Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Mozgásegyenletek Legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): t0t0 t Mechanikai rendszer Lagrange-függvénye: Következmény: (i = 1,2,…,s) Általános koordináták:

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Mozgásegyenletek Legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): t0t0 t Mechanikai rendszer Lagrange-függvénye: Következmény: (i = 1,2,…,s) Általános koordináták:"— Előadás másolata:

1 Mozgásegyenletek Legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): t0t0 t Mechanikai rendszer Lagrange-függvénye: Következmény: (i = 1,2,…,s) Általános koordináták: Általános sebességek: Lagrange-egyenlet

2 Pont és pontrendszer Lagrange-függvénye Szabadon mozgó tömegpont: Tér és idő homogenitása  L nem tartalmazhatja expliciten az r helyzetvektort és a t időt. Tér izotróp  L = L(v 2 )  Pontrendszer Lagrange-függvénye: nem kölcsönható részecskék kölcsönható részecskék potenciális energia mozgási energia

3 Newton-féle mozgásegyenletek Erő: a-aik pontra ható erő

4 Mozgásállandók: energia, impulzus Energia:  Impulzus: Általános impulzus: Általános erő:

5 Mozgásállandók: tömegközéppont Tömegközéppont:Sebessége: Energia: 

6 Mozgásállandók: impulzusmomentum Impulzusmomentum: Függés a koordináta-rendszertől: Függés a rendszer sebességétől: (csak akkor nem függ, ha a rendszer nyugalomban van: P = 0)

7 Termodinamikai alapfogalmak I. Termodinamikai rendszer:A térnek képzelt vagy valós határfe- lülettel elkülönített része. Zárt:tömegtranszport megengedett Szigetelt:sem energia, sem tömegtranszport Nyitott:tömeg- és energiatranszport is megengedett Egyensúlyi:nincsenek makroszkópikus folyamatok Homogén:minden pontjában azonos fizikai tulajdonságú Parciálisan homogén:csak bizonyos fizikai tulajdonságok eloszlása homogén Inhomogén:fizikai tulajdonságok változása folytonos Heterogén:ugrásszerű változások a fizikai tulajdonságokban Izotrop:a tér minden irányában azonos fizikai tulajdonságú Anizotrop: fizikai tulajdonságok a tér különböző irányaiban különböznek

8 Termodinamikai alapfogalmak II. Komponens:Az anyag kémiai tulajdonságai alapján megkülön- böztethető része. Fázis:Az anyag homogén kémiai összetételű és fizikai szerkezetű része. Környezet:a rendszeren kívül esik, de a falat sem tartalmazza Szigetelések:Falak merevmechanikai munkát kizárja inpermeábilistömegtranszportot kizárja szemipermeábilistömegtranszportot kizárja (komponens, irány) adiatermikushőtranszportot kizárja árnyékolóerőtereket kizárja diatermikushőtranszportot megengedi permeábilis tömegtranszportot megengedi

9 Termodinamikai alapfogalmak III. Állapot: A rendszer pillanatnyi energia- és tömegeloszlása. Mikroszkopikus leírás: a rendszert felépítő részecskék mozgásfor- máinak ismeretében (mikroszkopikus koordinátákkal: hely, im- pulzus). Makroszkopikus leírás: a mikroszkopikus koordinátákból átlag- képzéssel kapott mennyiségekkel (nyomás, hőmérséklet, fajhő, stb). Állapotjelző: A rendszer állapotától egyértelműen függő makrosz- kopikus tulajdonságok. -állapot egyértékű függvényei -előző állapottól és állapotváltozás útjától függetlenek -más állapotjelzők egyértelmű függvényei állapottér, állapotfelület, állapotváltozás

10 Termodinamikai alapfogalmak IV. Extenzív és intenzív állapotjelzők. Hajtóerő: az egyes kölcsönhatásokhoz tartozó intenzív állapotjelzők inhomogenitása (általános erő). Áram: a kölcsönhatásokhoz tartozó extenzív állapotjelző hajtóerő okozta áramlása. Munka: dW i = y i dX i A rendszer határfelületén fellépő energiatranszport-mennyiség, amelyet a kölcsönhatáshoz tartozó és a hőmérséklettől különböző intenzív állapotjelző inhomogenitása, a hajtóerő hoz létre. Hő: A rendszer határfelületén fellépő, tömegtranszport nélküli energiatranszport-mennyiség, amelyet a hőmérséklet-eloszlás in- homogenitása hoz létre.

11 Termodinamika I. Állapotegyenlet: Hőmennyiség, hőkapacitás: I. Főtétel: Körfolyamatra: belső energia Ideális gáz:

12 Termodinamika II. Munka: Általában:

13 Termodinamika III. Entalpia: Izoterm, izochor, izobár, adiabatikus állapotváltozások:

14 Termodinamika IV. Carnot-féle körfolyamat: II. Főtétel: nincs olyan folyamat, amelynek összes hatása az, hogy a hő hidegebb helyről melegebbre megy át.

15 Termodinamika V. Entrópia: Így amennyiség egy teljes differenciál: az entrópia.

16 Termodinamika VI. I. főtétel: II. főtétel: III. főtétel: minden folyékony és szilárd anyagból álló homogén rendszer entrópiája zérus az abszolut zérus ponton.

17 Vektorok I. Lineáris vektortér (L): 1. Értelmezve van az összeadás a, b, c  esetén a + b  L a + (b + c) = (a + b) + c(asszociativitás) a + b = b + a(kommutativitás)  0 elem, és  a-ra: a + 0 = a  inverz elem, és  a-ra: a + (-a) = 0 2. Értelmezve van a skalárral való szorzás a  L 1 · a = a · 1 (  a) = (  a (  +  )a = a +  a  a + b) = a + b

18 Vektorok II. Lineáris kombináció: Lineáris függetlenség: akkor, ha minden i-re i = 0 Dimenzió: lineárisan független vektorok számának maximuma Generátorrendszer:az a {a 1, a 2, …, a n } vektorrendszer, amely az L n teret előállítja Bázis: ha {a 1, a 2, …, a n } generátorrendszer és lineárisan független

19 Lineáris egyenletrendszerek a 11 x 1 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + … + a 2n x n = b 2 · a n1 x 1 + … + a nn x n = b n Havektorok (lineáris kombináció)

20 Mátrixok I. A · x = b négyzetes mátrixokoszlopmátrix fődiagonálissormátrix háromszög mátrixadjungált mátrix egységmátrixönadjungált (hermitikus) mátrix transzponált mátrix szimmetrikus mátrix

21 Mátrixok II. Összeadás:  kommutatív  asszociatív  létezik egységelem és inverz elem Szorzás skalárral:  1 · A = A  (  A) = (  A  (  +  )A = A +  A   A + B) = A + B A MÁTRIXOK LINEÁRIS TERET ADNAK.

22 Mátrixok III. Mátrixok szorzása:  nem kommutatív Inverz mátrix:A · A -1 = A -1 · A = E Determináns (a négyzetes mátrix determinánsa):  ha egy összes eleme zérus, a determináns értéke zérus  egy sor összes elemét konstanssal szorozva, a determináns értéke a konstanssal szorzódik  két sor felcserélésével a determináns előjelet vált  ha két sor azonos, a determináns értéke zérus  ha egy sorához hozzáadjuk egy másik sor k-szorosát, a determináns értéke nem változik  ha valamelyik sor a többi lineáris kombinációja, a determináns értéke zérus  transzponált mátrix determinánsa az eredetivel azonos

23 Skalárszorzat 1. = 2. = + 3. = 4. = 0  ha a=0 ortogonalitás: normáltság: komplex függvényekre:

24 Transzformációk lineáris transzformációk: transzformáció és operátora:

25 Műveletek operátorokkal összeadás szorzás skalárral operátorok szorzása inverz operátor adjungált önadjungált (hermitikus) unitér

26 Sajátérték-egyenletek I. L n -ben egy lineáris operátornak legföljebb n db különböző sajátértéke van különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek degenerált sajátérték: ha több különböző sajátvektor tartozik hozzá a sajátértékek összességét spektrumnak nevezzük Fizikai mennyiségeket önadjungált operátorok reprezentálnak. 

27 Sajátérték-egyenletek II.  : diagonális mátrix, elemei a sajátvektorok hasonlósági transzformáció ha X normált sajátvektorokból áll, akkor unitér

28 Négyzetesen integrálható függvények I. skalárszorzat Hilbert-tér: L 2 végtelen sok lineárisan független elem bázis: végtelen sok lineárisan független függvény norma, ortogonalitás értelmezhetőkortonormált bázis 

29 Négyzetesen integrálható függvények II. Önadjungált mátrix hozzárendelése operátorhoz: Önadjungált mátrix sajátértékei valósak, sajátfüggvényei teljes ortonormált rendszert alkotnak.

30 A kvantummechanika axiómái I. 1.A mikrorendszer állapotát egyértelmű állapotfüggvény írja le. Ez a függvény ad számot a rendszeren végzett mérések várható eredményéről. Klasszikus mechanikai állapotegyenlet: Kvantummechanikai állapotegyenlet: normálási feltétel szuperpozíció skalárszorzat

31 A kvantummechanika axiómái II. 2.A mérhető fizikai mennyiségekhez lineáris önadjungált operátorokat rendelünk. lineáris operátor: mátrixreprezentáció a  bázison: vagyis 3.Egy fizikai mennyiség méréssel nyerhető értékei megegyeznek a hozzárendelt operátor valamely sajátértékével.

32 Fizikai mennyiségek operátorai I. koordináták: impulzus:

33 Fizikai mennyiségek operátorai II. kinetikus energia: haakkor miatt

34 Fizikai mennyiségek operátorai III. impulzusmomentum:

35 A kvantummechanika axiómái III. 4.Bármely fizikai mennyiség várható értéke a következő skalárszorzattal adható meg:  Várható érték: (ez a sajátértékegyenlet) Szórás:

36 A kvantummechanika axiómái IV. klasszikus statisztika: annak a valószínűsége, hogy a i sajátértéket mérjük. Kevert állapotban:  (  1,  2,  3,....)

37 A kvantummechanika axiómái V. 5.Egy mikrorendszer állapotának időbeli változását az időfüggő Schrödinger-egyenlet írja le: Ha a rendszer időben változatlan (stacionárius állapot): 

38 Szabadon mozgó részecske alakú,   mivel 

39 Harmonikus oszcillátor N v : konstans, H v : v-edfokú Hermite-polinom  

40 Centrális erőtér: A H-atom Megoldható a  alakban

41 H-atom II. ahol asszociált Legendre-polinom aholasszociált Laguerre-polinom

42 H-atom III. normálási tényező

43 Kvantumszámok n: főkvantumszám; a H-atom lehetséges energiaszintjeit szabja meg l: mellékkvantumszám; az impulzusmomentum lehetséges értékeit adja meg (h/2  egységekben) l = 0, 1, 2,..., n-1 m: mágneses kvantumszám; az impulzusmomentum z irányú vetü- letét adja meg m = 0, ±1, ± 2,..., ± l

44 Az elektron impulzusmomentuma z irányú vetület: nagysága: 

45 Az impulzusmomentum iránykvantálása bizonytalanság értelmezése a kommutátorral

46 Hidrogén atompályáinak elektronsűrűségei

47 Mágneses nyomaték z irányú mágneses térben: Mágneses- és impulzusmomentum kapcsolata: Operátorokra:

48 Elektronspin Módoított Stern-Gerlach kísérletből: alapállapotú H-atomnak (m=0) is van mágneses nyomatéka Új fizikai tulajdonság, új operátor (új posztulátumként): Elektron spinje állandó:

49 Spinfüggvény, pályafüggvény Mágneses spinkvantumszám:   és  degenerált sajátfüggvények: A spin és a pálya menti mozgás egymástól független:

50 Teljes impulzusmomentum Belső kvantumszám:  A spin beállási lehetőségeit multiőlicitásnak nevezzük.

51 Elméleti kémiai közelítések Relativisztikus kvantummechanika Nem-relativisztikus közelítés Born-Oppenheimer közelítés Egyelektronos közelítés Hartree-Fock módszer Véges bázis HFR ab initioPost-HF SzemiempirikusMM módszerek

52 Független fizikai mennyiségek kvantum- mechanikai leírása   Ha x és y független mennyiségek:

53 A kvantummechanika axiómái VI. 6.A mikrorendszer állapotfüggvénye azonos részecskék felcserélésére nézve antiszimmetrikus, ha a részecskék feles spinűek, és szimmetrikus, ha egész spinűek (Pauli-elv). Elektronokra  antiszimmetrikus, így a  ·  szorzatfüggvény is antiszimmetrikus.

54 Sok atomból álló rendszer: közelítés -spinpályafüggvény szétesik a pályafüggvény és a spinfüggvény szorzatára -külön kvantumszámok jelennek meg ( l és l s ) -Az E energia nem függ a spintől, a spin- és pályamomentumok függetlenek, spin-pálya csatolás nincs. 1.közelítés: nem relativisztikus egyenlet ahol

55 Born-Oppenheimer közelítés 2.közelítés: Born-Oppenheimer-tétel “Lassú” magok, “gyors” elektronok:  és

56 Az egyelektron módszer I. 3.közelítés: egyelektron módszer 0 elektronos kölcsönhatás magok állnak  konstans 1 elektronos kölcsönhatás 2 elektronos kölcsönhatás elhanyagoljuk

57 Az egyelektron módszer II. Példa: 3 elektronos rendszer 

58 Az egyelektron módszer III. Spinpályafüggvények szükségesek: Antiszimmetria követelménye: koordináták felcserérlésével előjelet váltson Determináns hullámfüggvény: (Slater-determináns)

59 Az egyelektron módszer IV. Mivel a csupán spinjükben különböző elektronok hullámfüggvénye azonos: Minden részecske az összes többi által létrehozott átlagos térben mozog: 

60 Az egyelektron módszer V. Így: (függetlenrészecske modell) „legjobb V eff ” :

61 Közelítések: Variációs módszer I. Az energia számítása  variációs próbafüggvénnyel: (4. axióma alapján) Mátrixreprezentációban: Átfedési integrál elemei:

62 Variációs módszer II. Mátrixreprezentációban: Szekuláris determináns: szélsőérték keresés Homogén lineáris egyenletrend-szert eredményez:

63 Közelítések: Perturbációszámítás I. Legyenek a perturbációs függvények a -ra ortogonálisak, és eredeti rendszer „kis eltérés” perturbációval

64 Perturbációszámítás II. teljes energia: elsőrendű korrekció: másodrendű korrekció:. elsőrendű perturbált hullámfüggvény:

65 Hartree-Fock modell I. függvények meghatározása: A determináns-függvény kifejtése után

66 Hartree-Fock modell II. Fock-operátor: Megoldás: A feltételek; –  ij paraméterek (Hartree-Fock egyenletek)

67 Hartree-Fock modell III. Diagonizálás után: (vektorok) (mátrixok) (kanonikus HF-egyenletek) Iterációs megoldás  SCF módszer -kre vonatkozó megszorítások:molekula szimmetriája spin  RHF, UHF pályák

68 Hartree-Fock-Roothaan módszer Bázis: kanonikus HF-egyenletekbe helyettesítve: Iterációs megoldás  SCF módszer -kre vonatkozó megszorítások:molekula szimmetriája spin  RHF, UHF pályák

69 Hartree-Fock-Roothaan módszer II. Szorzás -vel és skalárszorzatok képzése: F  S   Fcici Scici =   m m

70 Hartree-Fock-Roothaan módszer III. Bázisok Analitikus H-pályák helyett Slater-típusú pályák (STO) Egyszerűbb Gauss-típusú pályák (GTO)


Letölteni ppt "Mozgásegyenletek Legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): t0t0 t Mechanikai rendszer Lagrange-függvénye: Következmény: (i = 1,2,…,s) Általános koordináták:"

Hasonló előadás


Google Hirdetések