Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az inverzió  Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre  Az O pont az inverzió pólusa  Az r 2 érték az inverzió hatványa  Az O ponthoz.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Az inverzió  Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre  Az O pont az inverzió pólusa  Az r 2 érték az inverzió hatványa  Az O ponthoz."— Előadás másolata:

1 Az inverzió  Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre  Az O pont az inverzió pólusa  Az r 2 érték az inverzió hatványa  Az O ponthoz nem lehet inverz pontot rendelni  A P (O-tól különböző) ponthoz hozzárendeljük az OP félegyenesnek azt a P’ pontját, amelyre OP · OP’ = r 2

2 Az inverzió  Ha P inverze P’, akkor P’ inverze P.  Az alapkör pontjai önmaguk inverzei.  Ha egy pont az alapkörön belül van, akkor az inverze kívül lesz; ha kívül, akkor az inverze belül lesz.  A póluson nem átmenő egyenes inverze póluson átmenő kör. A póluson átmenő egyenes inverze ugyanaz az egyenes.  A póluson nem átmenő kör inverze póluson nem átmenő kör. A póluson átmenő kör inverze póluson nem átmenő egyenes.

3 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Adott egy kör (az inverzió alapköre) O középponttal és r sugárral  Adott P (O-tól különböző) pont, aminek meg kell szerkeszeni az inverz pontját

4 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Rajzoljuk meg a P középpontú, OP sugarú kört. A 2 körvonal metszéspontjai: M 1, M 2  Ha OP ≤ r/2, akkor viszont nem pontosan 2 metszéspont adódik, tehát ez esetben meg kell szerkeszteni a 2 · OP hosszú, OP-vel párhuzamos, O kezdetű szakaszt (aminek végpontját nevezzük Q- nak, tehát 2 · OP = OQ lesz)

5 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Először nézzük azt az esetet, hogy két metszéspont van. Ezekből r sugarú köröket rajzolva, a metszéspontjuk megadja a P pont inverzét.

6 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Kétszeres hosszúságú szakasz szerkesztése:  Ha r/4 < OP ≤ r/2, akkor meg kell szerkeszteni a már korrában leírt OQ szakaszt.  Ehhez két körvonalat kell megrajzolni: O középpontú OP sugarút és P középpontú OP sugarút.  A 2 körvonal metszéspontjai: N 1, N 2

7 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  N 2 középpontú N 1 N 2 sugarú kör és a P középpontú előzőleg megrajzolt körvonal (N 1 -től különböző) metszéspontja a keresett Q pont.  Mivel r/4 < OP ≤ r/2 és OQ = 2 · OP, ezért r/2 < OQ, és így megszerkeszthető Q inverze. De nekünk P inverze kell!

8 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel  Kisebb OP távolság esetén ezen szerkesztési lépések ismétlésével megszerkeszthető P inverze, ha r/8 < OP, r/16 < OP, r/32 < OP, és így tovább (mindig felezve a távolságot).  Az inverzió definícióját felhasználva: r2 = OP · OP’ = OQ · OQ’ OP · OP’ = 2 · OP · OQ’ OP’ = 2 · OQ’  Ez azt jelenti, hogy a Q inverz pontja (Q’) és az O által alkotott szakaszt kell megkétszerezni (O marad a kezdőpont) úgy, mint az OQ szerkesztésénél, és az új szakasz végpontja lesz a P pont inverze.  Tehát most már meg tudjuk r/4 < OP esetén P inverzét szerkeszteni.

9 Kör inverzének megszerkesztése  Egy kör inverzének megszerkesztéséhez elegendő 3 különböző pontjának inverzét megszerkeszteni, amik meghatározzák majd a kör inverzét, ami vagy kör vagy egyenes. Ha a kör metszi az alapkört, akkor a metszéspontokat is felhasználva abban az esetben kevesebbet kell szerkeszteni, mivel az ha egy pont az alapkörön van, akkor inverze önmaga. Ellenkező esetben két lehetőség van: a pont az alapkörön belül, vagy azon kívül van. Szerkeszthetünk a néhány diával ezelőtt bemutatott körzős módszerrel is. De itt egy rövidebb, vonalzót is igénylő módszert közlök.

10 Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön belül van  Adott az alapkör O középponttal és a P pont  Húzzunk egyenes O-n és P-n keresztül  Erre az egyenesre állítsunk merőlegest P-ben  Ez a körvonalat két pontban: A-ban és B-ben metszi  Húzzuk meg az OA, OB szakaszt  Állítsunk ezekre merőlegest  Ezek metszéspontja a P inverze

11 Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön kívül van  Adott az alapkör O középponttal és a P pont  Rajzoljuk meg az OP szakaszt  Szerkesszük meg OP felezőpontját  Rajzoljunk M középpontú, OM sugarú kört  Ez az alapkört két pontban: A-ban és B-ben metszi  Rajzoljuk meg az AB szakaszt.  Az AB és az OP metszéspontja a P pont inverze

12 Kör inverzének megszerkesztése - példa Zöld kör: alapkör Lila kör: az eredeti kör Piros: a kör inverze Az ábrán látható 1 alapkör ön belüli és egy azon kívüli pont inverzé nek megsze r- kesztés e

13 Egy egyszerű feladat  Adott egy kör és középpontja, illetve egy egyenes, ami érinti ezt a kört.  Feladat: szerkesszünk olyan kört, aminek az átmérője a megadot kör középpontja és az érintési pont által meghatározott szakasz.

14 Inverzió Euklidészi szerkesztés (csak körzővel)

15 I Fényes Balázs 10. o. t. Budapest, Szerb A. Gimn.


Letölteni ppt "Az inverzió  Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre  Az O pont az inverzió pólusa  Az r 2 érték az inverzió hatványa  Az O ponthoz."

Hasonló előadás


Google Hirdetések