Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az inverzió  Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre  Az O pont az inverzió pólusa  Az r 2 érték az inverzió hatványa  Az O ponthoz.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Az inverzió  Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre  Az O pont az inverzió pólusa  Az r 2 érték az inverzió hatványa  Az O ponthoz."— Előadás másolata:

1 Az inverzió  Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre  Az O pont az inverzió pólusa  Az r 2 érték az inverzió hatványa  Az O ponthoz nem lehet inverz pontot rendelni  A P (O-tól különböző) ponthoz hozzárendeljük az OP félegyenesnek azt a P’ pontját, amelyre OP · OP’ = r 2

2 Az inverzió  Ha P inverze P’, akkor P’ inverze P.  Az alapkör pontjai önmaguk inverzei.  Ha egy pont az alapkörön belül van, akkor az inverze kívül lesz; ha kívül, akkor az inverze belül lesz.  A póluson nem átmenő egyenes inverze póluson átmenő kör. A póluson átmenő egyenes inverze ugyanaz az egyenes.  A póluson nem átmenő kör inverze póluson nem átmenő kör. A póluson átmenő kör inverze póluson nem átmenő egyenes.

3 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Adott egy kör (az inverzió alapköre) O középponttal és r sugárral  Adott P (O-tól különböző) pont, aminek meg kell szerkeszeni az inverz pontját

4 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Rajzoljuk meg a P középpontú, OP sugarú kört. A 2 körvonal metszéspontjai: M 1, M 2  Ha OP ≤ r/2, akkor viszont nem pontosan 2 metszéspont adódik, tehát ez esetben meg kell szerkeszteni a 2 · OP hosszú, OP-vel párhuzamos, O kezdetű szakaszt (aminek végpontját nevezzük Q- nak, tehát 2 · OP = OQ lesz)

5 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Először nézzük azt az esetet, hogy két metszéspont van. Ezekből r sugarú köröket rajzolva, a metszéspontjuk megadja a P pont inverzét.

6 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Kétszeres hosszúságú szakasz szerkesztése:  Ha r/4 < OP ≤ r/2, akkor meg kell szerkeszteni a már korrában leírt OQ szakaszt.  Ehhez két körvonalat kell megrajzolni: O középpontú OP sugarút és P középpontú OP sugarút.  A 2 körvonal metszéspontjai: N 1, N 2

7 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  N 2 középpontú N 1 N 2 sugarú kör és a P középpontú előzőleg megrajzolt körvonal (N 1 -től különböző) metszéspontja a keresett Q pont.  Mivel r/4 < OP ≤ r/2 és OQ = 2 · OP, ezért r/2 < OQ, és így megszerkeszthető Q inverze. De nekünk P inverze kell!

8 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Kisebb OP távolság esetén ezen szerkesztési lépések ismétlésével megszerkeszthető P inverze, ha r/8 < OP, r/16 < OP, r/32 < OP, és így tovább (mindig felezve a távolságot).  Az inverzió definícióját felhasználva: r2 = OP · OP’ = OQ · OQ’ OP · OP’ = 2 · OP · OQ’ OP’ = 2 · OQ’  Ez azt jelenti, hogy a Q inverz pontja (Q’) és az O által alkotott szakaszt kell megkétszerezni (O marad a kezdőpont) úgy, mint az OQ szerkesztésénél, és az új szakasz végpontja lesz a P pont inverze.  Tehát most már meg tudjuk r/4 < OP esetén P inverzét szerkeszteni.

9 Kör inverzének megszerkesztése  Egy kör inverzének megszerkesztéséhez elegendő 3 különböző pontjának inverzét megszerkeszteni, amik meghatározzák majd a kör inverzét, ami vagy kör vagy egyenes. Ha a kör metszi az alapkört, akkor a metszéspontokat is felhasználva abban az esetben kevesebbet kell szerkeszteni, mivel az ha egy pont az alapkörön van, akkor inverze önmaga. Ellenkező esetben két lehetőség van: a pont az alapkörön belül, vagy azon kívül van. Szerkeszthetünk a néhány diával ezelőtt bemutatott körzős módszerrel is. De itt egy rövidebb, vonalzót is igénylő módszert közlök.

10 Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön belül van  Adott az alapkör O középponttal és a P pont  Húzzunk egyenes O-n és P-n keresztül  Erre az egyenesre állítsunk merőlegest P-ben  Ez a körvonalat két pontban: A-ban és B-ben metszi  Húzzuk meg az OA, OB szakaszt  Állítsunk ezekre merőlegest  Ezek metszéspontja a P inverze

11 Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön kívül van  Adott az alapkör O középponttal és a P pont  Rajzoljuk meg az OP szakaszt  Szerkesszük meg OP felezőpontját  Rajzoljunk M középpontú, OM sugarú kört  Ez az alapkört két pontban: A-ban és B-ben metszi  Rajzoljuk meg az AB szakaszt.  Az AB és az OP metszéspontja a P pont inverze

12 Kör inverzének megszerkesztése - példa Zöld kör: alapkör Lila kör: az eredeti kör Piros: a kör inverze Az ábrán látható 1 alapkör ön belüli és egy azon kívüli pont inverzé nek megsze r- kesztés e

13 Egy egyszerű feladat  Adott egy kör és középpontja, illetve egy egyenes, ami érinti ezt a kört.  Feladat: szerkesszünk olyan kört, aminek az átmérője a megadot kör középpontja és az érintési pont által meghatározott szakasz.

14 Inverzió Euklidészi szerkesztés (csak körzővel)

15 I. 324. Fényes Balázs 10. o. t. Budapest, Szerb A. Gimn.


Letölteni ppt "Az inverzió  Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre  Az O pont az inverzió pólusa  Az r 2 érték az inverzió hatványa  Az O ponthoz."

Hasonló előadás


Google Hirdetések