Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Analitikus geometria gyorstalpaló Szirmay-Kalos László.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Analitikus geometria gyorstalpaló Szirmay-Kalos László."— Előadás másolata:

1 Analitikus geometria gyorstalpaló Szirmay-Kalos László

2 Geometriák l Geometria –Axiómák l Alapigazság (tapasztalat) l Alapfogalmak implicit definíciója –Definíciók és tételek –Célok és eszközök l Fontos geometriák a számítógépes grafikában –Euklideszi (sík/tér, metrikus) –Projektív –Fraktális –… Két pont meghatároz egy egyenest. Egy egyenesnek van legalább két pontja. Ha a egy egyenes, A pedig egy, nem az egyenesen lévő pont, akkor egyetlen olyan egyenes létezik, amely átmegy A-n és nem metszi a-t.

3 Két pont meghatároz egy egyenest. Egy egyenesnek van legalább két pontja. Ha a egy egyenes, A pedig egy, nem az egyenesen lévő pont, akkor egyetlen olyan egyenes létezik, amely átmegy A-n és nem metszi a-t. Mindent számmal: analitikus geometria geometria pont sík egyenes illeszkedik metszi axiómák algebra számok művelet egyenlet megfeleltetés függvény

4 Pontok definíciója x y r  XhXh YhYh w Decartes Polár Baricentrikus Homogén Számokkal! 1. Koordinátarendszer (=referencia geometria) 2. Koordináták(=mérés)

5 Pontok kombinálása r az r 1, r 2,… r n pontok kombinációja l Súlyok a baricentrikus koordináták l Ha a súlyok nem negatívak: konvex kombináció l Konvex kombináció a konvex burkon belül van l Egyenes (szakasz) = két pont (konvex) kombinációja l Sík (háromszög) = három pont (konvex) kombinációja r = r1r1 r2r2 r4r4 m1m1 m2m2 m3m3 m4m4 r  miri miri  mj mj r3r3

6 Vektor l Vektor = eltolás: v l Irány és hossz (|v|) l Helyvektor DE vektor ≠ pont !!! l Vektor összeadás v = v 1 + v 2 (kommutativ, asszoc.) v 1 = v - v 2 (van inverz) l Skálázás (skalárral szorzás) v 1 = a  v (disztributív) origó pont helyvektor v1v1 v2v2 v avav

7 Skalár (dot, belső) szorzat l Definíció v1  v2 = |v1|  |v2|  cos  l Jelentés Egyik vektor vetülete a másikra * másik hossza l Tulajdonság Kommutatív v1  v2 = v2  v1 Disztributív az összeadással v3  (v2+v1) = v3  v2 + v3  v1 v  v = |v| 2 Két vektor merőleges ha a skalárszorzatuk zérus  v1 v2 |v1|  cos   v1 v2 |v1|  cos  v3v3

8 Vektor (kereszt) szorzat l Definíció |v1  v2| = |v1|  |v2|  sin  Merőleges, jobb kéz szabály l Jelentés Terület és merőleges vektor, (Egyik vektor vetülete a másikra merőleges síkra + 90 fokos elforgatás) * másik hossza l Tulajdonságok Antiszimmetrikus v1  v2 = - v2  v1 Disztributív az összeadással v3  (v2+v1) = v3  v2 + v3  v1 Két vektor párhuzamos ha vektorszorzatuk zérus.  v1 v2 v1  v2  v2 v1 |v1|  sin  v1  v2 90 fok

9 l Egyértelmű (x = v  i, y = v  j) l Operációk koordinátákban Összeadás: v 1 + v 2 = (x 1 +x 2 )i + (y 1 +y 2 )j Skalár szorzat: v 1  v 2 = (x 1 i + y 1 j)  (x 2 i + y 2 j) = (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) Vektor szorzat: v 1  v 2 = (x 1 i + y 1 j + z 1 k)  (x 2 i + y 2 j + z 2 k) = (y 1 z 2 – y 2 z 1 ) i + (x 2 z 1 – x 1 z 2 ) j + (x 1 y 2 – y 1 x 2 )k Hossz: |v| =  v  v =  x 2 + y 2 + z 2 Descartes koordináta rendszer x i y j origó i j v = xi + yj i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

10 Vektor és pont különböző! l 2D: Vector (x, y) Point (x, y) l 3D: Vector (x, y, z) Point (x, y, z) l Operációk: Vector + Vector = VectorPoint + Vector = Point (translation) Vector – Vector = VectorPoint – Point = Vector Vector  Vector = Vector Vector  Vector = ScalarPoint = Combination of Points Vector * Scalar = VectorDistance(Point, Point) = |Point– Point| |Vector| = Scalar = Scalar

11 Valóban különbözők! 2D: Vector (x, y, 0) Point (x, y, 1) 3D: Vector (x, y, z, 0) Point (x, y, z, 1) l Műveletek: Vector + Vector = VectorPoint + Vector = Point (translation) Vector – Vector = VectorPoint – Point = Vector Vector  Vector = Vector Vector  Vector = ScalarPoint = Combination of Points Vector * Scalar = VectorDistance(Point, Point) = |Point– Point| |Vector| = Scalar = Scalar

12 Vector class struct Vector { float x, y, z, w; Vector(float x0, float y0, float z0, float w0 = 0) { x = x0; y = y0; z = z0; w = w0; } Vector operator*(float a) { return Vector(x * a, y * a, z * a, w * a); } Vector operator+(const Vector& v) { return Vector(x + v.x, y + v.y, z + v.z, w + v.w); } Vector operator-(const Vector& v) { return Vector(x - v.x, y - v.y, z - v.z, w - v.w); } float operator*(const Vector& v) { return (x * v.x + y * v.y + z * v.z + w * v.w); } Vector operator%(const Vector& v) { return Vector(y*v.z-z*v.y, z*v.x - x*v.z, x*v.y-y*v.x); } float Length() { return sqrt(x * x + y * y + z * z); } };

13 SSE (3DNow!) struct Vector { float x, y, z, w; public: Vector operator+( Vector& v ) { __declspec(align(16)) Vector res; __asm { movesi, this movedi, v movupsxmm0, [esi]; unaligned movupsxmm1, [edi] addpsxmm0, xmm1 movapsres, xmm0; aligned } return res; } };

14 Egyenes (szakasz) mint két pont kombinációja x(t)=x 1 (1-t)+ x 2 t y(t)=y 1 (1-t)+ y 2 t r =  miri miri  mj mj (x1,y1)(x1,y1) (x2,y2)(x2,y2) m 1 =1-t m2=tm2=t (x(t),y(t)) r(t) = r 0 + v t, t  [-∞,∞] x(t) = x 1 + v x t y(t) = y 1 + v y t v y x fizikából Paraméteres egyenlet

15 2D egyenes n  (r – r 0 ) = 0 n x (x – x 0 ) + n y (y – y 0 ) = 0 ax + by + c = 0 (x, y, 1)  (a, b, c) = 0 y r0r0 r v irány vektor n normál vektor x 2D egyenestől mért távolság: r0r0 r n normál vektor n  (r – r 0 ) = Vetület n-re * az n hossza Ha n egységvektor: n  (r – r 0 ) az előjeles távolság! Implicit egyenlet

16 Sík n  (r – r 0 ) = 0 n x (x–x 0 ) + n y (y–y 0 ) + n z (z–z 0 ) = 0 ax + by + cz + d = 0 (x, y, z, 1)  (a, b, c, d) = 0 y n normál vektor z x r0r0 r Ha n egységvektor: n  (r – r 0 ) a síktól mért távolság!

17 Kör a síkon Implicit egyenlet: Azon r(x, y) pontok mértani helye, amelyek a c(c x, c y ) középponttól R távolságra vannak: |r – c| = R  (r – c) 2 = R 2  (x – c x ) 2 + (y – c y ) 2 = R 2 Paraméteres egyenlet: Asin(  ) és cos(  ) definíciója: x(  ) = c x + R cos(  ) y(  ) = c y + R sin(  ) 

18 Gyakorlatok l 2D: –A parabola implicit egyenete (azon pontok mértani helye, amelyek egyenlő távolságban vannak a p ponttól és az (r0, n) egyenestől), –Az ellipszis mértani helye (a p1, p2 pontoktól mért távolságösszeg = C) –Koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyű ellipszis paraméteres egyenlete l 3D –Gömb, henger és paraboloid implicit egyenlete –Két kitérő egyenes távolsága: (r1, v1) és (r2, v2) –Azon pontok halmaza, amelyek p1, p2 pontoktól mért távolságnégyzet összege = C.


Letölteni ppt "Analitikus geometria gyorstalpaló Szirmay-Kalos László."

Hasonló előadás


Google Hirdetések