Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás után a magára hagyott rendszer visszatér a nyugalmi állapotába kvázistacionárius állapotba kerül „végtelenbe”

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás után a magára hagyott rendszer visszatér a nyugalmi állapotába kvázistacionárius állapotba kerül „végtelenbe”"— Előadás másolata:

1 Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás után a magára hagyott rendszer visszatér a nyugalmi állapotába kvázistacionárius állapotba kerül „végtelenbe” tart alapjelváltás

2 Stabilitás definíciók BIBO stabilitás – külső stabilitás a bementek – kimenetek viszonyára tesz megkötést aszimptotikus stabilitás a kimenetek határértékére tesz megkötést

3 BIBO stabilitás Def.: Egy rendszert BIBO stabilnak nevezünk, ha korlátos bemenet, azaz  u(t)  < M 1, valamely -  < t 0  t <  időintervallum esetén, a kimenete is korlátos:  y(t)  < M 2, a t 0  t <  időintervallumon (ahol M 1, M 2 < , és t 0 a kezdőidőpont).

4 BIBO stabilitás Tétel: Egy rendszer akkor és csak akkor BIBO stabil, ha azaz a súlyfüggvény abszolút integrálja korlátos.

5 Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás Legyen n -ed rendű lineáris, időinvariáns rendszer bemenete zérus, a kimenete pedig a kezdeti értékek miatt y(t). Ekkor y(t) a következő módon fejezhető ki: ahol g k (t) jelöli az y (k) (t 0 ) kezdeti értékek miatti, a nulla bemenetre adott válasz (k+1)- dik komponensét és

6 Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás Def.: Egy lineáris időinvariáns rendszert tetszőleges, nem minden esetben zérus kezdeti feltételek esetén nullabemeneti stabilitásúnak nevezzük, ha megválasztható egy M korlát  M ( y(t 0 ), y (1) (t 0 ),…, y (n-1) (t 0 ) ) > 0, úgy, hogy  y(t)   M < ,  t  t 0 és

7 Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás Magyarázat: Ha egy rendszerben konstans nulla bemenet és adott, legalább egy esetben nemzérus kezdeti feltételek esetén a kimenet nullához tart tetszőlegesen nagy idő eltelte után, akkor ezt a rendszert nulla bemeneti stabilitásúnak (vagy aszimptotikusan stabilnak) nevezzük. Egyébként a rendszer instabil.

8 Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás a stabilitás feltétele mivel a kezdeti feltételek végesek y(t 0 ), y (1) (t 0 ),…, y (n-1) (t 0 ) < 

9 Stabilitás – Általános feltétel Induljunk ki inhomogén differenciálegyenlet megoldás: homogén általános megoldása + inhomogén partikuláris megoldása

10 Stabilitás – Általános feltétel homogén egyenlet: egyenlet bal oldala nullával egyenlővé téve bal oldalon kimenet és deriváltjai ennek megoldása a magára hagyott rendszer válasza nulla bemeneti stabilitás inhomogén megoldás: új egyensúlyi állapot jellemzőinek meghatározása

11 Stabilitás – Általános feltétel A homogén egyenlet általános megoldása: ahol p 1, p 2,…, p n a homogén egyenletnek megfelelő karakterisztikus egyenlet gyökei, c i konstansok Stabilitás teljesül: ha ezek a gyökök negatív valósak, vagy negatív valós részű komplex gyökpárok: Re{p i } < 0,  p i, i=1,…,n

12 Stabilitás – Általános feltétel a homogén egyenlet y(t) megoldása tulajdonképpen a rendszer súlyfüggvénye (hiszen Y(s) = G(s)  U(s) így, ha u(t) =  (t) akkor Y(s) = G(s)  y(t) = h(t) ) azaz a stabilitás

13 Stabilitás – Általános feltétel Operátor tartományban Átviteli függvény ahol a p 1, p 2,…, p n gyökök a nevező polinomjának gyökei, azaz a pólusok, és megfelelnek a homogén differenciál egyenlethez tartozó karakterisztikus egyenlet gyökeinek Így a rendszer stabilitáshoz ezeknek a gyököknek az előjelét kell ellenőrizni  komplex sík baloldali félsíkjára esnek-e

14 Stabilitás – Általános feltétel Inhomogén egyenlet legyen u(t) = 1(t) ugrásjel ekkor a megoldás általános alakja ahol K = b 0 /a 0 a rendszer erősítése így stabil rendszer esetén

15 Stabilitás - összehasonlítás BIBO stabilitás: korlátos bemenetre korlátos válasz Aszimptotikus stabilitás: nulla bemenetre nullához tartó kimenet ugrás jel bemenetre az erősítés által meghatározott végértékhez tartó válasz  Aszimptotikusan stabil rendszer  BIBO stabil is BIBO stabil rendszer nem feltétlenül aszimptotikusan stabil

16 Példák

17 Stabilitásvizsgálati módszerek szükségességük fajtáik algebrai: Routh-Hurwitz módszer ferekvencia tartomány: Nyquist-kritérium Bode-kritérium geometriai: gyökhelygörbe módszer

18 Routh-Hurwitz kritérium módszercsalád cél: az eredő átviteli függvény karakterisztikus egyenlete alapján a stabilitás meghatározása legyen az eredő átviteli függvény: az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet: illetve polinomiális alakban:

19 Routh-Hurwitz kritérium A stabilitás szükséges és elégséges feltétele: Minden együttható legyen pozitív  a i > 0, i = 1,…,n A H Hurwitz-determináns valamennyi főátlóra támaszkodó aldeterminánsa legyen pozitív:  1  2  3  n

20 Nyquist-kritérium a hurokátviteli függvényen alapuló geometria kritérium elv: a felnyitott kör helygörbéjéből következtetünk a zárt rendszer stabilitási viszonyaira kiindulás

21 Nyquist-kritérium Az átviteli függvény: A karakterisztikus egyenlet: 1+G e (s)=0 melyből a pólusokat megkapjuk Áttérve frekvenciatartományba 1+G e (j  )=0

22 Nyquist-kritérium Az 1+G e (j  )=0 összefüggés fizikai értelme: van-e a zárt rendszernek csillapítatlan szinuszos rezgésű állandósult megoldása  0 : G e (j  0 ) = -1 ha igen: akkor ezzel az  0 frekvenciával gerjesztve a zárt rendszert csillapítatlan rezgéseket kapunk

23 Nyquist-kritérium a kritérium: Ha a felnyitott kör G e (j  0 ) amplitúdó-fázis görbéje – miközben frekvencia 0   <  tartományon változik – éppen áthalad a komplex számsík -1 pontján, akkor a rendszer a stabilitás határán van

24 Nyquist-kritérium magyarázat Induljunk ki a visszacsatolt körből: legyen w=0 vágjuk fel a kört a B-K pontok között legyen a felnyitott kör Nyquist-diagramja olyan, hogy átmegy a -1 ponton B K

25 Nyquist-kritérium gerjesszük a rendszert a B pontban  0 frekvenciájú szinuszos y b jellel a különbségképző után e = -y b a K ponton pedig ismét y b jelenik meg: G e (j  0 )= G e (j  0 ) G e (j  0 )= -1 B K e = w-y b ybyb y k = G e ·e=y b

26 Nyquist-kritérium összekötés után is fenn marad ez a jel, a gerjesztés megszűnése esetén is valós rendszer – egységugrás gerjesztés

27 Nyquist-kritérium stabilitás kritérium Ha a felnyitott kör Nyquist göbéje a valós tengelyt a -1 ponttól jobbra metszi, akkor a zárt kör stabil; pont a -1 pontban metszi, akkor a zárt kör a stabilitás határán van; a -1 ponttól balra metszi, akkor a zárt kör instabil.

28 Nyquist-kritérium

29 fázis tartalék  t =  -  ha  0  a rendszer stabil ha  = ,  t = 0  a rendszer stabilitás határán ha  > ,  t < 0  a rendszer instabil általában  t >  /6 legyen

30 Nyquist-kritérium erősítési tartalék  = az origó és a metszéspont közötti távolság ha  < 1  a rendszer stabil ha  = 1  a rendszer stabilitás határán ha  > 1  a rendszer instabil

31 Bode-kritérium Bode diagram: a frekvencia függvényében az amplitúdóviszony és fázisszög ábrázolása Nyquist diagram egység sugarú kör  Bode diagram 0 dB tengely Bode kritérium alapja: az amplitúdógörbe és a 0 dB tengely metszés pontjához milyen fázis szög érték tartozik

32 Bode-kritérium

33 Stabilitási kritérium: Ha az amplitúdógörbe és a 0 dB-es tengely metszéspontjához tartozó  fázisszög nagyobb -180 o -nál, akkor a rendszer stabil; egyenlő -180 o -kal, akkor a rendszer a stabilitás határán van; ha kisebb -180 o -nál, akkor instabil.

34 Bode-kritérium Fázistartalék  t erősítési tartalék  [dB] fizikai értelmezés

35 Gyökhelygörbe módszer célja: stabilitásvizsgálat minőségi jellemzők hozzávetőleges meghatározása Evans, 1948 alkalmazható SISO és MIMO rendszerekre Def.: A gyökhelygörbe a zárt rendszer pólusainak mértani helye a komplex síkon, miközben a rendszer valamely paraméterét zérus és végtelen között változtatjuk.

36 Gyökhelygörbe kiindulás legyen ahol k - erősítés, - z 1,…, -z m – zérushelyek, - p 1,…, -p n - pólusok

37 Gyökhelygörbe a visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: a karakterisztikus egyenlet: azaz a gyökhelygörbe most a karakterisztikus egyenlet gyökeinek mértani helye a komplex síkon, midőn az erősítést 0 és  között változtatjuk

38 Gyökhelygörbe a karakterisztikus egyenletet átalakítva: azaz G o (s)= -1 miután általános esetben a gyökök komplexek, és a komplex számok felírhatók z = A·e j  alakban, így -1 = e ±jl  ahol l = 1,3,5,… vagy -1 = 1  ±l·180 o

39 Gyökhelygörbe Összefoglalva: A gyökhelygörbe bármely pontjának két feltételt kell kielégítenie: a valós és a képzetes részeknek a egyenlet mindkét oldalán külön-külön meg kell egyezniük szögfeltétel abszolútérték feltétel

40 Gyökhelygörbe legyen a k -dik zérushely: s + z k = C k ·e j  k = C k  k legyen a i -dik pólus: s + p i = D i ·e j  i = D i  i ekkor a szögfeltétel:  1 +  2 +…+  m -  1 -  2 -… -  n = =  m k=1  k -  n i=1  i =±l ·180 o (l = 1, 3, 5,…) azaz egy s pont akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekb ő l kiinduló és az s – be mutató vektorok szögének összegéből levonva a pólusokból kiinduló és az s –be mutató vektorok szögeinek összegét, akkor ±l ·180 o –t kapunk.

41 Gyökhelygörbe és az abszolútérték feltétel: azaz egy s pont akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből az s –be mutató vektorok abszolút értékeinek szorzatát elosztva a pólusokból az s –be mutató vektorok abszolút értékeinek szorzatával az erősítés reciprokát kapjuk meg.

42 Gyökhelygörbe a gyökhelygörbe előállítása karakterisztikus egyenlet megoldásával grafikus úton próbálgatással szerkesztési módszerek számítógépes programok tulajdonságok alapján közelítve

43 Gyökhelygörbe a gyökhelygörbe tulajdonságai 1.A gyhg-nek annyi ága van, amennyi a zárt rendszer pólusainak a száma. 2.A gyhg mindig szimmetrikus a valós tengelyre nézve. 3.Legyen n a pólusok száma, m a zérushelyek száma a felnyitott körben ha n>m, akkor a gyhg a felnyitott kör pólusaiból indul ki, és m számú ág a felnyitott kör zérushelyeibe, n-m számú ág a végtelenbe tart, ha n=m, akkor a gyhg teljesen a végesben van ha n

44 Gyökhelygörbe 4.A valós tengelyen akkor és csak akkor lehetnek gyhg szakaszok, ha a vizsált ponttól jobbra a pólusok és a zérushelyek együttes száma páratlan. 5.A gyhg aszimptótáinak irányát az összefüggés adja meg.

45 Gyökhelygörbe - példák példák csoportosítása nevező fokszáma n számláló fokszáma m (nullad- vagy elsőrendű pol.) vizsgált kör az eredő átviteli függyény:

46 Gyökhelygörbe - példák legyen n = 1, m = 0 ha

47 Gyökhelygörbe - példák ha

48 Gyökhelygörbe - példák legyen n = 1, m = 1 ha  > T

49 Gyökhelygörbe - példák legyen n = 2, m = 0 és  > 1

50 Gyökhelygörbe - példák legyen n = 2, m = 0 és 0 <  < 1

51 Gyökhelygörbe - példák legyen n = 2, m = 1 és  > 1 ha  1 > T >  2

52 Gyökhelygörbe - példák ha  1 >  2 > T

53 Gyökhelygörbe - példák legyen n = 2, m = 1 és 0 <  < 1

54 Gyökhelygörbe - példák legyen n = 3, m = 0 ha  1 >  2 >  3

55 Gyökhelygörbe - példák

56 legyen n = 3, m = 1 ha  1 >  2 >  3 > T


Letölteni ppt "Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás után a magára hagyott rendszer visszatér a nyugalmi állapotába kvázistacionárius állapotba kerül „végtelenbe”"

Hasonló előadás


Google Hirdetések