Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Lineáris algebra. Definíció: m sorba és n oszlopba rendezett számok táblázatát mxn-es mátrixnak nevezzük. Jelölés: Definíció: Az A mátrix transzponáltjaha.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Lineáris algebra. Definíció: m sorba és n oszlopba rendezett számok táblázatát mxn-es mátrixnak nevezzük. Jelölés: Definíció: Az A mátrix transzponáltjaha."— Előadás másolata:

1 Lineáris algebra

2 Definíció: m sorba és n oszlopba rendezett számok táblázatát mxn-es mátrixnak nevezzük. Jelölés: Definíció: Az A mátrix transzponáltjaha Definíció: A négyzetes mátrix, ha sorainak és oszlopainak száma megegyezik. Definíció:Két mátrix egyenlő, ha elemeik rendre megegyeznek.

3 Definíció: E négyzetes mátrix egységmátrix, ha Megjegyzés: mátrix egy szám, így a mátrix a számok általánosításának tekinthető. Definíció: Speciális mátrixoszlopvektorpedig sorvektor Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés állítható fel a szám n-esek és az n elemű oszlopvektorok között. Definíció: Permutáló mátrix minden sorában és oszlopában pontosan egy 1 áll, a többi eleme 0. Definíció: Összegző mátrix soraiban oszlopaiban annyi 1 áll, amennyit összegezni akarunk, a többi elem 0.

4 Speciális vektorok: vektor egységvektorok vektor

5 Műveletek vektorokkal: - skalárral való szorzás - - vektorok lineáris kombinációja - vektorok közötti relációk Definíció: Elemek egy halmaza lineáris teret alkot, ha értelmezett az elemek között az összeadás, a számmal való szorzás művelete, ezekre a műveletekre vonatkozóan zárt a rendszer, továbbá teljesülnek az asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás szabályai, valamint van egységelem és inverz az összeadásra nézve. A rendezett szám n-esek lineáris teret alkotnak.

6 Műveletek mátrixokkal: Műveleti tulajdonságok Az mxn-es mátrixok lineáris teret alkotnak. Mátrixok szorzása: Definíció: Megjegyzés: A szorzás csak akkor végezhető el, ha A mátrix oszlopainak száma megegyezik B mátrix sorainak számával.

7 A mátrixszorzás tulajdonságai: - A mátrixszorzás nem kommutatív - A mátrixszorzás asszociatív - A mátrixszorzás disztributív. Mátrix inverze: Definíció: Azmátrix inverze azmátrix, ha ahol E a tér egységmátrixa.

8 Determinánsok Definíció: Minden négyzetes mátrixhoz hozzárendelünk egy valós számot, melyet a mátrix determinánsának nevezünk, az alábbi szabályok szerint: - - ahol előjeles aldetermináns

9 Megjegyzés: előjeles aldetermináns A determináns tulajdonságai: - Ha a mátrix egy sorának, vagy egy oszlopának az elemei nullák, a mátrix determinánsa 0. - Ha a mátrix két sorának, vagy oszlopának elemei rendre megegyeznek, a mátrix determinánsa 0. - A mátrix determinánsának értéke nem változik, ha hozzáadjuk a mátrix egy sorához, vagy oszlopához rendre a többi sorának vagy oszlopának lineáris kombinációját. - A mátrix és transzponáltjának determinánsa megegyezik. - Ha a mátrix egy sorát vagy egy oszlopát megszorozzuk egy r valós számmal, a determinánsa is r-szeresére változik. - Ha felcseréljük a mátrix két szomszédos sorát vagy oszlopát, determinánsa (-1)-szeresére változik. - A mátrix determinánsa független attól, hogy melyik sora vagy oszlopa szerint fejtjük ki.

10 Tétel: A mátrix inverzének meghatározása Az A mátrixnak akkor és csak akkor van inverz mátrixa, ha determinánsa nem 0 és ekkor aholjelöli a mátrix előjeles aldeterminánsai által alkotott mátrix transzponáltját. Megjegyzés Az inverz mátrix meghatározható a permutáló mátrixok és összegző, számmal szorzó mátrixok segítségével is.

11 Mátrix sajátértéke, sajátvektora Definíció: Legyen A egy négyzetes mátrix. Az A mátrix sajátértékének nevezzük az összes olyan valós számot, melyhez létezik hogy Asajátértékhez tartozóvektort az A mátrix sajátvektorának nevezzük. Tétel: Legyen az A mátrix típusú mátrix. A valós szám akkor és csak akkor sajátértéke az A mátrixnak, ha a mátrixnak nincs inverze.( az egységmátrix) Definíció: Apolinomot az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük. Tétel: Az A mátrix sajátértékei az A mátrix karakterisztikus polinomjának gyökei

12 Vektorrendszerek lineáris függetlensége,összefüggősége A továbbiakban elemeivel, azaz a rendezett szám n-esekkel foglalkozunk. Definíció: A vektort a vektorok lineáris kombinációjának nevezzük, ahol valós számok. Definíció: Az vektorrendszer lineárisan független, ha lineáris kombinációjuk a vektort csak triviális módon állítja elő, azaz ha a kombinációban szereplő valamennyi együttható 0. Megjegyzés A nem független vektorrendszert összefüggőnek mondjuk.

13 Állítás: -ben vektorok lineárisan függetlenek. Állítás: Lineárisan független rendszerben a vektor nem szerepelhet. Állítás: Lineárisan független rendszer részrendszere is lineárisan független. Állítás: Lineárisan összefüggő rendszerben legalább egy vektor kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. Állítás: Ha az vektorrendszerben egy vektor kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként, a vektorrendszer összefüggő.

14 Definíció: Az vektorrendszer rangja az a szám, amely megegyezik a rendszer maximális elemszámú lineárisan független elemeinek számával. Példa: Az lineáris tér rangja n, mivel lineárisan függetlenek és a tér bármely vektora felírható ezek lineáris kombinációjaként. Tétel: Ha az vektorrendszer rangja r, akkor a rendszer minden vektora egyértelműen állítható elő a rendszer bármely r elemből álló lineárisan független elemeinek lineáris kombinációjaként.

15 Definíció: A lineáris térben felvehető lineárisan független vektorok maximális számát a lineáris tér dimenziójának nevezzük. Megjegyzés - Ha n lineárisan független vektor létezik, de minden n+1 elemű lineáris vektorrendszer összefüggő, akkor a tér dimenziója n. Példa dimenziója n. Definíció: Egy n dimenziós térben n elemű lineárisan független vektorrendszert bázisnak nevezünk. Egy lineáris térben több bázis is lehet. Tétel: A lineáris tér minden eleme egyértelműen állítható elő báziselemek lineáris kombinációjaként. Definíció: Írjuk fel a lineáris tér elemeit egy adott bázis elemeinek lineáris kombinációjaként. A felírásban szereplő együtthatók a térelemek koordinátái az adott bázisra vonatkozóan. - A koordináták tehát bázisfüggők.

16 Lineáris egyenletrendszerek Tekintsük az alábbi n ismeretlent tartalmazó m egyenletből álló egyenletrendszert ahol és. A nevezett egyenletrendszert lineáris egyenletrendszernek nevezzük. Ha minden i-re, akkor az egyenletrendszer homogén, különben inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.

17 Az egyenletrendszer együtthatóiból álló mátrixot együttható mátrixnak nevezzük. Bevezetve az ismeretleneket tartalmazó oszlopvektort és a jobb oldalon szereplő konstansok alkotta oszlopvektort a lineáris egyenletrendszer az alábbi mátrixos formában írható.

18 Amint az könnyen igazolható a lineáris egyenletrendszer felírható még az együttható mátrix oszlopai által meghatározott oszlopvektorok lineáris kombinációjaként is: Bevezetve: ….. az egyenletrendszer alakba írható.

19 Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval A gauss elimináció módszere egy igen hatékony algoritmus lineáris egyenletrendszerek megoldására, különösen ha sok egyenletünk van, sok ismeretlennel. A módszer azon alapszik, hogy az úgynevezett háromszög típusú lineáris egyenletrendszereket igen könnyű megoldani, amint azt a következő példán keresztül könnyen láthatjuk: Példa: ( Az adott típusú egyenletrendszert nevezzük háromszög típusú egyenletrendszernek.) Megoldás: Az együtthatókat táblázatba rendezve: t=…………z=…………y=…………..x=………….

20 A Gauss módszer elve Az egyenlő együtthatók elve alapján az eredeti egyenletrendszert egy vele ekvivalens háromszög típusú egyenletrendszerrel helyettesítjük, majd az így kapott egyszerűbb egyenletrendszernek határozzuk meg a megoldásait. Feladat: Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: Az egyenletrendszer együtthatóit táblázatba írva:

21 S’: x + y + 3z + 4t = 3 - y - 3z -12t =10 - y - 8z - 8t = 6 - y -10z – 16t =14

22

23

24

25

26


Letölteni ppt "Lineáris algebra. Definíció: m sorba és n oszlopba rendezett számok táblázatát mxn-es mátrixnak nevezzük. Jelölés: Definíció: Az A mátrix transzponáltjaha."

Hasonló előadás


Google Hirdetések