értéket veszi fel. Értelmezése tehát attól függ, hogy a nulla beletartozik-e azon X értékek halmazába, amelyből a regressziót számítottuk, vagy legalábbis logikailag az értelmezési tartomány részének tekinthető-e?  A b 1 regressziós együttható geometriai értelemben az egyenes meredekségét meghatározó iránytangens, azaz d y /d x. A korrelációs kapcsolat elemzésekor ebből azt olvashatjuk le, hogy a tényezőváltozó egységnyi változása mekkora hatással jár együtt az eredményváltozóban.

12 Egy vállalat dolgozóinak keresete és havi megtakarítása Dolgozó Átlagbér (Ft/fő) Havi megtakarítás (Ft/hó) Összesen x2x y2y dxdydxdy dx2dx xy

13 Mintapélda megoldása Dolgozó Bér (Ft/fő) Havi megtakarítás (Ft/hó) x2x2 y2y2 dxdydxdy dx2dx2 xy …………………… Összesen Regressziós paraméterek értékei: b 0 =-8144,65 b 1 =0,1816 Regressziós egyenes: ŷ= =-8144,65+0,1816x Regressziós paraméterek értelmezése: b 0 =ha dolgozók bére 0 Ft, akkor a havi megtakarítás összege -8144,65 Ft: nem értelmezzük!!! b 1 =ha a dolgozók bére havonta 1 Ft-tal növekedne, akkor a havi megtakarítás összege 0,1816 Ft-tal növekedne.

14 Az elaszticitás fogalma A rugalmasság mérőszáma arra ad választ, hogy Y relatív változása (növekménye) hányszorosa az X relatív változásának (pl. egyszázalékos X növekményre hány százalék Y növekmény jut). A lineáris regresszió elaszticitása Az elaszticitás átlagos szinten:

15 Elaszticitás a mintapélda alapján Értelmezés: ha dolgozók keresete 1%-kal növekszik, akkor a havi megtakarított összeg átlagosan 1,51%-kal növekszik.

16 Nemlineáris regresszió

17 Hatványkitevős regresszió A hatványkitevős regressziós összefüggés a társadalmi-gazdasági életben gyakran előfordul. Ezt figyelhetjük meg például a háztartások jövedelme és a fogyasztási kiadásai között. A hatványfüggvény általános képlete: Az „a” paramétert a gyakorlatban nem értelmezzük, a „b” paramétert rugalmassági (elaszticitási) együtthatónak is nevezzük. Jelentése: „x” egy százalékos változása, „y” hány százalékos változását vonja maga után. Ez hasonló a lineáris esetben számított rugalmassági együtthatóhoz, de ez minden „x” esetén ugyanannyi. A hatványfüggvény lefutása a „b” paraméter értékétől függ.

18 A függvény átalakítása A hatványfüggvény lineárissá alakítható logaritmálás segítségével, így az átalakítás után alkalmazhatóak a lineáris függvénynél alkalmazott ismeretek. A logaritmizálás után a következő összefüggést kapjuk: Az átalakítás után nem „x”-ek és „y”-ok között van lineáris kapcsolat, hanem log „y”-ek és log „x”-ek között, tehát nincs más dolgunk, mint az eredeti változók logaritmusát képezni, és ezek között keresni a lineáris kapcsolatot.

19 Paraméterek értelmezése – grafikus ábrák által Ha b  1, akkor rugalmas (vagy gyorsuló növekedésű) hatványfüggvényről beszélünk. A rugalmas hatványfüggvény alakja

20 Paraméterek értelmezése – grafikus ábrák által Ha 0  b  1, akkor rugalmatlan (lassuló növekedésű) a függvény. A rugalmatlan hatványfüggvény alakja

21 Paraméterek értelmezése – grafikus ábrák által Ha b  0, akkor csökkenő a függvény. A csökkenő hatványfüggvény alakja

22 Mintapélda: Néhány család jövedelem és fogyasztás értékei Rendelkezésre álló jövedelem (ezer Ft/fő) x változó Fogyasztásértéke (ezer Ft/fő) y változó 39,838,6 43,144,4 46,240,4 49,745,9 52,850,5 54,844,8 56,149,5 61,653,2 59,751,4 ln xln y 3,683,65 3,763,79 3,833,7 3,913,83 3,973,92 4,03,8 4,033,9 4,123,97 4,093,94

23 A hatványfüggvény regresszió-analízisének outputja REGRESSZIÓS STATISZTIKA r értéke0,885 r-négyzet0,783 Megfigyelések9 VARIANCIAANALÍZIS DfSSMSFF szignifikanciája Regresszió10, ,2780,0015 Maradék70,020990,00299 Összesen80,0968 KoefficiensekStandard hibat értékp-értékAlsó 95% Felső 95% Tengelymetszet ("a" paraméter)1,2550,5132,4440,04450,04072,4689 X változó 1 ("b" paraméter)0,6560,1315,0280,00150,34750,9645 Visszatranszformált "a" paraméter:3,51

24 A táblázat alapján az eredmények értelmezése A regressziós függvény a következő Csak a „b” paramétert értelmezzük, amely azt mutatja meg, hogy a jövedelem 1%-os emelkedése a fogyasztás 0,656%-os emelkedését vonja maga után. Hatványfüggvény esetén a „b” paramétert rugalmassági (elaszticitási) együtthatónak is hívják

25 Exponenciális regresszió Ennek a típusnak is van gyakorlati jelentősége, főleg idősorok esetén, amikor azt vizsgáljuk, hogy egyik időszakról a másikra hány százalékkal változott a vizsgált jelenség. Az exponenciális-függvény képlete: Az „a” paramétert a gyakorlatban nem értelmezzük. A „b” paraméter azt mutatja meg, hogy „x” egy egységnyi változása az „y” hány %-os változását vonja maga után. Az exponenciális függvény lefutása a „b” paraméter értékétől függ.

26 Paraméterek értelmezése – grafikus ábrák által Ha b  1, akkor növekvő a függvényről beszélünk. Az emelkedő exponenciális függvény alakja:

27 Paraméterek értelmezése – grafikus ábrák által Ha 0  b  1, akkor csökkenő a függvény A csökkenő exponenciális függvény alakja

28 A függvény átalakítása Az exponenciális függvény is átalakítható lineárissá, logaritmizálás segítségével: Az átalakítás után nem „x”-ek és „y”-ok között van lineáris kapcsolat, hanem log „y”-ek és „x”-ek között, tehát az eredeti „y” változók logaritmusát kell képezni, és log „y”-ok és „x”-ek között keresni a lineáris kapcsolatot.

29 Mintapélda Az anyagköltség és a termelési érték kapcsolata VáltozókMegfigyelések Anyagköltség (x változó) Termelési érték (y változó) ln y4,1894,54,384,6444,8284,6054,8364,74,9054,867

30 Az exponenciális regresszió outputja REGRESSZIÓS STATISZTIKA r értéke0,834 r-négyzet0,696 Megfigyelések10 VARIANCIAANALÍZIS dfSSMSF F szignifikanciája Regresszió10,341 18,3140,003 Maradék80,1490,019 Összesen90,490 KoefficiensekStandard hibat értékp-értékAlsó 95% Felső 95% Tengelymetszet4,0380,14827,1990,0003,6964,380 X változó 10,0100,0024,2790,0030,0050,016 Visszatranszformált „a”:56,71 Visszatranszformált „b”:1,01

31 A táblázat alapján az eredmények értelmezése A függvény képlete a következő: Az „a” paramétert nem értelmezzük. A „b” paraméter azt mutatja meg, hogy ha egy egységgel nő az „x”, akkor az „y”, b. 100 százalékra változik. Konkrétan a mi példánkban, ha az anyagköltség 1000 Ft-tal emelkedik, akkor a termelési érték 1%-kal (101 %-ra) nő.

32 Köszönöm a figyelmet


Letölteni ppt "Regresszió-számítás 2. hét. Regressziószámítás célja Az analitikus regressziószámítás célja, a tényezőváltozónak az eredményváltozóra gyakorolt hatását."

Hasonló előadás


Google Hirdetések