Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Sin(x) log a x ? f(x)= Rövid összefoglaló a függvényekről Használati utasítás: Bal egérgombbal haladhatsz tovább. Jobb egérgombbal vagy a böngésző segítségével.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Sin(x) log a x ? f(x)= Rövid összefoglaló a függvényekről Használati utasítás: Bal egérgombbal haladhatsz tovább. Jobb egérgombbal vagy a böngésző segítségével."— Előadás másolata:

1 sin(x) log a x ? f(x)= Rövid összefoglaló a függvényekről Használati utasítás: Bal egérgombbal haladhatsz tovább. Jobb egérgombbal vagy a böngésző segítségével léphetsz vissza.

2 Függvény fogalma A B Aminden Bpontosanegy függvénynek Ha az A halmaz minden elemének megfeleltetjük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor ezt az egyértelmű hozzárendelést függvénynek nevezzük. Aértelmezési tartománya Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya, jele: D f vagy ÉT; Brészhalmazá értékkészletét A B halmaz azon részhalmazá nak elemei, melyeket az A halmaz elemeihez rendeltünk, alkotják a függvény értékkészletét. Jele: R f vagy ÉK. Valósfüggvények Valós függvények, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számoknak egy részhalmaza.

3 kölcsönösen egyértelmű f f -1 inverz függvényén D f - 1 =R f R f -1 =D f f -1 :f(x)  x Ha az f függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelése D f elemeinek R f halmaz elemeihez, akkor az f függvény f -1 inverz függvényén értjük azt a függvényt, amelyre: D f - 1 = R f, R f -1 =D f, és minden f(x)  R f esetén f -1 : f(x)  x, ahol f -1 az f inverz függvényét jelöli. R f -1 =D f D f -1 = R f f f -1 Függvény inverze

4 ffüggvénygrafikonján y = f(x)egyenletű ponthalmaztA derékszögű koordináta- rendszerben az f függvény grafikonján az y = f(x) egyenletű ponthalmazt értjük, ez tehát az ( x; f(x) ) koordinátapárral jellemzett pontokból áll. Függvény grafikonja x y ( x; f(x) )

5 tükrösy = x egyenesre Egy függvénynek és inverzének képe tükrös az y = x egyenesre, erre tükrös ugyanis a két koordinátatengely is, és a tükrözés éppen az értelmezési tartomány és az értékkészlet felcserélését jelenti. Például: f(x)= 2x-3 és f -1 (x)=0,5x+1,5 Függvény inverze y = x f -1 (x) f (x) x y

6 Példa Függvény inverze Néhány függvény és inverze: f(x)= 2 x és f -1 (x)=log 2 x f(x)= x 2 és f -1 (x)=, ha x  0

7 Periodikus periodikusnak p f (x+p) = f(x) Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan p >0 valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden x eleme esetén x + p is eleme az értelmezési tartománynak; és f (x+p) = f(x) teljesül, azaz egy bizonyos intervallum után a függvényértékek ismétlődnek. A p számok közül a legkisebbet ( ha van ilyen ) nevezzük az f függvény periódusának függvénytulajdonságai ismétlődnek Periodikus függvények vizsgálatához elegendő egy, a periódussal azonos hosszúságú intervallumban vizsgálnunk a függvényt, hiszen a függvény tulajdonságai periódusonként ismétlődnek. Periodikus függvények például: Konstans függvény f (x) = b sin(x) = sin(x+k2  ), ahol k  , p = 2  cos(x) = cos(x+k2  ), ahol k   p = 2  tg(x) = tg(x+k  ), ahol  p =  ctg(x) = ctg(x+k  ), ahol k  , p =  y x p

8 Páros párosnak f (-x) = f (x) Az ƒ függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartománya minden x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak; és f (-x) = f (x) teljesül. szimmetrikus ytengelyre Páros függvények grafikonja (ha létezik) szimmetrikus az y tengelyre. -a a f (-a)= f (a) y x Például: páros kitevőjű hatványfüggvények, mert például ƒ(x) = x 2 esetén (-x) 2 = (x) 2 a koszinusz szögfüggvény, mert cos(-x) = cos(x). az abszolútérték-függvény, mert | -x | = | x |.

9 -a a f (-a) f (a)Páratlan páratlannak ƒ (-x) = - ƒ(x) Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési tartománya minden x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak; és ƒ (-x) = - ƒ(x) teljesül. szimmetrikus origóra Páratlan függvények grafikonja (ha létezik) szimmetrikus az origóra. páratlan kitevőjű hatványfüggvények, mert például ƒ(x) = x 3 esetén (-x) 3 = -(x) 3 a szinusz szögfüggvény, mert sin(-x) = -sin(x). a tangens szögfüggvény, mert tg(-x) = -tg(x). a kotangens szögfüggvény, mert ctg(-x) = -ctg(x). Nem lehet minden függvényt a páros vagy páratlan függvények osztályába besorolni, a függvények többsége sem nem páros, sem nem páratlan. Ilyen például a g(x)=2x-3 függvény. például :

10 x tengellyelpárhuzamossávban Korlátos függvény görbéje az x tengellyel párhuzamos sávban helyezkedik el. Például: f (x)= sin x, mert -1  sin x  1, felülrőlkorlátos ƒ(x)  K Az f függvény felülről korlátos, ha van olyan K valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére ƒ(x)  K. alulról korlátos f (x)  k Az f függvény alulról korlátos, ha van olyan k valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére f (x)  k. korlátos Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos.KorlátosKk y x Például: f (x) = –x 2, mert –x 2  0 g(x) = 1- | x |, mert 1- | x |  1 Például: f (x)= x 2, mert x 2  0 g(x)= 2 x, mert 2 x  0

11 Növekedés monotonnövekvő x 1 < x 2 ƒ(x 1 )  ƒ(x 2 ). Az f függvény az értelmezési tartományának egy [a;b] intervallumán monoton növekvő, ha az intervallum minden olyan x 1, x 2 elemére, amelyre x 1 < x 2, az ƒ(x 1 )  ƒ(x 2 ). szigorúanmonotonnövekvő Az f függvény az értelmezési tartományának egy [a;b] intervallumán szigorúan monoton növekvő, ha az intervallum minden olyan x 1, x 2 elemére, amelyre x 1 < x 2 ƒ(x 1 ) < ƒ(x 2 ). x 1 < x 2, az ƒ(x 1 ) < ƒ(x 2 ). Például: f(x)= x 2 a ]-  ;0] intervallumon, g(x)= 2 x a ]-  ;  [ intervallumon, h(x)= cos(x) a [  +k2  ; 2  +k2  ] intervallumon (k   x1x1 ab x2x2 ƒ(x 2 ) ƒ(x 1 ) b y x ƒ(x 2 ) ƒ(x 1 ) x1x1 x2x2 b a y x

12 monotoncsökkenő Az f függvény az értelmezési tartományának egy [a;b] intervallumán monoton csökkenő, ha az intervallum minden olyan x 1, x 2 elemére, amelyre x 1 < x 2 ƒ(x 1 )  ƒ(x 2 ) x 1 < x 2, az ƒ(x 1 )  ƒ(x 2 ) szigorúanmonotoncsökkenő Az f függvény az értelmezési tartományának egy [a;b] intervallumán szigorúan monoton csökkenő, ha az intervallum minden olyan x 1, x 2 elemére, amelyre x 1 ƒ(x 2 ) Például: f(x)= x 2 a ]-  ;0] intervallumon, g(x)= 2 -x a ]-  ;  [ intervallumon, h(x)= cos(x) függvény a [k2  ;  +k2  ] intervallumon (k   Csökkenés ab x2x2 ƒ(x 2 ) ƒ(x 1 ) ƒ(x 2 ) ƒ(x 1 ) x1x1 x2x2 b a x1x1

13 Maximum abszolút)maximuma Az f függvénynek ( abszolút) maximuma van az értelmezési tartomány egy x 0 értékénél, ha az értelmezési tartomány minden x minden x elemére fennáll, ƒ(x)  ƒ(x 0 ). hogy ƒ(x)  ƒ(x 0 ). Például: ƒ(x)=cos(x) függvénynek az x=k2  helyen (k   )  értéke: cos(k2  )=1 g(x)= 1- | x | függvénynek az x=0 helyen, értéke: 1- | 0 |=1. x y x 0 -  x 0 x 0 +  EMELT SZINT! Az f függvénynek az x 0 helyen helyimaximuma helyi (lokális) maximuma van,  sugarú ha van x 0 -nak olyan  (<0) sugarú környezete, hogy bármely ƒ(x)  ƒ(x 0 ). x  ] x 0 -  ; x 0 +  [; ƒ(x)  ƒ(x 0 ).

14 Minimum Az f függvénynek abszolút)minimuma ( abszolút) minimuma van az értelmezési tartomány egy x 0 értékénél, ha az értelmezési minden x tartomány minden x elemére ƒ(x)  ƒ(x 0 ). fennáll, hogy ƒ(x)  ƒ(x 0 ). x y x 0 -  x 0 x 0 +  Például: ƒ(x)=cos(x) függvénynek az x=  +k2  helyen (k   )  értéke: cos(  +k2  )= -1 g(x)= x 2 függvénynek az x=0 helyen, értéke: 0 2 = 0, nincs szélsőértéke a h(x) = 2 x exponenciális függvénynek. EMELT SZINT! Az f függvénynek az x 0 helyen helyi minimuma helyi (lokális) minimuma van,  sugarú környezete ha van x 0 -nak olyan  (<0) sugarú környezete, hogy bármely ƒ(x)  ƒ(x 0 ). x  ] x 0 -  ; x 0 +  [; ƒ(x)  ƒ(x 0 ).

15 Zérushely zérushelyén ƒ(x)=0 Az f függvény zérushelyén értelmezési tartományának azon elemét (x értékét) értjük, amelyhez tartozó függvényérték nulla, azaz ƒ(x)=0. metszi az x tengelyt. A függvények grafikonja (ha létezik) a zérushelyen metszi az x tengelyt. Például: ƒ(x)=sin(x) függvénynek az x=  +k2  helyen (k   )  mert sin(  +k2  )= 0, g(x) = x 2 függvénynek az x=0 helyen, mert 0 2 =0, Nincs zérushelye a h(x) = 2 x függvénynek. x y

16 Függvénytranszformációk A függvénygörbe transzformációjáról (ill. függvénytranszformáci óról) beszélünk, ha kapcsolatot keresünk az f(x) és pl. az f(x+a)+b függvények, ill. görbéi között.

17 f(x)+cf(x)+c y=f(x)+c c x y=f(x) 0 x y Függvényérték transzformáció Valós szám hozzáadása y tengellyel párhuzamos, eltolással c>0 c 0, akkor „felfelé”; ha c<0, akkor „lefelé” való eltolással.

18 0 x y y=f(x) c>1 y=cf(x) c  f(x) Függvényérték transzformáció Szorzás pozitív valós számmal ordinátáját c- szeresére változtatjuk c>1 megnyúlik az y tengely mentén, 0 1, akkor az f(x) függvény grafikonja c-szeresére megnyúlik az y tengely mentén, ha 0

19 0 x y y=f(x) y=-f(x) -f(x) Függvényérték transzformáció Szorzás -1-gyel x tengelyre való tükrözés Szorzás -1-gyel: -f(x) Az y= f(x) minden pontjának ordinátája ellentettjére változik és ez az x tengelyre való tükrözés t jelent.

20 f(x+c) 0 x y 0 x y x 0 y x y=f(x) xx-c y=f(x+c) Változó transzformáció Valós szám hozzáadása x tengellyel párhuzamos, -c eltolás c>0 c 0, akkor „balra”, ha c<0, akkor „jobbra”  c  -vel kell eltolni az f(x) függvény grafikonját.

21 Szorzás pozitív valós számmal: abszcisszáját nyújtjuk, ha c 1 Szorzás pozitív valós számmal: f (cx) (c  R + ) Az y=f(x) függvénygörbe minden pontjának az abszcisszáját c-szeresére nyújtjuk, ha c 1, az f(cx) függvény ugyanis az helyen ugyanazt az értéket veszi fel, mint az f(x) az x helyen: f(c ) = f(x). Az x=0-ban felvett függvényértékek nem változnak. 0 y x y=f(x) f (cx) Változó transzformáció y=f(cx) x c<1 c x

22 0 y x y=f(x) x y=f(-x) -x f(-x) Változó transzformáció Szorzás -1-gyel: y tengelyre tükrözzük Szorzás -1-gyel: f(-x) Ekkor az f(x) függvény grafikonját az y tengelyre tükrözzük, ugyanis f(x) függvény -x helyen felvett függvényértéke megegyezik az f(-x) függvény x helyen felvett értékével.

23 Lineáris függvények f(x)=ax+b ameredekség Az a -t a fügvény meredekség ének nevezzük. f: R  R, f(x)=ax+b (a,b  R) ÉT: x  R ÉK: f(x)  R, ha a  0 f(x)  {b}, ha a=0 Képe: egyenes Menete: Szig. mon. csökkenő, ha a<0 Szig. mon. növekvő, ha a>0 Zérushelye: x= -, ha a  0 b a b a b a>0 a<0 - a=0

24 Elsőfokú függvény f(x)=ax+b f: R  R, f(x)=ax+b (a  0; a,b  R) Lineáris függvények ÉT: x  R ÉK: f(x)  R Képe: egyenes Menete: Szig. mon. csökkenő, ha a<0 Szig. mon. növekvő, ha a>0 Zérushelye: x= - b a egyenes arányosság ha b=0, akkor f(x)=ax az egyenes arányosság függvénye b a b a>0 a<0 -

25 Konstans függvény f(x)=b f: R  {b}, f(x)=b (b  R) ÉT: x  R ÉK: f(x)  {b} x tengellyel Képe: az x tengellyel párhuzamos párhuzamos egyenes, amely a (0;b) pontban metszi az y tengelyt Zérushelye: nincs Páros Korlátos k=K=b b x y Lineáris függvények

26 Hatványfüggvények f(x)= x n f: R  R, f(x)=x n (n  Q) n  Z + páros n  Z + és páros ÉT: x  R\R - ÉK: f(x)  R\R - Menete: Szig. mon. csökkenő: x  ]- ,0] Szig. mon. növekvő: x  [0,  [ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0, értéke: f(x)=0 Páros Alulról korlátos k=0

27 Hatványfüggvények f(x)= x n f: R  R, f(x)=x n (n  Q) ÉT: x  R ÉK: f(x)  R Menete: Szig. mon. növekvő: x  R Zérushelye: x=0 Szélsőértéke nincs Páratlan Nem korlátos n  Z + \{1} páratlan n  Z + \{1} és páratlan

28 Hatványfüggvények f(x)= x n f: R  R, f(x)=x n (n  Q) k páros k páros  Z + ÉT: x  R\R - ÉK: f(x)  R\R - Menete: Szig. mon. növekvő: x  [0,  [ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0, értéke: f(x)=0 Alulról korlátos k=0 n =k  Z + \{1} n = k  Z + \{1} k kk k f(x)=  x —k

29 Hatványfüggvények f(x)= x n f: R  R, f(x)=x n (n  Q) ÉT: x  R ÉK: f(x)  R Menete: Szig. mon. növekvő: x  R Zérushelye: x=0 Szélsőértéke nincs Páratlan Nem korlátos k páratlan n =k  Z + \{1} n = k  Z + \{1} k kk k f(x)=  x —k

30 Másodfokú függvények f(x)= x 2 f: R  R\R -, f(x)=x 2 ÉT: x  R ÉK: f(x)  R\R - Képe: parabola Menete: Szig. mon. csökkenő: x  ]- ,0] Szig. mon. növekvő: x  [0,  [ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0, értéke: f(x)=0 Páros Alulról korlátos k=0Hatványfüggvények

31 Négyzetgyökfüggvény f(x)=  x f: R\R -  R\R -, f(x) = ÉT: x  R\R - ÉK: f(x)  R\R - Képe: félparabola Menete: Szig. mon. növekvő: x  [0,  [ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0 értéke: f(x)=0 Alulról korlátos k=0 Hatványfüggvények

32 Abszolútérték-függvény f(x)=  x  f: R  R \R -, f(x)=  x  ÉT: x  R ÉK: f(x)  R\R - Menete: Szig. mon. csökkenő: x  ]- ,0] Szig. mon. növekvő: x  [0,  [ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0 értéke: f(x)=0 Páros Alulról korlátos, k=0

33 Elsőfokú törtfüggvény f(x)= f : R\ { }  R, f(x)= (a,b egyidejűleg nem 0 és c  0; a,b,c,d  R)1x f: R \{0}  R, f(x)= 1 x ÉT: x  R ÉK: f(x)  R\R - Menete: Szig. mon. csökkenő: x  ]- ,0] Szig. mon. növekvő: x  [0,  [ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0 értéke: f(x)=0 Páros Alulról korlátos, k=0

34 Exponenciális függvények f(x)= a x f: R  R +, f(x)= a x (a  R + \{1}) ÉT: x  R ÉK: f(x)  R + Menete: Szig. mon. csökkenő, a<1 ha a<1 x  R Szig. mon. növekvő, a>1 ha a>1 x  R Zérushelye nincs Szélsőértéke: nincs Alulról korlátos, k=0 a<1 a>1

35 Logaritmusfüggvények f(x)=log a x f: R +  R, f(x)=log a x (a  R + \{1}) ÉT: x  R + ÉK: f(x)  R Menete: Szig. mon. csökkenő, a<1 ha a<1 x  R Szig. mon. növekvő, a>1 ha a>1 x  R Zérushelye: x=1 Szélsőértéke: nincs Nem korlátos a<1 a>1

36 Szinuszfüggvényf(x)=sin(x) f: R  [-1;1], f(x) = sinx Trigonometrikus függvények ÉT: x  R ÉK: f(x)  [-1;1] Periodikus, periodusa: 2  Szig. mon. nő: x  Szig. mon. csökken: x  Zérushelye: x= k  Abszolút maximuma: helye: x= értéke: f(x)= 1 Abszolút minimuma: helye: x= értéke: f(x)= – 1 Páratlan függvény Korlátos: -1  sinx  1 k  Z

37 Koszinuszfüggvényf(x)=cos(x) f: R  [-1;1], f(x) = cosx Trigonometrikus függvények ÉT: x  R ÉK: f(x)  [-1;1] Periodikus, periodusa: 2  Szig. mon. nő: x  [  +k2  ; 2  +k2  ] Szig. mon. csökken: x  [k2  ;  +k2  ] Zérushelye: x= Abszolút maximuma: helye: x= k2  értéke: f(x)=1 Abszolút minimuma: helye: x=  +k2  értéke: f(x)= -1 Páros függvény Korlátos: -1  cosx  1 k  Z

38 Tangensfüggvény f(x)=tg(x) f: R\{ +k  }  R, f(x) = tgx  2 Trigonometrikus függvények ÉT: x  R\{ + k  } ÉK: f(x)  R Periodikus, periodusa:  Szig. mon. nő: x  Zérushelye: x= k , k  Z Páratlan függvény Nem korlátos  2

39 Kotangensfüggvény f(x)=ctg(x) f: R\{k  }  R, f(x) = ctgx Trigonometrikus függvények ÉT: x  R\ { k  } ÉK: f(x)  R Periodikus, periodusa:  Szig. mon. csökken: x  ]k  ;  + k  [ Zérushelye: x= + k  k  Z Páratlan függvény Nem korlátos  2

40 Gyakorlás 1. feladat Ábrázold az f(x)=  x+1  +2 függvényt x   x  x   x+1  x   x+1  x   x+1  +2 A transzformáció lépései:

41 1. feladat ÉT: ÉK: Szig. mon. nő: Szig. mon. csökken: Zérushelye: Abszolút maximuma: helye: értéke: Felülről korlátos: x  R f(x)  [ -1; 1] x  ] - , -1 ] x  [ -1;  [ x = -3; x = -1 x = -1 f(-1)= 2 K= 2 Gyakorlás Jellemezd az f(x)=  x+1  +2 függvényt!

42 2. feladat Gyakorlás Ábrázold az f(x)= 0,5sin(0,5x) -1 függvényt! A transzformáció lépései: x  sinx x  sin(0,5x) x  0,5sin(0,5x) x  0,5sin(0,5x)+1

43 2. feladat Gyakorlás Jellemezd az f(x)=0,5sin(0,5x)  1 függvényt! ÉT: x  R ÉK: f(x)  [ -1,5; -0,5 ] Periodikus, periodusa: 4  Szig. mon. nő: x  [-  +k4  ;  +k4  ] Szig. mon. csökken: x  [  +k4  ; 3  +k4  ] Zérushelye: nincs Abszolút maximuma: helye: x=  +k4  értéke: f(x)= – 0,5 Abszolút minimuma: helye: x= 3  +k4  értéke: f(x)= – 1,5 Korlátos: -1,5  f(x)  -0,5 k  Z

44 Gyakorlás 3. feladat Ábrázold az f(x)= - 0,5(x+2) 2 +3 függvényt! A transzformáció lépései: x  x 2 x  (x+2) 2 x  0,5(x+2) 2 x  - 0,5(x+2) 2 x  - 0,5(x+2) 2 +3

45 Végül 3. feladat Jellemezd az f(x)= - 0,5(x+2) 2 +3 függvényt! ÉT: ÉK: Szig. mon. nő: Szig. mon. csökken: Zérushelye: Maximuma: helye: értéke: Felülről korlátos: x  R f(x)  ] -  ; 3] x  ] - , -2 ] x  [ -2;  [ x = ; x = x = -2 f(-1)= 3 K= 3


Letölteni ppt "Sin(x) log a x ? f(x)= Rövid összefoglaló a függvényekről Használati utasítás: Bal egérgombbal haladhatsz tovább. Jobb egérgombbal vagy a böngésző segítségével."

Hasonló előadás


Google Hirdetések