Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2. MATEMATIKA ELŐADÁS Differenciálszámítás. Miért hasznos a differenciálszámítás? ÁtlagsebességPillanatnyi sebesség Sebesség = út/idő Példa:

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2. MATEMATIKA ELŐADÁS Differenciálszámítás. Miért hasznos a differenciálszámítás? ÁtlagsebességPillanatnyi sebesség Sebesség = út/idő Példa:"— Előadás másolata:

1 2. MATEMATIKA ELŐADÁS Differenciálszámítás

2 Miért hasznos a differenciálszámítás? ÁtlagsebességPillanatnyi sebesség Sebesség = út/idő Példa:

3 Út-idő mérése diszkrét pontokban s t Mekkora az átlagsebesség a 3-4. s között? t=1s s=7m Mekkora az átlagsebesség a 3-5. s között? s=16m t=2s Geometriai jelentés α A sebesség a vízszintessel bezárt szög tangensét, a meredekséget mutatja meg.

4 Az út és idő között ismert a függvénykapcsolat példa: f(x 2 ) f(x 1 ) x1x1 x2x2 A sebesség még mindig átlagsebesség (a szelő meredeksége), a kifejezés a differenciahányados. Ha x 2 nagyon megközelíti x 1 -et a differenciahányados határértéke a differenciálhányados, a derivált, amely megmutatja a pillanatnyi sebességet (az érintő meredekségét) x 1 -ben. s t

5 A differenciálás alkalmazása Határozzuk meg az y=x 2 függvény grafikonjának meredekségét x=3 pontban f(x)=x 2 Képezzük a függvény deriváltfüggvényét vagy deriváltját f(x)=x 2 f’(x)=2x Helyettesítsük be az érintési pont x koordinátáját f’(x=3)=23=6 Az f(x)=x 2 függvény grafikonjának meredeksége az x=3 helyen 6. tgα=6

6 Deriválási szabályok

7 Példák f:4x 5 -3x 4 +7x 3 -2x+1 g:log 25 x h: sinx-3cosx i: 3x 2 sinx

8 Alkalmazás Mekkora az f(x) függvény meredeksége az x=3 helyen? Példa: f:4x 5 -3x 4 +7x 3 -2x+1 f’:20x 4 -12x 3 +21x 2 -2 f’:20(3) 4 -12(3) 3 +21(3) 2 -2 f’(x=3)=1483 tgα=1483

9 Összetett függvény Összetett függvény deriválása (f(g(x)))’=f’(g(x))g’(x) Példa : (sin(3x 2 ))’=cos(3x 2 )6x f(g(x)) f=sin(x) g=3x 2 f(g(x))=sin(3x 2 )

10 Második derivált f(x)=5x 3 f’(x)=5·3x 2 =15x 2 f’’(x)=15·2x=30x Példa: Alkalmazás (pl): s(t)=5x 3 v(t)=15x 2 a(t)=30x F=m·aF kiszámítható

11 Szélsőérték meghatározása Példa: f(x)=2x 3 -21x 2 +60x+3 Hol van az f(x) fv. szélsőértéke? f(x) függvény szélsőértéke ott található, ahol f’(x)=0 f’(x)=6x 2 -42x+60 6x 2 -42x+60=0x 1 =5, x 2 =2 Minimum vagy maximum? f’(x)=6x 2 -42x+60 f’’(x)=12x-42 f”(5)=18 f”(2)=-18 Minimum!Maximum!

12 f(x)=2x 3 -21x 2 +60x+3

13 Gyakorló feladatok Hol vannak a szélsőértékei az f:2x 3 -3x 2 -24x függvénynek? Határozzuk meg az f:ln(3x) és a g:sin(x 2 ) függvényekhez húzott érintő meredekségét az x=4 helyen Mi lesz a második deriváltja a x 3 sinx függvénynek?

14 Teljes függvényvizsgálat Kérdések: Hol vannak a függvény szélsőértékei? Ezek minimumok vagy maximumok? Hol szigorúan monoton a függvény? Milyen tendenciát jelenít meg a függvény? Hol konvex-konkáv a függvény? Hol van a függvény inflexiós pontja?

15 Alapkijelentések Ha f’ pozitív, a függvény szigorúan monoton növő Ha f’ negatív, a függvény szigorúan monoton csökkenő Ha f’=0 a függvénynek szélsőértéke van Ha ebben a pontban f” pozitívHa ebben a pontban f” negatív lokális minimumlokális maximum Ha f” pozitív, a függvény konvex Ha f” negatív, a függvény konkáv Ha f”=0 a függvénynek inflexiós pontja van (és f”=0 környezetében a fv előjelet vált) Ezen a helyen a legnagyobb-legkisebb a függvény meredeksége

16 Példa:

17

18 Apáczai Kiadó MATEMATIKA a középiskolák 11. évfolyama számára Emelt szintű, kiegészítő tananyag Alkotószerkesztő: Csatár Katalin

19 Illesztés pontokra - regresszió


Letölteni ppt "2. MATEMATIKA ELŐADÁS Differenciálszámítás. Miért hasznos a differenciálszámítás? ÁtlagsebességPillanatnyi sebesség Sebesség = út/idő Példa:"

Hasonló előadás


Google Hirdetések