Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Rendezetlen rendszerek számítógépes szimulációja a Monte Carlo módszerrel Dr Jedlovszky Pál ELTE TTK.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Rendezetlen rendszerek számítógépes szimulációja a Monte Carlo módszerrel Dr Jedlovszky Pál ELTE TTK."— Előadás másolata:

1 Rendezetlen rendszerek számítógépes szimulációja a Monte Carlo módszerrel Dr Jedlovszky Pál ELTE TTK

2 RENDEZETLEN RENDSZEREK SZÁMÍTÓGÉPES SZIMULÁCIÓJA molekuláris dinamika (MD) Monte Carlo (MC) U ij (r) ismert (feltételezett) párpotenciál alapján

3 eljárás: - az egyes részecskékre ható erők számítása - az összes részecske mozgás- egyenletének megoldása  t időlépésre

4 tulajdonságok: - determinisztikus - sztochasztikus - egyetlen rendszeren időátlagot számít - rendsszerek sokaságán sokaság- átlagot számít - egyensúlyi és nem egyensúlyi rendszerek is vizsgálhatók - csak egyensúlyi rendszerek vizsgálhatók - hely- és impulzuskoordinátákat is nyilvántart - csak helykoordinátákat tart nyilván - időfüggések is számíthatók - időfüggések nem számíthatók - térbeli korlát: nm - időbeli korlát: ns - térbeli korlát: nm molekuláris dinamika (MD) Monte Carlo (MC)

5 A MONTE CARLO MÓDSZER STATISZTIKUS MECHANIKAI ALAPJAI Egy adott mikroállapot megvalósulásának valószínűsége kanonikus (N,V,T) sokaságon: ahol Q NVT a kanonikus állapotösszeg: A rendszer szabadenergiája:

6 A kinetikus tag felírható K(p N ) =  p i 2 /2m alakban, így az állapotösszegből leválasztható Csak a q N helykoordinátáktól illetve az U(q N ) potenciális energiajáruléktól függő tagokkal kell számolnunk. A mikroállapot teljes energiája E(qN,pN)felbontható:

7 Monte Carlo szimuláció: -N részecskéből álló rendszer jellemzése 3N helykoordinátával - minden mikroállapot megfelel a 3N dimenziós konfigurációs tér 1-1 pontjának - egy adott mikroállapot megvalósulásának valószínűsége : - valamely M mennyiség makroszkopikusan mérhető értéke:

8 Monte Carlo szimuláció: statisztikus mintavétel A mikroállapotok sokaságát a mintába kerülő néhány mikroállapottal közelítjük, ezen mikroállapotokon (mintakonfiguráción) számítjuk -et Minta reprezentativitásának problémája Megoldás: súlyozott mintavétel Egy-egy mikroállapotot vegyünk w(q N ) valószínűséggel (súllyal) a mintába:

9 Legyen Ekkor ahol k a mintakonfigurációk száma. Az egyenletes mintavételezést és Boltzmann faktorral súlyozott átlagolást Boltzmann faktorral súlyozott mintavételezéssel és súlyozatlan átlagolással helyettesítettük. Más w(q N ) súlyozás szerinti mintavétel: irányított (biased) mintavételezés

10 A MONTE CARLO SZIMULÁCIÓS TECHNIKA N részecske V térfogatú (kocka, tégla, prizma... alakú) dobozba periodikus határfeltételek biztosítása véletlenszerűen kiválasztott részecske véletlenszerű elmozdítása (transzláció és rotáció, esetleg torziós forgatás) konfigurációs energia U(qN) számítása

11 Új konfiguráció elfogadásáról döntés: - ha  U = U új -U régi  0 elfogadjuk -ha  U = U új -U régi > 0 exp(-  U/k B T) valószínűséggel elfogadjuk 1-exp(-DU/kBT) valószínűséggel elvetjük Miután beállt az egyensúly: mintavétel

12 A konfigurációs energia számítása: - modellrendszer: feltételezett potenciálok használata - a használt potenciálmodelleket a modell számított tulajdonságainak a kísérleti adatokkal való egyezése validálja - közelítő feltevések: ● klasszikus fizika érvényessége ● potenciális energia páronként additív: U =  u ij ● potenciálfüggvény alakja (általában Lennard-Jones + Coulomb):

13 Rendszer korlátozott méretéből fakadó problémák: periodikus határfeltételek:

14 Korlát: távolságfüggvények csak R/2-ig értelmezhetők

15 Elektrosztatikus kölcsönhatás hosszútávú járulékának számítása: - Periodikus határfeltételek miatt a szimulációs dobozba beírható gömb R sugarán túl távolságfüggvények nem számolhatók - Probléma: a Coulomb energia gömbön túli járulékának figyelembe vétele ● egyszerű levágás ● Ewald-összegzés ● reakciótér-korrekció

16 SZIMULÁCIÓ ÁLLANDÓ NYOMÁSON Izoterm-izobár (N,P,T) sokaságnál a konfigurációs teret a q N helykoordináták és a rendszer V térfogata feszíti ki. Egy adott mikroállapot megvalósulásának valószínűsége: ahol az s N skálázott (dimenziómentes) koordináták:

17 Valamely M mennyiség makroszkopikusan mérhető értéke vagyis

18 súlyozott mintavételezés: egyes konfigurációk (mikroállapotok) mintába kerülésének valószínűsége a "pszeudo" Boltzmann-faktorral arányos

19 Eljárás: véletlen mozgatások: ● hagyományos részecskemozgatás ● térfogatváltoztatási lépések a mozdítások elfogadásának valószínűsége:

20 SZIMULÁCIÓ ÁLLANDÓ KÉMIAI POTENCIÁL MELLETT Nagykanonikus ( ,V,T) sokaságon a vizsgált rendszer az N részecskeszám változásával a különböző dimenziójú q N konfigurációs terek között is mozoghat. Ekkor az egyes mikroállapotok megvalósulásának valószínűsége (a pszeudo Boltzmann-faktor): ahol

21 Eljárás: véletlen mozgatások: ● hagyományos részecskemozgatás ● részecskehozzáadási lépések ● részecskeelvételi lépések a mozdítások elfogadásának valószínűsége:

22 FÁZISEGYENSÚLYOK SZIMULÁCIÓJA A GIBBS MONTE CARLO MÓDSZER

23 - két független rendszer egyidejű szimulációja - háromféle mozdítástípus: ● részecskemozgatás rendszeren belülT I = T II ● térfogatcsere a rendszerek közöttP I = P II ● részecskecsere a rendszerek között μ I = μ II Elfogadási kritérium: a rendszerek közötti részecske- illetve térfogatcsere elfogadásáról a két rendszer változásához tartozó pszeudo Boltzmann-faktorok szorzata alapján döntünk, figyelembe véve a fázisegyensúly termodinamikai feltételeit


Letölteni ppt "Rendezetlen rendszerek számítógépes szimulációja a Monte Carlo módszerrel Dr Jedlovszky Pál ELTE TTK."

Hasonló előadás


Google Hirdetések