Kenyér kihűlése Farkas János 2005..

Az előadások a következő témára: "Kenyér kihűlése Farkas János 2005.."— Előadás másolata:

1 Kenyér kihűlése Farkas János 2005.

2 PROBLÉMA LEÍRÁS A kemencéből kivett kenyér hőmérséklete 30 perc alatt a kezdeti 120 ˚C -ról 60 ˚C -ra csökken. A levegő hőmérséklete 30 ˚C. A hűlés kezdetétől számítva mennyi idő alatt csökken a kenyér hőmérséklete 40 ˚C -ra? (A feladat és megoldása Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek című példatárából való)

3 FELTÉTELEK Newton törvénye szerint a test lehűlési sebessége arányos a test és a környezete hőmérsékletének különbségével. Mivel ez a különbség a folyamat során változik, a lehűlés nem egyenletes.

4 MATEMATIKAI MEGOLDÁS I.
Jelölje T a kenyér, Tk a környezet hőmérsékletét. Ekkor a kenyér lehűlési sebessége, vagyis a dt idő alatt bekövetkezett dT hőmérsékletváltozás ahol az a arányossági tényező.

5 MATEMATIKAI MEGOLDÁS II.
Az így kapott szétválasztható változójú differenciálegyenlet változóit szétválasztva kapjuk: Mind a két oldalon integrálva: ahol C integrációs konstans.

6 MATEMATIKAI MEGOLDÁS III.
Átalakítva az egyenletet amiből Esetünkben Tk = 30, ezért Ez a differenciálegyenlet általános megoldása.

7 MATEMATIKAI MEGOLDÁS IV.
A C konstans értékeit a kezdeti feltételekből határozzuk meg. A folyamat kezdetekor, vagyis ha t = 0, akkor T = 120, és így a egyenletből C = 90.

8 MATEMATIKAI MEGOLDÁS V.
Az a arányossági tényezőtől függő ea konstans értékét abból a kiegészítő feltételből határozzuk meg, hogy t = 30 esetén T = 60. Most vagyis és ebből

9 MATEMATIKAI MEGOLDÁS VI.
A kenyér lehűlési folyamatát leíró egyenlet a feladat feltételei mellett tehát alakú. Ebből már könnyen kiszámíthatjuk azt a t időtartamot, amely alatt a kenyér hőmérséklete T = 40 ˚C -ra csökken.

10 MATEMATIKAI MEGOLDÁS VII.
Ugyanis a , azaz egyenletből amiből t = 60, vagyis a kenyér 60 perc alatt hűl le 120 ˚C - ról 40 ˚C -ra, ha a levegő hőmérséklete 30 ˚C.