A derivált alkalmazása a matematikában

Az előadások a következő témára: "A derivált alkalmazása a matematikában"— Előadás másolata:

1 A derivált alkalmazása a matematikában
Digitális tananyag

2 A függvény grafikonjának érintője
A derivált alkalmazása

3 Az érintő definíciója Az érintő egyenesnek a görbével egyetlen közös pontja van???? Az érintő definícióját nyilvánvalóan másképpen kell megadni. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

4 A szelő Legyen A(x0,y0) és B(x1,y1) pont a grafikon két pontja. Az AB szelő egyenlete: ahol Tóth István – Műszaki Iskola Ada

5 Az érintő definíciója Legyen f folytonos az (a, b) intervallumon.
Rögzítsünk a görbén egy A(x0,y0) pontot, és a tőle különböző B pontot. Mozgassuk a B pontot az A pont felé, ekkor az AB szelő egy „határhelyzethez”, egy t egyeneshez közeledik, amely áthalad az A ponton Ezt a közös t egyenest a függvénygörbe A pontbeli érintőjének nevezzük Tóth István – Műszaki Iskola Ada

6 Az érintő Ha B→A, akkor x1 →x0. Ekkor a szelő (és annak iránytényezője) az érintőhöz közelít (és az érintő iránytényezőjéhez). Az érintő iránytényezője Tóth István – Műszaki Iskola Ada

7 A görbe érintője Az egy ponton áthaladó egyenes egyenlete:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

8 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

9 A függvény közelítő értéke
A derivált alkalmazása

10 A függvény közelítő értéke
Az A pont környezetében a függvény értéke közelítőleg egyenlő az érintőn számolt értékkel. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

11 Példa Pontosabban: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

12 Példa Tóth István – Műszaki Iskola Ada

13 Példa Tóth István – Műszaki Iskola Ada

14 A közelítő képlet pontosítása*
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

15 A függvény differenciálja
A derivált alkalmazása

16 A függvény differenciálja
dy Az érintő egyenlete: Δy Ha Δx→0, akkor: dx=Δx Tóth István – Műszaki Iskola Ada

17 A differenciál alkalmazása
Integrálszámítás Differenciálegyenletek megoldása ... Tóth István – Műszaki Iskola Ada