Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

-1- Vektorterek Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá (a, v)  melletti képe a  v. V vektortér F felett, ha teljesülnek a következők:  :

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "-1- Vektorterek Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá (a, v)  melletti képe a  v. V vektortér F felett, ha teljesülnek a következők:  :"— Előadás másolata:

1 -1- Vektorterek Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá (a, v)  melletti képe a  v. V vektortér F felett, ha teljesülnek a következők:  : F  V  V egy külső művelet művelet, ahol (1) a  (v+w) = a  v+a  w, a  F és v,w  V. (2) (a+b)  v = a  v+b  v, a,b  F és v  V. (3) (ab)  v = a  (b  v), a,b  F és v  V. (4) 1  v = v, minden v  V.

2 -2- V elemei : vektorok. F elemei : skalárok.  : F  V  V : skalár szorzás. (1) –nél mindkét + V –beli. (2) –nél az első + F –beli, a második V –beli. A két 0 elemet nem különböztetjük meg. V vektorok F skalárok

3 -3- T.1. tétel (vektortér tulajdonságai) (1) a  0 = 0  v = 0. (2) (– a )  v = – (a  v) = a(– v ). (3) (– a )  (– v) = a  v. (4) (–1)  v = – v. (5) a  (v – w) = a  v – a  w. (6) (a – b)  v = a  v – b  v. (7) a  v = 0  a = 0 vagy v = 0. Legyen V vektortér F felett, a, b  F és u, w  V, ekkor :

4 -4- (1) a  0 = a  (0 + 0) = a  0 + a  0 V –beli + reguláris  a  0 = 0. Hasonlóan: 0  v = (0 + 0)v = 0  v + 0  v  0  v = 0. (2) (a + (– a ))  v = 0  v = 0 = a  v + (–a)  v. Hasonlóan: –(a  v) = a  (–v). (3) (2)  (–a)  (–v) = –(a  (–v)) = –(–(a  v)) = a  v. (4) (–1)  v = –(1  v) = –v. Bizonyítás.  –(a  v) = (–a)  v.

5 -5- = a  v + (–(a  w)) = a  v – a  w. (5) a  (v – w) = a  (v +(– w)) = a  v + a  (–w) = (6) Hasonlóan, mint (5). (7) Ha a  v = 0 és a  0  a -1  (a  v ) = (a -1 a)  v = 1  v = v = 0. (1)  Ha a = 0 vagy v = 0  a  v = 0.

6 -6- Definíció. Legyen V vektortér F felett továbbá S  V. S vektorteret alkot F felett, akkor V vektortér triviális alterei: V és { 0 }. Ha a vektor összeadás megszorításával S – re és skalár szorzás megszorításával F  S –re S altere V –nek. Észrevétel. S altere V –nek  S zárt a vektor összeadásra és skalár szorzásra nézve.

7 -7- Egy V vektortér tetszőleges altereinek „metszete” is altere V –nek. Következmény. Ezek szerint képezhetjük az összes S –et tartalmazó altér metszetét  létezik a legszűkebb altér, mely tartalmazza S –t, S által generált altér. Definíció. Egy vektortér végesen generált, ha véges halmaz által generált.

8 -8- az S által generált altér. Ha S = { v }, ahol v  V, akkor F  v = { a  v  a  F }  Ha V 1,..., V n alterei V –nek, akkor a legszűkebb V –beli altér, amely tartalmazz őket: V V n = { v v n  v i  V i }. Ha S = { v 1,..., v n }, akkor az S által generált altér: Fv Fv n

9 -9- Példa. 1. Az Abel-csoport (V ; +) : V = R n + : (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ) F = R 2. A test : 3. A skalárszorzás (művelet F  V  V ): a  (a 1,..., a n ) = (aa 1,..., aa n ) R n végesen generált, hiszen R n = R  (1, 0, 0,..., 0 ) + R  (0, 1, 0,..., 0 ) R(0, 0, 0,..., 1 )

10 -10- Bizonyítható :  V  { 0 } vektortérhez  v 1,..., v n  V : V  eleme egyértelműen írható fel ilyen alakban: a 1  v a n  v n V vektortér { v 1,..., v n } nemüres részhalmaza lineárisan független, ha

11 Definíció. V vektortér nemüres { v 1,..., v n } részhalmaza a V bázisa, ha lineárisan független és generálja V –t. A példában bázis: { (1, 0, 0,..., 0 ), (0, 1, 0,..., 0 ),...,(0, 0, 0,..., 1 ) } T.2. tétel (vektortér bázisa) V bármely bázisának ugyanannyi eleme van. Egy végesen generált V  { 0 } vektortér valamely bázisának elemszáma V dimenziója (dim(V)). Definíció. Tetszőleges végesen generált V  { 0 } vektortérnek létezik bázisa és -11- Továbbá dim( { 0 } ) = 0.

12 -12- Testbővítések Definíció. Legyen F tetszőleges test. K az F részteste, ha K  F és K maga is testet alkot az F műveleteivel. Ha K  F, akkor K valódi részteste F –nek, illetve Ekkor F a K test bővítése. F valódi bővítése K –nak. Jelölés F : K

13 -13- T.3. tétel (test karakterisztikája) Legyen F test és K részteste F –nek, ekkor F és K karakterisztikája megegyezik. Véges test karakterisztikája prímszám. Bizonyítás. Triviális, hiszen a testek legalább kételemű gyűrűk. Definíció. Egy test prímtest, ha nincs valódi részteste. Résztestek metszete résztest  F test összes résztestének metszete résztest F –ben  a legszűkebb résztest F –ben  nincs valódi részteste  prímtest.

14 -14- Észrevételek. – Test prím részteste prímtest. Ha K az F –nek a legszűkebb részteste, akkor K az F prím részteste (prímteste). Definíció. – Ha F a K test bővítése, akkor prím résztesteik megegyeznek. jelölés K = Fp

15 -15- Q –val, ha char(F) = 0. Bizonyítás. p prímszám  Zp prímtest. char(F) = p : (Fp, +) elemei : e n alakúak, azaz Fp = { 0 = e 0, e 1,..., e p-1 }. T.4. tétel (prím résztestek) Tetszőleges F test prím részteste izomorf Zp –vel, ha char(F) = p 0, e  Fp. Zp = { 0 = 1 0, 1 1,..., 1 p-1 }. izomorfizmus

16 -16- Legyen ahol ke = e + e e. Tudjuk Izomorfizmus Q és R között. Továbbá : e  Fp  R elemei Fp –ben vannak. char(F) = 0 :  R  Fp. R is test  R résztest F –ben. Fp a legszűkebb résztest F –ben   Fp is izomorf Q –val. Fp = R

17 -17- Megjegyzés. Az előző tétel értelmében minden p karakterisztikájú test Zp bővítése, és minden nullkarakterisztikájú test Q bővítése. T.5. tétel (testbővítés vektortér) Ha K részteste F –nek, akkor F K feletti vektortér. Bizonyítás. (1) a  (v+w) = a  v+a  w, a  K és v,w  F. (2) (a+b)  v = a  v+b  v, a,b  K és v  F. (3) (ab)  v = a  (b  v), a,b  K és v  F. (4) 1  v = v, minden v  F. Most K elemei egyúttal F elemei is, tehát a skalár szorzás az F –beli multiplikatív művelet.  igazak a következő összefüggések :

18 -18- Definíció. Legyen egy K részteste, M egy részhalmaza F –nek. K(M) a K test M halmazzal való bővítése, ha F –nek a legszűkebb részteste, mely tartalmazza K –t és M –et is. Ha M = { α } alakú, valamely α  F –re, akkor K(α) egyszerű bővítés az α bővítő elemmel. Definíció. Ha α gyöke egy nem nulla K feletti polinomnak, akkor α algebrai elem K felett. Legyen egy K részteste F –nek, és α  F. F algebrai bővítése K –nak, ha F minden eleme algebrai K felett.


Letölteni ppt "-1- Vektorterek Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá (a, v)  melletti képe a  v. V vektortér F felett, ha teljesülnek a következők:  :"

Hasonló előadás


Google Hirdetések