1 Példa. 2 Észrevételek 1. G i következő tulajdonságai invariánsak a direkt szorzat képzésre: asszociativitás, kommutativitás, egységelem létezése, invertálhatóság.

Az előadások a következő témára: "1 Példa. 2 Észrevételek 1. G i következő tulajdonságai invariánsak a direkt szorzat képzésre: asszociativitás, kommutativitás, egységelem létezése, invertálhatóság."— Előadás másolata:

1 1 Példa

2 2 Észrevételek 1. G i következő tulajdonságai invariánsak a direkt szorzat képzésre: asszociativitás, kommutativitás, egységelem létezése, invertálhatóság 2. Tehát, ha G i csoport minden i – re, akkor G is csoport, továbbá ha J  I, akkor a φ: projekció homomorfizmus, φ(G) = kerφ 

3 3 Def. Tetszőleges A halmaz összes permutációjának halmaza a kompozícióval vett csoportját A szimmetrikus csoportjának nevezzük. Jelölése: Sym(A). Speciálisan, ha A = {1, 2, …, n}, akkor Sym(A) = S n, az n –ed fokú szimmetrikus csoport

4 4 Biz. Legyen a  G és  x  G – re legyen Mit mondhatunk a a p a leképezésekről? „baleltolás” A p a függvények injektívek, mert p a (x 1 ) = p a (x 2 )  ax 1 = ax 2  x 1 = x 2 regularitás

5 τ: G  Sym(G), ahol τ(a) = p a Most vizsgáljuk az következő leképezést: A p a függvények szürjektívek is, mert  x  G – nek van őse G – ben: a –1 x Miért elemei a p a leképezések Sym(G) – nek? Láttuk, hogy minden p a bijektív  mindegyik G egy permutációját adja 5

6 τ injektív, mert ekkor x = y = e esetén ae = be  a = b Összegezve: τ monomorfizmus csoport homomorf képe csoport  izomorf G – vel τ(a) = τ(b)  p a = p b  ax = by τ művelettartó, mert τ szürjektív is τ(G) – re, mivel minden p a őse pontosan a τ(G) részcsoport Sym(G) – ben és 6