Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszerek 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszerek 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk."— Előadás másolata:

1 2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszerek 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk

2 Mire használjuk? Transzformációk a grafikában: - tárgyak elhelyezése, - részek összeállítása - tárgyak valószerű átalakításai (GM), - a tárgyak képe: vetítés síkra - egyebek

3 Milyen transzformációk kellenek? - E 3 –ban és H 3 -ban ( H 3 = E 3  I 3 ) - minden pontnak van transzformáltja, - H 3  H 3 (kölcsönösen egyértelmű) - pontot  pont, - egyenes  egyenes - sík  sík - illeszkedést tartó módon. Ilyenek a kollineációk, (projektív transzformációk)

4 Kollineációk (projektív transzformációk) Kollineációk a projektív geometriában... Itt: a transzformációk geometriai, szemléletes jelentése... A transzformációk számítási eljárásai: Pontok transzformációja: X’ = M 44  X Egyenes transzformációja: Ha e = ( P, Q ), akkor e’ = ( P’, Q’ ) ; P’ = M 44  P, Q’ = M 44  Q stb: alakzatok meghatározó pontjait...

5 A kollineációk mátrix alakja H 3 pontjai: X = [x 1, x 2, x 3, h] T  H 3 ; h = 0|1; X   X ;  0; H 3 kollineációi: { M 44 ; det M 44  0}; M    M ;   0 X’ = M 44  X = = (m 11 m 12 m 13 m 14 )  (x 1 ) = (m 11 x 1 +m 12 x 2 +m 13 x 3 +m 14 h) = (x 1 ’) |m 21 m 22 m 23 m 24 | |x 2 | |m 21 x 1 +m 22 x 2 +m 23 x 3 +m 24 h| |x 2 ’| |m 31 m 32 m 33 m 34 | |x 3 | |m 31 x 1 +m 32 x 2 +m 33 x 3 +m 34 h| |x 3 ’| (m 41 m 42 m 43 m 44 ) (h ) (m 41 x 1 +m 42 x 2 +m 43 x 3 +m 44 h) (h ’)

6 X’ = M 44  X = = (m 11 m 12 m 13 m 14 )  (x 1 ) = (m 11 x 1 +m 12 x 2 +m 13 x 3 +m 14 h) = (x 1 ’) |m 21 m 22 m 23 m 24 | |x 2 | |m 21 x 1 +m 22 x 2 +m 23 x 3 +m 24 h| |x 2 ’| |m 31 m 32 m 33 m 34 | |x 3 | |m 31 x 1 +m 32 x 2 +m 33 x 3 +m 34 h| |x 3 ’| (m 41 m 42 m 43 m 44 ) (h ) (m 41 x 1 +m 42 x 2 +m 43 x 3 +m 44 h) (h ’) = (m 11 m 12 m 13 m 14 )  (x 1 ) = m 11 x 1 +m 12 x 2 +m 13 x 3 +m 14 h = x 1 ’ |x 2 | |x 3 | (h )

7 E 3 és H 3 kollineációi: csoport E 3 kolline á ci ó i: affin transzformációk, alcsoport, E 3  E 3 és I 3  I 3 H 3 kollineációi: a projektív transzformációk csoportja H 3  H 3, egy – egy é rtelmű leképezés, pont-, egyenes-, s í k- é s illeszked é st tartó H 3 = E 3  I 3 esetleg egy k ö z ö ns é ges s í k  I 3 é s akkor I 3  egy k ö z ö ns é ges s í kra

8 A következő órákon: Affin transzformációk Párhuzamos vetítés Axonometria Projektív transzformáció Középpontos vetítés Perspektíva

9 Affin transzformációk (a grafikában – szemléletes bevezetés)

10 Affin transzformációk Szemléletes geometria, ill. analitikus geometria E n  E n pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartó transzformációk P’ = A 33 · P + d P’ = A 34 · P ; x’ = a 11 · x + a 12 · y + a 13 · z + a 14 y’ = a 21 · x + a 22 · y + a 23 · z + a 24 z’ = a 31 · x + a 32 · y + a 33 · z + a 34 d

11 Affin transzformációk  Például: eltolás, forgatás, tükrözés, stb  Reguláris affinitások: det A  0; E n  E n ; n = 2, 3, … (Ha det A = 0 : vetítés egy síkra, vagy más altérre)  Szóhasználat: affin transzformáció, affinitás (?), transzformáció, leképezés  Pont-transzformáció: alakzatok pontjait Koordináta-rendszer transzformáció: áttérés új KR-re A tér leképezése egy másik térre pl. VKR  KKR

12 Affin transzformáció mátrix-szorzással Homogén mátrix alakja: A 44 utolsó sora: (0, 0, 0, c) ; c  0; általában = 1 Egy pont homogén alakja: X = [x, y, z, h] T ; h = 0 | 1 X’ = A 44  X = (a 11 a 12 a 13 a 14 )  (x) = (x’) ; h = 0 | 1 |a 21 a 22 a 23 a 24 | |y| |y’| |a 31 a 32 a 33 a 34 | |z| |z’| ( ) (h) (h’); h’ = h !!! közönséges pont  közönséges pont, ideális pont  ideális pont: az ideális sík  önmaga.

13 Affin transzformációk A mátrix megadása: –geometria jelentése alapján: szemléletes elemi affinitások szorzataként –vagy 4 meghatározó pont-párból: a „határozatlan együtthatók módszere”

14 „Elemi” affin transzformációk „elemi”: szemléletes és egyszerű a mátrixa Eltolás ( T ), forgatás ( R ), léptékezés ( S ), nyírás ( N ) Tükrözés, báziscsere, Tétel: Ha A affin traanszformáció, akkor van olyan T, R 1, R 2, R 3, S, N, a amelyekkel: A = N  S  O  T ; O = R 1  R 2  R 3 azaz: P ’ = A  P = ( N  S  O  T )  P Minden A ilyenekből áll !

15 A mátrix vizsgálata  A mátrix jellemző elemei: A 44 = (s x a 12 a 13 d x ); det A  0 ; > 1 | < 1 |a 21 s y a 23 d y | |a 31 a 32 s z d z | ( )

16 Egyszerű affinitások: 1. Eltolás Adott: d = (d x, d y, d z ) eltolás-vektor Minden pontra: X’ = X + d = (x + d x, y + d y, z + d z ) d X’ = T  X = (X + d) (x’) = ( d x ) · (x) = ( x + d x ) |y’| | d y | |y| | y + d y | |z’| | d z | |z| | z + d z | (1 ) ( ) (1) ( 1 ) T 2  ( T 1  P) = ( T 2  T 1 )  P = T 3  P

17 Egysz. aff. 2. Forgatás a Z tengely körül x’ = x  cos  - y  sin  y’ = x  sin  + y  cos  z’ = z; A síkban: a kezdőpont (origó) körül: a 3. sor és 3. oszlop nélkül a Z tengely körüli forgatások kommutatív csoportja: Ortonormált transzformáció, determinánsa 1. R z = (co –si 0 0 ) | si co 0 0 | | | ( ) co = cos  si = sin 

18 Forgatás az X és az Y tengely körül x’ = x y’ = y  cos  - z  sin  z’ = y  sin  + z  cos  illetve: x’ = x  cos  – z  sin  y’ = y z’ = x  sin  + z  cos  egyazon tengely körüli forgatások kommutatív csoportot alkotnak R x = ( ) |0 co –si 0| |0 si co 0| ( ) R y = (co 0 –si 0) | | |si 0 co 0| ( ) co = cos  si = sin 

19 Forgatás és eltolás egymásutánja ( R  T ) ≠ ( T  R ) ! Egy pont: P(1,1) egy forgatás: R (-90 0 ) (CLW) egy eltolás: T (1,1) T  P = (2,2); R  ( T  P ) = (2,-2) R  P = (1,-1); T  ( R  P ) = (2,0)

20 Forgatások a térben az origón átmenő (ferde) tengely körül: X’ = R*  X = [ ( R z -1  R x -1 )  R y (  )  ( R x  R z ) ]  X A ferde tengely (a terem sarkán át) 1. a Z körül a ZY síkba : R z 2. itt az X körül az Y-tengelybe : R x 3. Az Y körül a kívánt forgatást: R y (  ) 4-5. Végül az fordítottját (fordított sorrendben). X Y Z

21 Forgatások a térben - 2 Forgatás tetszőleges tengely körül. A tengely (egy pontját) eltoljuk O-ba: T és ekörül forgunk (mint előbb): R * (  ) Végül az eltolás fordítottja: X’ = ( T -1  R * (  )  T )  X Transzformációk megadása: szemléletes elemi geometria transzformációk sorozatával !!

22 Egyszerű. aff.: Áttérés új KR-re; báziscsere  KR-transzformáció  egy új KR tengelyirányai: u, v, w egységvektorok. B  X’ = B  X B B = (u x u y u z 0) x’ = u x  x + u y  y + u z  z |v x v y v z 0| y’ = v x  x + v y  y + v z  z |w x w y w z 0| z’ = w x  x + w y  y + w z  z ( ) TB Az origó áthelyezésével a ( c x, c y, c z ) pontba: X’ = ( T (-c x, -c y, -c z )  B )  X

23 Egysz.aff.: 3. Léptékezés (skálázás) Léptékezés (skálázás) az origóból kiindulva: X’ = S  X S = ( s x ) x’ = s x  x | 0 s y 0 0 | y’ = s y  y | 0 0 s z 0 | z’ = s z  z ( ) Determinánsa: D = s x  s y  s z ; (egyik sem nulla). Egyenletes (izotrop) léptékezés: s x = s y = s z Egyenlőtlen (anizotrop) különben

24 Tükrözések: s i < 0 x’ = -1 · x, y’ = y, z’ = z : tükrözés az YZ síkra. Tükrözések: S (  1,  1,  1) Ha 1 tényező negatív: tükrözés koordináta-síkra, (det = -1) ha 2 koordináta tengelyre, (det = +1) ha 3 a kezdőpontra. (det = -1) Ha det = -1, a tér irányítása megfordul ! Általános helyzetű tükrözés: X’ = (ÁTHELYEZÉS -1  TÜKRÖZÉS  ÁTHELYEZÉS )  X Mozgatás: eltolások és forgatások; méret és alaktartó

25 Tengelycsere (A teljesség kedvéért :) Permutációs mátrixok; például: C yz = ( ) · [ x ] = [ x ] | | | y | | z | | | | z | | y | ( ) [1 ] [ 1] az Y és Z tengelyt fölcseréli determinánsa = -1 !!!

26 Egysz.aff.: 4. Nyírás  Merev test alakjának változása terhelés hatására.  Az „elcsúszó kártyacsomag” NN  Az XZ síkkal párhuzamosan, X irányban, az y összetevővel arányos nyírás: x’ = x + a  y ; X’ = N xy  X; N xy = ( 1 a 0 0 ) y’ = y | | z’ = z | | ( )  Nyírás a tengelyek más szereposztásával: más háromszög mátrix

27 Az affin transzformációk néhány tulajdonsága 1.A baricentrikus koordináták affin-invariánsak: ha valamilyen t-vel: R = (1 - t)  P + t  Q, akkor ugyanezzel : R’= (1 - t)  P’ + t  Q’ (P’, Q’, R’) = A  (P, Q, R) 2.Az egyenes pontjainak osztóviszonya affin-invariáns: (P’Q’R’) = (PQR); (PQR) = PR / RQ; R  Q 3.Párhuzamos szakaszok hossza egyforma arányban változik: P’Q’ / PQ = R’S’ / RS, ha PQ || RS (Különböző irányokban az arány különböző lehet)

28 Az affin transzformációk osztályozása  csoportot alkotnak  Alcsoport: hasonlósági transzformációk : T  R  S (s,s,s)  Alcsoport: mozgás transzformációk : T  R = egybevágósági transzformációk „Másodfajú” egybevágóság: a tükrözés is.  Ha det A = 0: a tér vetítése egy síkra, vagy egyenesre

29 Elhelyező transzformáció: hasonlóság SKR  VKR; M = T  S  R

30 Affin transzformáció megadása: 4-4 pont  E 3 egy affinitását meghatározza 4 „független” pont és képe. ( E 2 -ben 3)  „független”: kifeszítik a teret egyik három sem esik egy egyenesbe.

31 Pl.: Izometria - 4 független pont és képe: {O A B C}  {O’ A’ B’ C’} –f f –g –g h m a = OA = 1, AB =  2 f = AB/2 =  2/2, g = AB  (  3/2)/3, h = 2  g; m = akármi, de  0

32 A határozatlan együtthatók módszerével- olv:  A 44  ( O A B C ) := ( O’ A’ B’ C’) ! ( a 11 a 12 a 13 a 14 )  ( ) = | a 21 a 22 a 23 a 24 | | | | a 31 a 32 a 33 a 34 | | | ( ) ( ) = ( a 14 a 11 +a 14 a 12 +a 14 a 13 +a 14 ) := ( 0 –f f 0 ) | a 24 a 21 +a 24 a 22 +a 24 a 23 +a 24 | | 0 –g –g h | | a 34 a 31 +a 34 a 32 +a 34 a 33 +a 34 | | m | ( ) ( )  3 x 4 = 12 egyenlet, 12 ismeretlen: a ik  Van megoldás, ha det A 44  0 (ha független pontok)


Letölteni ppt "2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszerek 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk."

Hasonló előadás


Google Hirdetések