Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Barangolás a geometria szépségeiben

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Barangolás a geometria szépségeiben"— Előadás másolata:

1 Barangolás a geometria szépségeiben

2 1. feladat Rekkenő hőségben a tűző napon a patak egyik partján áll egy szamár. A patak ugyanazon oldalán van egy hűs árnyat adó lombos fa is. A szamár okos és lusta állat, ezért a legrövidebb úton megy a patakhoz inni és onnan a fa alá hűsölni. A patak melyik pontján iszik a szamár?

3 1. feladat megoldása S F P S’ K SK +KF = S’K + KF

4 2. feladat Adott egy általános és hegyesszögű ABC háromszög és AB oldalán egy P pont. Tekintsük az összes ABC háromszögbe beírt háromszöget, amelyeknek egyik csúcsa P. Szerkesszük meg ezek közül a legkisebb kerületűt!

5 2. feladat megoldása P1 P2 P A B C R S PR + RS + SP = P1R + RS +SP2

6 3. feladat Bizonyítsuk be, hogy az előző példabeli háromszögek kerülete annál kisebb, minél közelebb van P pont a szemközti csúcshoz!

7 3. feladat megoldása P1 C P2 A P B P1C = PC P2C = PC
 P1CP2 háromszög egyenlőszárú. Mivel P-t az oldalakra tükröztük, ezért P1CP2 = 2, azaz állandó, a háromszög alapja pedig a beírt háromszög kerülete. Ez akkor lesz a legrövidebb, ha a szár a legrövidebb, ez pedig akkor van, ha P a C-ből induló magasság talppontja.

8 3. feladat megoldása C A B Következmény: a hegyesszögű háromszögekbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög a minimális kerületű.

9 4. feladat Jelöljük egy háromszögben a csúcs és a magasságpont közti szakaszokat m1, m2, m3-mal. Igazoljuk, hogy ezek összege nagyobb, mint a talpponti háromszög kerülete!

10 4. feladat megoldása C m3 a b m2 m1 A B c m1 +m2 > c m2 + m3 > a
m3 + m1 > b  m1 + m2 + m3 > (a + b + c)/2 = K középvonal > Ktalpponti háromszög

11 5. feladat Az egyenlő alapú és magasságú háromszögek közül melyiknek minimális a kerülete? A’ C A B

12 6. feladat Adott egy síktükör és egy pontszerű fényforrás. A tükör melyik pontját kell megvilágítani ahhoz, hogy a visszaverődő fénysugár áthaladjon egy rögzített F ponton?

13 6. feladat megoldása S F P S’ K 1 2 Fermat-elv: A fény a legrövidebb idejű pályán mozog, ezért S-ből F-be a legrövidebb úton kell haladnia. Következmény visszaverődés törvénye: 1 = 2

14 7. feladat Egy 10 méter széles folyón szeretnénk átkelni. A folyó sebessége 2 m/s, mi pedig 1 m/s sebességgel tudunk evezni a csónakkal. Melyik a legközelebbi pont a túlparton, ahova elérhetünk?

15 7. feladat megoldása ve O A túlsó part elérhető pontjai közül a legközelebbi iránya O pontból a félkörhöz húzott érintő irányával egyezik meg.

16 7. feladat megoldása O P O’ d=10 m OO’=10 m; OP=20 m; O’P= m

17 8. feladat Tóparton a parttól 20 m távolságban állva észrevesszük, hogy a parttól 30 m-re valaki segítséget kér a vízben. Milyen útvonalat válasszunk a mentéshez, hogy a legrövidebb idő alatt érjük el a fuldoklót, ha 2 m/s sebességgel tudunk futni és 1 m/s sebességgel úszni? d1=20 m d = 40 m d2 = 30 m szárazföld víz

18 8. feladat megoldása d1=20 m d = 40 m d2 = 30 m szárazföld víz x

19 8.feladat megoldása A t(x) függvényminimumát keressük.

20 t(x) minimuma x = 26,8 m esetén lesz, a minimum értéke 49,49 sec.

21 9. feladat Egy négyzet alapú gúla oldaléle 10 dm, és minden oldallapja olyan egyenlő szárú háromszög, amelyben az alapon fekvő szögek összege 11-szerese a szárak által bezárt szögnek. E gúla alapjának egyik csúcsából elindult egy hangya, s mind a négy oldallapon áthaladva, a legrövidebb úton visszatért a kiindulási pontba. Hány millimétert tett meg a hangya?

22 9. feladat megoldása A B C D E

23 9. feladat megoldása E E D C A A’ B D C A B
AEA’ =60 o és egyenlőszárú, ezért AEA’ háromszög szabályos. AA’=AE= 10 dm = 1000 mm

24 10.feladat Egy egyenes kúp alapkörének sugara r, alkotója 3r. A kúp felületének A pontjából egy légy indul el és 1 cm/s sebességgel – mindig a kúppaláston haladva – megkerüli a kúpot. Mekkora a megkerüléséhez szükséges minimális időtartam? (Az A pont a kúp C csúcsától 10 cm távolságra van.) A r 3r

25 10. feladat megoldása O a = 3r A A’ i = 2r= (6r)/3  =120 o

26 11. feladat Egy 3m  7m  3m méretű szobában a padlón a 3 méteres él felezőpontjában egy pók ül. A pók észreveszi a vele átellenben a plafonon a 3 méteres él felezőpontjában tartózkodó legyet. Melyik a legrövidebb út, amelyiken a pók elérheti a legyet?

27 11. feladat megoldása

28 11. feladat megoldása 1. eset 2.eset SF=3m + 7m = 10 m

29 11. feladat megoldása 3. eset

30 12. feladat Egy henger alakú edény (melynek alaplapjának kerülete 6 dm, magassága 4dm) tengelyének felezőpontjára szimmetrikusan helyezkedik el egy hangya és egy mézcsepp, méghozzá a hangya a külső, a mézcsepp a belső falon. A hangyának át kell másznia az edény peremén, hogy a mézcseppet elérje. Számítsuk ki a legrövidebb utat a hangya számára!

31 12. feladat megoldása M’ H M x m-x

32 12. feladat megoldása 3 m 4 m d

33 13. feladat Négyzet alapú hasáb alapéle a, oldaléle 2a. Egy pók a legrövidebb úton szeretne eljutni a hasáb felületén az A pontból a G pontba. Milyen útvonalon kell haladnia? Mekkora a legrövidebb út hossza a-val kifejezve?

34 13. feladat megoldása

35 13. feladat megoldása 1.eset

36 2.eset

37 3.eset

38 14. feladat Az ABCD négyzet DC oldalán vegyünk fel egy tetszőleges M pontot. MAB szögfelezője BC-t K-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AM = BK + DM!

39 14. feladat megoldása AMK’ Δ egyenlőszárú  AM=K’M=K’D+DM=BK+DM A B C
90o- AMK’ Δ egyenlőszárú  AM=K’M=K’D+DM=BK+DM 90o-2

40 15. feladat Az alábbi cipőfűző kötések közül melyikhez kell a legrövidebb (ill. leghosszabb) cipőfűző, ha n jelöli a sorok számát, d két szomszédos sor távolságát, g pedig a szemközti lyukak távolságát? c) a) b)

41 15. feladat megoldása h = g + 2(n – 1) n=8; d=1 cm, g=2 cm esetén
h33,305 cm

42 15. feladat megoldása h= (n-1) g +(n-2) n=8; d=1 cm, g=2 cm esetén
h35,44 cm

43 15. feladat megoldása h= (n-1)g+ n=8; d=1 cm, g=2 cm esetén h36,93 cm

44 16. feladat Három kör az ábrának megfelelő módon érinti egymást és a közös érintőjüket. Milyen összefüggést állapíthatunk meg a körök sugarai között?

45 16. feladat megoldása r2+r3 r2-r3 r2+r1 r2-r1 r3+r1 x+y r3-r1 r3 y x

46 16. feladat megoldása

47 17. feladat Egy derékszögű háromszögbe az ábrán látható módon három négyzetet és három kört írtunk. Milyen összefüggést állapíthatunk meg a körök sugarai között?

48 17. feladat megoldása a b c r1 r2 r3

49 18. feladat Egy derékszögű háromszög hegyesszögei 60o és 30o. A háromszögbe két egyenlő sugarú kört írunk, amelyek érintik az átfogót, egymást és egy-egy befogót. Hányszorosa a kisebbik befogó a körök sugarának?

50 18.feladat megoldása r r 30o r 2r

51 19. feladat Az ABCD trapéz AB alapjára, mint átmérőre írt kör érinti a CD alapot és felezi az AD és BC szárakat. Mekkorák a trapéz szögei?

52 19. feladat megoldása K D C E F A O B EK=EO
EO=KO=r  EOK Δ egyenlőoldalú, szögei 60 fokosak EAO Δ egyenlőszárú, szárszőge 30 o  alapon fekvő szögei 75o-osak


Letölteni ppt "Barangolás a geometria szépségeiben"

Hasonló előadás


Google Hirdetések